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1、黄金冲刺大题02数列(精选30题)1. (2024江苏南通二模)设数列,的前项和为S”，若SZf-Ta“=+i,gn求q,d2,并证明：数列如+4用是等差数列；求SV).【答案】(1)6=4,%=2,证明见解析：(2)420.【分析】(1)直接代入=1可得4=4,再代入=2,结合可的值求出的=2；再由S-gzf=+仿写出Sn-in,i=(n-)2+f作差后得到q+为_|=4-2,即可证明结果.(2)由(1)知数列a.+4为等差数列，然后代入等差数列的前项和公式求解即可.【详解】(1)当=1时，由条件得4-gq=2,所以q=4.当=2时，由条件得(+/kg%=5，所以a?=2.因为S一g=2+1
2、，所以SrJT-gfj=(-1),+1(n2),两式相减得：。“-(。”+3。小=2-1,即4+4=4一2,所以(%+4)-(q+%)=45+1)-2-(4-2)=4,从而数列q向+4为等差数列.(2)由(1)知为+%_=4-2,所以4+勾川=4(+1)2=4+2,所以数列+0为等差数列，首项为4+%=6,所以Szo=(q+%)+Q+,)+(%+o)=Xkq所以S20=(4x2-2)+(4x42)+(420-2)=1x6+7=420.2. (2024福建福州模拟预测己知数列“满足4=2,alt=an,l+2n(w2).求数列0的通项公式；记数列，卜勺前项和为S”，证明：Sn1.【答案(l)11
3、=11+lN*；(2)证明见解析.【分析】(I)根据给定条件，利用累加法，结合等差数列前项和公式求解即得.(2)利用裂项相消法求和即可得证.【详解】(1)数列中，当2时，an=an,x+2n,即a,*=2，则为=4+(%4)+(/一4)+(4-1一。“-2)+(4-6,11-)an=2+4+6+伽一2)+2/1=2；2)=.2+,而“=2满足上式，所以数列.的通项公式是勺=/+，hN*.,/、1Ill(2)由(1)知4=犷+=(+1),HGN则二-二(皿=77，C111I因此Sfl-1fI-1223(-1)”(/?+1)illIlll,1H=1一一+-+=1,Ifijwl,则11,223n-n
4、nzz+1n+n+所以S“2f,+1-bn=2(Srt)a,=2bn+2,gp+1=3+2.又&=O也=2,也符合年=34+2,所以m1时，+1=3+2,即2.+1=3(0+1).又4+1=1h0,所以2+1hO,所以把?=3,所以数列也+1成等比数列.(2)由(1)易得d=3T_l.由4=24+4可得q=2,所以勺=2.所以anbn=2(3T-I)=23-2,所以T=203+23+332+311,)-(+1).M=l30+23,+332+z3f则SM=1-*+2-?+?+113n.所以2M=-(3+3+32+3w,)+3”=3-yy=,所以I=2M-n(n+)=-?3+1_(+).5.(20
5、24浙江杭州二模)已知等差数列/的前项和为S“，且S4=4S2,%=2为+1(N)(1)求数列0的通项公式；a9数列%满足2=3,令%也=4+2,向，求证：X=5bn.,2n-bn2-3bn12-51b112w+3,b.2+1,b22-l,十l十，,.bnbn.b、2-32一5利用累乘法可得：4=在产-=-%-2U2/2+12n-l99rl1Az二（2-1）伽+1）=丸C,+Js冈，伉=3也符合:式,4=1=b1+.,+所以%4一击退6.（2024浙江二模）欧拉函数（M（N）的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数,例如：夕(1)=1,(4)=2,。=4,数列,*的足zt=(2Xn)
6、（1）求卬，4，%，并求数列0的通项公式；记a=（）g警1.,求数列出的前和S”.a2n【答案】（1）G=1，/=2,%=4,an=26206S1.石+西可【分析】（1）根据题意理解可求%,生,%,结合与2互素的个数可求数列q的通项公式;(2)求出数列的通项公式，利用错位相减法求和即可.【详解】(1)由题意可知4=0(2)=1,a2=(4)=2,=W=4,由题意可知，正偶数与2不互素，所有正奇数与2互素，比2”小的正奇数有2个,所以%=0(2)=2T；(2)由(1)知。”=“2)=2T,所以%,=e(22)=22i,所以以=(T)*=(-1)墨二=(T)Qf*=(4-2=+,所以S.=2x（一
7、;）+6x（-；）+（4-6）x（-；）+（4-2）x（-；）,32011610-5（-4）w+,所以s620+6=+2525x（T）7.(2024重庆模拟预测)已知数列4满足4+2%+36+wzr=+l)!,weN(1)求4的通项公式;若力1023且AeN*,记”二，讨论数列出的单调性.akflI024-A【答案】(1)4,2,n=lw!,w2（2）当1A512,AN时，瓦单调递增；当512E024,tN时,4单调递减【分析】（1）分两种情况讨论，=1和2,即可求解；（2）先计算出A和如23,当21,4单调递增,%1024!1O23IO242!(1024-2)!512=4,所以当lWk512
8、,kN时，4单调递增;当513WA1024,kN时,又“10221024!1022!(1024-1022)!红512=3,所以当512Z1024,AN时，4单调递减.8.（2024河北邯郸二模）己知正项数列4的前项和为S“，%=3,且瓦=厄+底.求“的通项公式;45若包=%，求数列他的前项和沙.anan+【答案】%=2T得到Szt=2,利用+Ui【分析】(1)首先求出4=1,可证明数列JT为首项为1,公差为1的等差数列,4=f-Szt,1得到.的通项公式;(2)由(1)知，bn4,4anan+(2-l)(2w+l)，化简可得32e利用分组求和以及裂项相消即可求出数列也的前项和口【详解】(1)当=1时，由6=后+6,即斤Z=2j1，解得：4=1,所以S=而=1，则数歹U#7为首项为1，公差为1的等差数列;当2时，atl=Sa-SZtT=-1)2=2/1-1,当=1时，4=2x1-1=1满足条件,所以M的通项
