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1、第五讲对角化与Jordall标准形一、正规则阵1 .实对称矩阵与厄米特(Hermite)矩阵实对称矩阵：实矩阵A,Ar=A;实反对称矩阵：实矩阵A，Ar=-A;厄米特(Hermite)矩阵：复矩阵A,Ah=A;反厄米特(Hermite)矩阵：复矩阵A,Ah=-A.2 .正交矩阵和酉矩阵正交矩阵:实矩阵A，AA=AA=I(A-1=Ar);酉矩阵：复矩阵A，AhA=AAh=I(AT=A3 .正交相像变换和酉相像变换设尸为正交矩阵，A为实矩阵，称PTA尸为对A的正交相像变换；设尸为酉矩阵，A为复矩阵，称PTAP为对A的酉相像变换。4 .正规则阵实矩阵A,若满意ATA=AAI则A称为实正规则阵；复矩阵
2、A,若满意AA=44”,则A称为复正规则阵。注1：实对称矩阵、实反对称矩阵、正交矩阵均为实正规则阵；注2：厄米特矩阵、反厄米特矩阵、酉矩阵均为复正规则阵。5 .相像矩阵的性质相像矩阵具有相同的特征多项式，从而具有相同的特征值、迹、行列式。【证】det(2-尸TAP)=detP1(2Z-A)P=det(P1)det(2Z-A)det(P)=det(P1)det(P)det(2/-A)=det(2Z-A)、酉对角化1. SChllr定理:（1）设AC的特征值为4,4,1.，则存在酉AU1AU=UhAU=4,（2）设ARX的特征值为4,%1.,4,且i三R（i=l,2,1.,w）,则存在正交矩阵。，
3、使21*1.*1 T2OMQ-1AQ=QrAQ=2.O*_.【证】只证（1）结论，（2）的证明类似.对矩阵A的阶数施行数学归纳法.当=1时，结论明显成立.假定对阶矩阵结论成立.下面证明对阶矩阵结论也成立设占是A的属于特征值4的特征向:即%，将入扩充为C”的一组标准正交基令q=%u21.wh,则即Ul为酉矩阵.对A进行酉相像变换:U：AUl=MUHAw1u21.%=(%A%)其第1列元素:u-u4tUUyIJ1.夕J1.J1.J1.，J1.4(i=l)=，0(=2,3,1.n)AU1=4*1.*0MA1相像矩阵具有相同的特征值，因此，对于1阶矩阵4,其特征值为4,1.,依据归纳法假设，存在4*一
4、1阶酉矩阵S,使得SAS=o*._42_记1.=1，U=UIU2,OS则UU=/,即U是酉矩阵，且UTAU=UhAU=(UAU1)U2*OMOu2=*M*,证毕什么样的矩阵能够通过酉相像变换成为对角阵呢?2.定理:（1）设ACX,则A酉相像于对角矩阵的充要条件是：A为正规则阵；（2）设A/T,且A的特征值都是实数，则A正交相像于对角矩阵的充要条件是：A为正规则阵。【证】只证（1）结论，（2）的证明类似.必要性：设存在酉矩阵U,使得UhAU=A（对角矩阵）,则有A=UAUh,Ah=UAUhAhA=UUhUUh=UUh=UAUhUAUh=AAh即A为正规则阵.充分性：设A为正规则阵,即4。=44,
5、由SChlIr定理，存在酉矩阵U,使得A121.tinUhAU=41.t2n=AOM.其中4,4,1./是4的特征值。要证0=0因为h=UhAAhUAhA=UhAhAUAhA=AAh9所以h=h.又AhA=2112*1.* 2f+tl2121.MMO* *1.*M2kn2+l+-m2h=A2+k1212+l+zm2*M*1.22+232l+21122lMO*1.*MIA,I2由对角元素相等可得=o,A-所以UAU=4O.%证毕推论：实对称矩阵正交相像于对角矩阵.说明：不能酉对角化的矩阵仍有可能采纳其它可逆变换将其对角化，例如AAAA,A不是正规则阵；但A)=1,3,两个特征值互异，可以相像变换
6、对角化。可见，A可以对角化，但不能酉对角化。不能对角化的矩阵肯定具有多重特征值，对于不能对角化的矩阵也希望找到某种标准形式，使之尽量接近对角化的形式JOrdan标准形。三、JordaIl标准形1. Jordan标准形概念定义形如11),()_JsW.的矩阵，称为Jordall标准形，其中(i=l,2,1.,s),4c1il-mimi称为”阶Jordan块矩阵2. Jordan标准形的存在定理定理每个阶复矩阵A都与一个Jordan标准形相像，这个Jordan标准形除去其中Jordan块的排列次序外，是被A唯一确定的.即J1W22)其中4）=i14(i=l,2,1.,s)Ja)4,4,1.,4为A
7、的特征值，可以是多重的.说明：4（4）中的特征值全为4,但是对于不同的力,3有可能4=%,即多重特征值可能对应多个Jordan块矩阵。2.多项式矩阵（又称为矩阵）（1）多项式矩阵的定义形如ai2(九)a22()Man(%)%(几)MaIn（，）a2n（，）Man,X的矩阵称为多项式矩阵或；I-矩阵，其中矩阵元素%）为4的多项式。（2）多项式矩阵的初等变换如下的变更称为多项式矩阵的初等变换：互换两行（列）；以非零常数乘以某行（列）；留意：这里不能乘以4的多项式或零，这样有可能变更原来矩阵的秩和属性将某行（列）乘以4的多项式加到另一行（列）.初等变换的目的是为了在保持矩阵原有属性的前提下使其形式变
8、得简洁。（3）多项式矩阵的标准形式采纳初等变换可将多项式矩阵化为如下形式：4o4(4)oo0其中，多项式4（2）是首一多项式（首项系数为1.即最高次项的系数为D，且d1()d2(2)9d2()d3()91.,%(4)4即4是4+。)的因式。说明:多项式矩阵的标准形式不随所采纳的初等变换而变更，故称4(几)为不变因子。不变因子也可采纳如下方法求得：设“（八）为4（八）的全部，阶子式的最大公因式，则4。=1,称(X)为，阶行列式因子。将每个不变因子4。)化为不行约因式的乘积，这些不行约因式称为A（八）的初等因子，全体初等因子称为初等因子组。3 .数字矩阵的不变因子与初等因子对于阶数字矩阵A,称-A
9、的不变因子为A的不变因子，称A的初等因子为A的初等因子。4 .Jordan标准形的求法(1)求出特征矩阵(4/-4)的初等因子组，设为(4户，(户,l,(4户；(2)写出各JordaIl块矩阵(一个初等因子对应一个Jordan块矩阵)41一(2-A)zw,（八）=21I-l-JJniX机j(i=l,2,s)(3)合成JOrdaIl标准形：,AU2)J=O_A（八）.26的Jordan标准形.41-1例1：求矩阵A=3-32-2解：对特征矩阵运用初等变换可以得到OO2(2-2)从而A的不变因子为初等因子组为4(4)=1,d2()=,J2(I)=2(2-2)2相应的Jordan块为，。，0Jord
10、aIl标准形为OO-1例2：求矩阵A=-414+1解：AI-A=4O0OO.O2_1030的Jordan标准形02_-10-2-3002-211OOO1OOO(2-2)(2-l)A的不变因子为d1()=d2()=1,d3()=(-2)(2-1)2初等因子组为丸一2,(I)2相应的Jordan块为rI112,1200Jordan标准形为011.0011234-123例3：求矩阵A=的JOrdall标准形.12123452-1-2-3解：lA=121先求行列式因子D4(2)=det(2-A)=(-1)4；因为；l/-A有三阶子式2342-1-2-3=-4(2+1)且D3(2)D4(2),OX12所
11、以2(=从而2(=A(4)=,不变因子为J1(2)=J2(2)=J3(2)=1,J4(2)=U-1)4初等因子为(4-1)411Jordan标准形为J=.15.Jordon标准形相像变换矩阵的求法A:J=P1AP称非奇异矩阵?为Jordon标准形相像变换矩阵.上面给出了矩阵A的Jordon标准形的求法，但是没有给出求所须要非奇异矩阵尸的方法.由于求P牵扯到比较困难的计算问题，因此，作为了解，仅以例题的形式给出P的计算方法.-110例1.求矩阵A=-430的JOrdaII标准形及相102像变换矩阵P.解：由上面的例2,有200A-J=Oll001再求相像变换矩阵：设所求矩阵为尸，则PTAP=J,
12、对于尸按列分块记为尸=巧户2/3，于是有AP=Axnx25x3=Ax1,Ax2,Ax320O-PJ=xpx29x3Oil=2x1,%2，“2+”3从而可得Axi=2x1?Ax2=x2,Ax3=x2+x3整理以后可得三个线性方程组:(2Z-A)x1=0;(Z-A)X2=O;(7-A)x3=-x2.解上面的三个方程组得特征向量4及广义特征向量/依次为X1=(0,0,X2=(1,2-l)r,X3=(0,1-l)r,故所求相像变换矩阵为010P=021,111200从而有P1AP=011001例2求矩阵A=33-286-5的Jordan标准形及相像变换矩阵P.解：首先用初等变换法求其JOrdall标准
13、形:l-A=2-30-834+16202+5从而A的不变因子为4(4)=1,d2()=+l,d3(2)=+l)2;初等因子组为2+1,(2+I)2;00(2+I)2从而A的JOrdall标准形为J=-100再求相像变换矩阵:设所求矩阵为P,贝IIPTAP=J,对于P按列分块记为尸=6户2，于是有AP=Axnx25x3=AxnAx2,-10000-1从而可得Ax1=-x1,Ax2=-x2,Ax3=x2-X3整理以后可得三个线性方程组(Z+A)x1=0；(1+A)X2=0;(/+A)x3=X2.前面的两个方程为同解方程组，可以求出它们的一个基础解系:a1=0,1,02=-2,0,Ir可以取XI=%,但是不能简洁地取=%，这是因为假如今选取不当会使得第三个非齐次线性方程组无解。由于火,的随意线性组合都是前两个方程组的解，所以应当取x2=k1a1+k2a29使得第三个非齐次方程有
