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1、6.2.3向量的数乘运算新课程标准解读核心素养1.通过实例分析、掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解数学运算其几何意义，理解两个平面向量共线的含义2.了解平面向量线性运算的性质及其几何意义逻辑推理9知识梳理读教材时基础落实高效学习U-.此情境导入。一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动I秒钟的位移对应的向量为0,那么它在同一方向上运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3。吗？蚂蚁向西运动3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是一3。吗？你能用图形表示吗？问题类比实数的运算+o+=3”你能猜想+的结果吗？/新知初探,知识点一向量的数乘运算及运算律1.向量的数乘(1)定
2、义：一般地，我们规定实数2与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作履；(2)规定：IZal=I2IIal；当20时a的方向与a的方向相同；当2(ab)=ab.提醒(1)向量的数乘仍是向量；(2)实数/1与向量不能相加；(3)若及=0,则2=0或a=0;(4)当。#0时，向量;彳是与向量Q同向的单位向量.IaI知识点二共线向量定理向量。(a0)与力共线的充要条件是：存在唯一一个实数九使b=)x.你想一想共线向量定理中为什么规定0?提示：(1)若将条件。工0去掉，即当=0时，显然。与。共线；(2)当a=0时，若bWO,则不存在实数人使6=及，但此时向量。与b共线；(3)当=0时，若b=0
3、,则对任意实数人都有与存在唯一一个实数i矛盾.回做一做1.已知非零向量,b满足g=4则()A.a=hB.4Ial=IblC.与b的方向相同D.与b的方向相反解析：C.Z=4b,40,：.a=4b且与力方向相同.2.-+Z+-a4b=()22A.2+33B.a3bC.2a3bD.2a2b解析：C原式=()+(14)b=203b.故选C.3 .若向量约，/不共线，则下列各组中，向量。，力共线的有.(填序号)=2e,b=-2e;(2)=e-2,b=-2e+2e2;0=40-e2,=约一92；=e+e2,b=2e2e2.解析：中，a=-b,所以,b共线；中，b=-2a,所以,方共线；中，=4儿所以力共
4、线；中，不存在2R,使。=劝，所以不共线.答案：题型突破析典例口-技法归纳活学活用跋型一向量的线性运算例I(1)化简：-2(2+4b)-4(5a-2b)；4(2)已知3(2。-b+c)+x=2(+3b),求x.解(1)i2(24b)一4(5a2b)=-(4。+88一200+8)=-(-16+168)444=-4+4b.(2)因为3(2b+c)-x=2(。+3力),所以6。-3Z+3c+x=-2+6),即X=-8+9b-3c.通性通法向量线性运算的方法(1)向量的线性运算是向量的加、减、数乘三种运算的通称，类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指
5、向量，实数是向量的系数；(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用移项，合并同类项，系数化为1等步骤求解.日跟踪训练1 .已知。1，02是两个不共线的向量，向量=g+202,b=3g-5及，则4-3b=(用ete2表示).解析：V=e2e2,6=35ez,43b=4(e)+22)-3Oei52)=-5g+23e2答案：-5e+23e22 .已知向量”,b,未知向量X,y,向量0,A,x,y满足关系式3%2y=,4x+3y=b,则向量X=,J=.解析：由3-2y=0，-4x+3y=从g),X3+X2,得x=3+2b,代入得3X(32)-2y=ai即y=4+3b.,x=3+2b,y
6、=4+3b.答案：3o+2b40+3b题型二向量共线的判定及应用例2设,b是不共线的两个非零向量.(1)若瓦5=2-b,0B=3a-b,0C=a-3b,求证：A,B,。三点共线：(2)若8+必与妨+2)共线，求实数&的值.解(1)证明：*：AB=OB-OA=(3a+b)(2ab)=+2b,BC=OC-OB=(a3b)(3+A)=(2+4b)=2ABt荏与近共线，且有公共点8,B,C三点共线.(2).,80+砂与切+26共线，存在实数九使得8+心=2(布+26),即(8-l)+(k-2)b=0.Va与b不共线,(8-k=0,Ifc2=0,解得Z=2,=22=4.通性通法1.证明或判断三点共线的方
7、法（1）一般来说，要判断A,B,C三点是否共线，只需看是否存在实数九使得丽=2而（或前=送等）即可；（2）利用结论：若A,B,C三点共线，O为直线外一点U存在实数.y,使嬴=痂+），氏且x+y=l.2.利用向量共线求参数的方法判断、证明向量共线问题的思路是根据共线向量定理寻求唯一的实数尢使得b=痴（0）.而已知向量共线求;I,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得i的值.若两向量不共线，必有向量的系数为零.Cf跟踪训练1.设肉，是两个不共线的向量，若向量/n=一4+既2（%R）与向量=/26共线，则（）A.=0B.k=C.k=2D.k=-2解析：
8、D由共线向量定理可知存在实数2,使m=2%即-ei+&e2=Z（022e）=e（_72k=1，解得k=,=.2.若4,B,C三点共线，。为直线外一点，且耐=丽+用？，则x+y=.解析：A,B,C三点共线，存在实数2,使得四=2就，即抽一万5=2(0?一而)，.9.0A=(1)BOCt则X=I+2,y=-,x+y=1.答案：1题型三用已知向量表示未知向量【例3】在4A8C中，已知。是Be上的点，且CQ=28Q,设荏=,AC=bf试用和b表示而.A解VB,C,。三点共线，且Co=23。，丽=阿：,AD=AB-BD=ABBC=AB(AC-AB)ABAC=.国母题探究(变条件)若将本例中的“8=28。
9、”改为CD=BD，你能用两种方法解答吗？解：法一如图，瓦=而一荏，且CD=BD,AqBDC图AD=AB+BD=ABBC=A(AC-AB)=ABAC=(Hb)法二如图，以AB,AC为邻边作A3C,则荏=同+3乙：CD=BD,是AE的中点.：.AD=-AE=-(AB+ZC)=-(+b).222通性通法用已知向量表示未知向量的两种方法(1)直接法石谕结合图形的特征，把待求向量放在三角、巴H形或平行四边形中.传岁_结合向量的三角形法则或平行四边形法则及共线向量定理用已知向量表示未知向量(2)方程法：当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解
10、关于所求向量的方程.0跟踪训练1 .在ABe中，P,。分别是边AB,3C上的点，BJiPAB,BQ=BCf若荏=,前=6,则所=()A+9B1.孑+CD._q解析：A如图所示，PQ=BQ-JP=BA=(AC-AB)+W荏三荏+9前=3+故选A-A-2 .如图,平行四边形4?Co中,荏=,而=b,M是OC的中点，则向量彳而=.(用。，力表示)BCAD解析：AM=AD+DC=AD+AB=b-a.答案：因随堂检测,1.如图所示，在正方形ABC。中，E为BC的中点，/为AE的中点，则加=()DR.C1E1*3,A-AB+-AD24B.-AB+AD23C.-AB-AD321 3D.-4F-1D24解析：
11、DAE=AS+FE=A8-4D,而=函+=耐+=荏=一而+：(方+=而)2222=一而+工费+工而=工四而.24242 .(多选)下列运算正确的是()A.(3)2=6aB.2(+b)(2ba)=3C.(+2)-(2)+)=OD.2(3a-b)=6a2b解析：ABD根据向量数乘运算和加、减运算律知A、B、D正确；C中，(+2b)一(2b+a)=a+2b2b-a=d,是零向量，而不是0,所以该运算错误.3 .化简：(2+8b)(4-2b)=.解析、1.(2+8b)-(4Q-2b)=1(。+4力一4+2力)=2ba.答案：2b-a4 .设e与02是两个不共线向量，AB=3e-2e2,CB=ke+e2,CD=3e-2ke2若4,B,。三点共线，则后=.解析：因为A,B,。三点共线，故存在一个实数2,使得而=2而，又而=3e+2e2,CB=ke+e2,而=3约一2人改，所以瓦5=而一荏=3约一2既2一(履+。2)=(3A)3=4(3k),解2=A(2k+1),得k=4答案：一:4
