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1、环形跑道问题且加店鲜目强1、驾驭如下两个关系：（1）环形跑道问题同一地点动身，假如是相向而行，则每合走一圈相遇一次（2）环形跑道问题同一地点动身，假如是同向而行，则每追上一圈相遇一次2、遇见多人多次相遇、追及能够借助线段图进行分析3、用比例解、数论等学问解环形跑道问题举闻本讲中的行程问题是特别场地行程问题之一。是多人（一般至少两人）多次相遇或追及的过程解决多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够精确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合理的线段图进行分析。一、在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用：路程和二相遇时间X速度和路程差=追刚好间X速度差二、解环形跑道问题的一般方法：环形跑道
2、问题，从同一地点动身，假如是相向而行，则每合走一圈相遇一次：假如是同向而行,则每追上一圈相遇一次.这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。环线型同一动身点直径两端同向：路程差nSnS+0.5S相对（反向）：路程和nSnS-0.5S例1一个圆形操场跑道的周长是500米，两个学生同时同地背向而行.黄莺每分钟走66米，麻雀每分钟走59米.经过几分钟才能相遇？【解析】黄莺和麻雀每分钟共行66+59=125（千米），那么周长跑道里有几个125米，就须要几分钟，即500（66+59）=500125=4（分钟）.【巩固】小张和小王各以确定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步.小王的速度是200米/分.小张
3、和小王同时从同一地点动身，反向跑步，1分钟后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？小张和小王同时从同一点动身，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？【解析】两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程.小张的速度是500l-200=300（米/分）.在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一个周长），因此须要的时间是：500（300-200）=5（分）.300x5500=3（圈）.【例2】（2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛决赛）上海小学有一长300米长的环形跑道，小亚和小胖同时从起跑线起跑，小亚每秒钟跑6米，小胖每秒钟跑4米，小亚第一次追上小胖时两人各跑了多少米
4、？（2）小亚其次次追上小胖两人各跑了多少圈？【解析】第一次追上时，小亚多跑了一圈，所以须要300子（6-4）=150秒，小亚跑了6x150=900（米）。小胖跑了4x150=600（米）；第一次追上时，小胖跑了2圈，小业跑了3圈，所以其次次追上时，小胖跑4小，小亚跑6小。【巩固】一条环形跑道长400米，甲骑自行车每分钟骑450米，乙跑步每分钟250米，两人同时从同地同向动身，经过多少分钟两人相遇？【解析】400450-250）=2（分钟）.【巩固】小新和正南在操场上竞赛跑步，小新每分钟跑250米，正南每分钟跑210米，一圈跑道长800米，他们同时从起跑点动身，那么小新第三次超过正南须要多少分钟
5、？【解析】小新第一次超过正南是比正南多跑了一圈，依据S差二%f,可知小新第一次超过正南须要：800（250-210）=20（分钟），第三次超过正南是比正南多跑了三国，须要8003Q50-210）=60（分钟）.【巩固】华蜜村小学有一条200米长的环形跑道，冬冬和晶晶同时从起跑线起跑，冬冬每秒钟跑6米，晶晶每秒钟跑4米，问冬冬第一次追上晶晶时两人各跑了多少米，第2次追上晶晶时两人各跑了多少圈？【解析】这是一道封闭路途上的追及问题，冬冬与晶晶两人同时同地起跑，方向一样.因此，当冬冬第一次追上晶晶时，他比晶晶多跑的路程恰是环形跑道的一个周长（200米），又知道了冬冬和晶晶的速度，于是，依据追及问题的
6、基本关系就可求出追刚好间以及他们各自所走的路程.冬冬第一次追上晶晶所须要的时间：2006-4）=100（秒）冬冬第一次追上晶晶时他所跑的路程应为：6x100=600（米）晶晶第一次被追上时所跑的路程：4x100=400（米）冬冬其次次追上晶晶时所跑的圈数：m）2）200=6（l三）晶晶第2次被追上时所跑的图数：（400x2）200=4（圈）例3在300米的环形跑道上，田奇和王强同学同时同地起跑，假如同向而跑2分30秒相遇，假如背向而跑则半分钟相遇，求两人的速度各是多少？【解析】同向而跑，这实质是快追慢.起跑后，由于两人速度的差异，造成两人路程上的差异，随着时间的增长，两人间的距离不断拉大，到两
7、人相距环形跑道的半圈时，相距最大.接着，两人的距离又渐渐缩小，直到快的追上慢的，此时快的比慢的多跑了一圈.背向而跑即所谓的相遇问题，数量关系为：路程和速度和=相遇时间.同向而行2分30秒相遇，2分30秒=150秒，两个人的速度和为：3150=2（米/秒），背向而跑则半分钟即30秒相遇，所以两个人的速度差为：30030=10（米/秒）.两人的速度分别为：。0-22=4（米/秒），10-4=6（米/秒）【巩固】在400米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，假如同向而行3分20秒相遇，假如背向而行40秒相遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度各是多少？【解析】甲乙的速度和为：40040=10（米/秒），
8、甲乙的速度差为：400200=2（米/秒），甲的速度为：Q0+2）2=6（米/秒），乙的速度为：Q0-2）2=4（米/秒）.【巩固】两名运动员在湖的四周环形道上练习长跑.甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米，两人同时同地同向动身，经过45分钟甲追上乙；假如两人同时同地反向动身，经过多少分钟两人相遇？【解析】在封闭的环形道上同向运动属追及问题，反向运动属相遇问题.同地动身，其实追及路程或相隔距离就是环形道一周的长.这道题的解题关键就是先求出环形道一周的长度.环形道一周的长度可依据两人同向动身，45分钟后甲追上乙，由追及问题，两人速度差为：250-200=50（米/分），所以路程差为：50x45
9、=2250（米），即环形道一围的长度为2250米.所以反向动身的相遇时间为：2250Q50+200）=5（分钟）.【巩固】（第4届希望杯培训题）在环形跑道上，两人在一处背靠背站好，然后起先跑，每隔4分钟相遇一次；假如两人从同处同向同时跑，每隔20分钟相遇一次，已知环形跑道的长度是1600米，那么两人的速度分别是多少？【解析】两人反向沿环形跑道跑步时，每隔4分钟相遇一次，即两人4分钟共跑完一圈；当两人同向跑步时，每20分钟相遇一次，即其中的一人比另一人多跑一圈须要20分钟.两人速度和为：16004=400（米/分），两人速度差为：160020=80（米/分），所以两人速度分别为：MX）+80）2
10、=240（米/分），400-240=160（米/分）【例4】（难度等级X）两人在环形跑道上跑步，两人从同一地点动身，小明每秒跑3米，小雅每秒跑4米，反向而行，45秒后两人相遇。假如同向而行，几秒后两人再次相遇【解析】（4+3）45=3I5米环形跑道的长（相遇问题求解）315（4-3）=315秒（追及问题求解）【巩固】（难度等级派）一条环形跑道长400米，小青每分钟跑260米，小兰每分钟跑210米，两人同时动身，经过多少分钟两人相遇【解析】小青每分钟比小兰多跑50米一圈是400米400/50=8所以跑8分钟【巩固】甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A背向同时动身，8分钟后两人第五次相遇，已知每
11、秒钟甲比乙多走0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程是多少米？【解析】176【例5】（难度等级派）周老师和王老师沿着学校的环形林荫道漫步，王老师每分钟走55米，周老师每分钟走65米。已知林荫道周长是480米，他们从同一地点同时背向而行。在他们第1。次相遇后，王老师再走一米就回到动身点。【解析】两人每共走1圈相遇1次，用时480（55+60）=4（分），到第10次相遇共用40分钟，王老师共走了。5540=2200（米），要走到动身点还需走，4805-2200=200（米）【例6（难度等级派）在400米的环行跑道上，A,B两点相距100米。甲、乙两人分别从A,B两点同时动身，按
12、逆时针方向跑步。甲甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米,都要停10秒钟。那么甲追上乙须要时间是多少秒？【解析】甲实际跑100/（5-4）=100（秒）时追上乙，甲跑100/5=20（秒），休息10秒；乙跑100/4=25（秒），休息10秒，甲实际跑100秒时，已经休息4次，刚跑完第5次，共用140秒；这时乙实际跑了100秒，第4次休息结束。正好追上。【例7】在环形跑道上，两人都按顺时针方向跑时，每12分钟相遇一次，假如两人速度不变，其中一人改成按逆时针方向跑，每隔4分钟相遇一次，问两人跑一圈各须要几分钟？【解析】由题意可知，两人的速度和为1.,速度差为1-412可得两人速度分别为!+-
13、!-2=，和（1-!-2=-!-（412J6（412J12所以两人跑一圈分别须要6分钟和12分钟.【例8】（难度等级派）有甲、乙、丙3人,甲每分钟行走120米,乙每分钟行走100米,丙每分钟行走70米.假如3个人同时同向,从同地动身,沿周长是300米的圆形跑道行走,那么多少分钟之后,3人又可以相聚在跑道上同一处？【解析】由题意知道：甲走完一周须要时间为3OOI2O=3（分）；乙走完一周须要时间为3OO1OO=3（分）230丙走完一周须要时间为300700=亍，那么三个人想再次相聚在跑道同一处须要时间为：5305,30,33027J（2,7,1）1【例9】（难度等级派）甲、乙二人骑自行车从环形马
14、路上同一地点同时动身，背向而行.现在已知甲走一圈的时间是70分钟，假如在动身后45分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟？【解析】甲行走45分钟，再行走70-45=25分钟即可走完一圈.而甲行走45分钟，乙行走45分钟也能走完一圈.所以甲行走25分钟的路程相当于乙行走45分钟的路程.甲行走一圈需70分钟，所以乙需7025x45=126分钟.即乙走一圈的时间是126分钟.【例10（难度等级派）林琳在450米长的环形跑道上跑一圈，已知她前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米，那么她的后一半路程跑了多少秒？【解析】设总时间为X,则前一半的时间为X/2,后一半时间同样为X/2X2*5+X
15、2*4=450X=100总共跑了100秒前50秒每秒跑5米，跑了250米后50秒每秒跑4米，跑了200米后一半的路程为4502=225米后一半的路程用的时间为（250-225）5+50=55秒【巩固】某人在360米的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米,则他后一半路程跑了多少秒？【解析】44【例11（难度等级派）甲、乙、丙在湖边漫步，三人同时从同一点动身，绕湖行走，甲速度是每小时5.4千米，乙速度是每小时4.2千米，她们二人同方向行走，丙与她们反方向行走，半个小时后甲和丙相遇，在过S分钟，乙与丙相遇。那么绕湖一周的行程是多少？【解析】30分钟乙落后甲（5.4-4.2）+2=0.6（千米），有题意之乙和丙走这0.6千米用了5分钟，因为乙和丙从动身到相遇共用35分钟，所以绕湖一周的行程为：3550.6=4.2（千米）。【例12（难度等级派）甲和乙两人分别从圆形场地的直径两端点同时起先以匀速按相反的方向绕此圆形路途运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又其次次相遇。求此圆形场地的周长？【解析】留意视察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完1圈的路程，当甲
