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1、四种常见分布一、知识与方法:1.两点分布：对于一个随机试验，如果它的结果只有两种情况，则可以用随机变量=0,1来描述这个随机试验的结果。如果发生的概率为则不发生的概率为1-，这时,称服从两点分布，其中称为。其分布列为：期望后=；方差D=O2.超几何分布:P(X=k)=cZ=0,1,m,其中机=3.二项分布：在次独立重复试验中，事件A发生的次数X服从二项分布，记为P(X=Z)=C:PvtTe=1PM=0,1,2,)，表示,二项分布的分布列为:XO1knP期望为EX=；方差为OX=-4.正态分布：(1)正态曲线：如果总体密度曲线(当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布折线图就会无限接
2、近于一条光滑曲线，即为总体密度曲线)是或近似地是以下函一I数?“(X)=Ze2?,x(o,+8)的图象，式中的实数z,b(b0)是参数，分别是总体的平均数与标准差。正态曲线具有以下性质：曲线在一轴的上方，与一轴不相交；曲线关于直线对称；曲线在的最高点的横坐标；当XV时，曲线；当x时，曲线,并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐近线，向它无限靠近。当一定时，越大，曲线越“矮胖”，表示总体越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中。(2)若随机变量X在a,力内取值的概率等于该区间上正态曲线与一轴、直线、所围成曲边梯形的面积(即P(4XZ?)=J：化,S(X)办:)，则称随机变量X服从正
3、态分布。记为。记住：P(-X+)=；P-2X+2)=；P-3X/+3)=从理论上讲，服从正态分布的随机变量X的取值范围是R,但实际上X的取值在区间(-3b,+3b)外的可能性微乎其微，在实际问题中常常认为它是不会发生的。因此，往往认为服从正态分布的随机变量X的取值范围是(-3b,+3cr),这就是3o原则。在企业管理中，经常应用这个规则进行产品质量检查和工艺生产过程控制。说明：“小概率事件”通常指发生的概率小于的事件。二、例题分析：例1.某家具城进行促销活动，促销方案是：顾客消费每满100o元，便可以获得奖券一张每张奖券中奖的概率为1.,若中奖，则家具城返还顾客现金100o元，某顾客购买一5张
4、价格为3400元的餐桌，得到3张奖券，(1)设该顾客中奖奖券求的分布列、期望值、方差；(2)该顾客购买餐桌的实际支出为J元，求J的期望值。例2.春节期间，小王用私家车送4位朋友到三个旅游景点去游玩，每位朋友在每一个景点下车的概率均为g,用J表示4位朋友在第三个景点下车的人数，求随机变量J的期望.三、练习题：1 .若JB(%p),且=12,Og=4,则PC1)=.2 .若XN(，4),且P(3vXT)=P(3vX5),则=.若N(0,l),且=叱+b,12+10a+253 .随机变量J的总体密度曲线/(X)=-Z=e一一22乃(。0),则=1+52224 .已知gN(4,/),且P(2J6)=0
5、.6826,则P(Ig2|4)=.5 .设在15个零件中有两个次品，从中任取三个，随机变量X表示取出次品的个数。(1)指出X服从什么分布列？并求其分布列。(2)求EX、DX,6 .抛掷两个骰子，当至少有一个2点或3点出现时，就说这次实验成功.（1）求一次实验成功的概率；（2）求在4次实验中成功次数g的分布列和数学期望及方差.7 .甲、乙之间角逐蓝球冠军，采用七局四胜制，即若有一队先胜四场，则此队获胜,比赛就此结束。因两队实力相当，每场比赛获胜的可能性相等。据以往资料统计,第一场比赛组织者可获门票收入30万元，以后每场比赛比上一场增加10万元。（1）组织者此决赛中要获得门票收入180万元需进行多
6、少场？（2）组织者在决赛中要获得门票收入不少于330万元的概率为多少？8 .如果甲、乙两名乒乓球选手进行比赛，而且他们的水平相当，规定“七局四胜制”,现知甲已胜前两局.（1）求乙取胜的概率；（2）试确定比赛的平均场数.9 .某银行储蓄所每天余额（当天存款数减去取款数）与该天来存款的大额储户数有关,当一天来存款的大额储户数分别为1、2、3时，当天余额依次为8万元、24万元、32万元，如果没有大额储户来存款则该天余额减少16万元.假设每天来存款大额储户最多为3个，每一个大额储户一天来存款的概率为1.,每天储蓄所备用现金至少2为当天余额的2倍时才可保证储户取款，（1）求该储蓄所一天余额J的分布列；（
7、2）为保证储户取款，储蓄所每天备用现金至少多少元？10 .某工厂规定，如果工人在一个季度里有一个月完成生产任务，可得奖金90元；如果有2个月完成生产任务，可得奖金210元；如果有3个月完成生产任务，可得奖金330元；如果工人三个月都未完成生产任务，则没有奖金.假设某工人每月完成任务与否是等可能的，求此工人在一个季度里所得奖金的期望.14,64答案：例1.解：(1)该顾客中奖奖券3(3,g),则PS=O)=(73=去，Pm=D=*申嚏，%=2)=C冲甘嗜,Ps=3)=c好唱,(2)该顾客购买餐桌的实际支出为g元，则J=34OO-1000，则E=3400-1000E=3400-1000|=2800
8、。例2.解：考察一位朋友是否在第三个景点下车为一次试验，这是4次独立重复试验.I1O故J3(4,y,随机变量的分布列是P=k)=C,Z=0,l,2,3,44期望值是EJ=3。三、练习题：1.1(P=2.1；3.A：4.0.84：32525. (1)超几何分布；(2)一o51756. (1)P=I-X-=-;(2)4(4,*),分布列略，E=-tD=-o66999817. (1)用等差数列求和公式，SZI=+IO+2。)/。得=4；112(2)由Szj330,得2+566,故6,则比赛需进行6场或7场：P(X=6)P(X=7)=C2,1c53(1)5C2,1c63(1)6=:8. (1)甲胜前两
9、局下，乙取胜分二类，乙连胜4局(胜第3局至第6局)；乙在第3、4、5、6这四局中胜3局且第7局胜，其概率P=(!)4+C：(!)3x：x1=2；222216(2)设在甲胜两局下，结束比赛再需要场数为77则尸(=2)=(；)2=；,尸(=3)=Cjx；XgXg=；P(=4)=C3,()2()4=hP(7=5)=C4,(i)3C43()3i=i22224v722222247于是的分布列为(略)，其期望值E=：,711故结束比赛的平均场数为E(77+2)=F7+2=-+2=y.9.解：PC=16)=C；()3=J,P(=8)=C-(一)2=-,28228P(=24)=C(一)2-=-,P(=32)=C(一)3=-,余额)的分布列略;228281331(2)E=-16-+8-+24-+32-=14,8888依题意得备用现金至少2x14=28(万元).11.设此工人在一个季度里所得奖金为,P(J=O)=端(4)。(1-)3二，ag=90)=c;Ky(W,22o22oP(=210)=C(l)2(l-l)=,P(=330)=C(1)3(1-1)o=1.此工人在一2282281331个季度里所得奖金的期望EJ=OX2+902+210x1+3301.=153.75(元).8888
