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1、3. 3.3函数的最大(小)值与导数【选题明细表】学问点、方法题号函数极值与最值的关系1函数的最值2,3,6,13由函数最值求参数(或范围)4,5,7,10函数最值的应用9,11综合应用8,12【基础巩固】1 .下列说法正确的是(D)（八）函数在其定义域内若有最值与极值,则其极大值便是最大值,微小值便是最小值(B)闭区间上的连续函数肯定有最值,也肯定有极值(C)若函数在其定义域上有最值，则肯定有极值;反之,若有极值，则肯定有最值(D)若函数在给定区间上有最大(小)值，则有且仅有一个最大(小)值,但若有极值，则可有多个极值解析：由极值与最值的区分知选D.2 .函数f(x)=x-3x(x1)(D)
2、（八）有最大值,但无最小值(B)有最大值,也有最小值(C)无最大值,但有最小值(D)既无最大值,也无最小值解析：f(x)=3x-3=3(x+l)(x-1),因为xe(-1,1),所以f(x)0,即函数在(7,1)上是单调递减的,所以既无最大值，也无最小值.故选D.3 .函数f(x)=3x(-wWxW3)的最大值为(B)()18(B)2(C)O(D)-18解析:f(x)=3-3x：令f(X)=O,得x=l,5WxT时,f(x)0,kx3时,f(x)0,故函数在X=T处取微小值,在x=l处取极大值.因为f(D=2,f(T)=-2,乂f(-v5)=0,f(3)=-18,所以f(x)1.,=2,f(x
3、)UI=T8.故选B.4. (2019大同高二检测)函数f(x)=x3a-a在(M)内有最小值,则a的取值范围是(B)()0,1)(B)(0,1)(C)(-1,1)(D)(OW)解析:因为f(x)=32-3a,令f(x)=0,可得a=x”有解,又因为x(0,1),所以0al,故选B.5. (2019东莞市高二期末)已知aR,若不等式n-9-20对于随意xG(1,+8)恒成立,则a的取值范围为(C)（八）(-,2(B)(-8,(C)(-,-1(D)(-8,0解析：由己知得,al),则f(X)=Inx+2-l,f,(x)0,f(x)在(1,+8)递增，故f(x)-l,故aT.故选C.6 .函数f(
4、x)=,x-2,2的最大值是,最小值是.解析倜为(卓萨谭探令y=0可得x=l或-1.又因为f(l)=2,f(-l)=-2,f(2)f(-2)=4所以最大值为2,最小值为-2.答案：2-27 .(2019包头高二月考)函数f(x)=x2+2ax+l在0,1上的最小值为f(I)JliJa的取值范围为.解析：f(x)=2x+2a,f(x)在0,1上的最小值为f(l),说明f(x)在0,1上单调递减,所以xw0,1时，f(x)SO恒成立，f,(l)=2+2aW0,所以aW-l.答案8 .(2019北海高二检测)已知函数f(x)=-1+3xz+9x+a.(1)求f(x)的单调递减区间;若f(x)在区间-
5、2,2上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.解：(Df(X)定义域为R,因为f(x)=-3x2+6x+9.令f(x)0,解得x3,所以函数f(x)的单调递减区间为(-8,T),(3,+8).(2)由(D及已知,f(x)在-2,-1上是减函数,在-1,2上是增函数,因为f(-2)=8+12T8+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,所以f(2)f(-2).于是有22+a=20,所以a=-2.所以f(x)=-+3x+9-2.所以f(-l)=l+3-9-2=-7,即f(x)最小值为-7.【实力提升】9 .已知函数f(x),g(x)均为a,b上的可导函数，在a,b上连续且(x)g(
6、x),则f(x)-g(x)的最大值为（八）（八）f（八）-g（八）(B)f(b)-g(b)(C)f（八）-g(b)(D)f(b)-g（八）解析：f(x)-g(x)=f(x)-g,(x)0,f,()=2;对于X1,e,有f()0,所以f(x)在区间l,e上为增函数，所以f(x).n,=f(e)=l+pf(x)-=fW令g(x)=f(x)-2ax=(a-)x-2ax+lnx,在区间(1,+8)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方,等价于g(x)g,令g(x)=0,得小=1,X2j,当x-笈0,此时g(x)在区间(沟,+8)上是增函数，当X+lj,W(a-)x-2ax-+,In-*+ootg
7、(x)g(xJ,+8),不合题意；当XzWxi=IHJaR时，同理可知,g(x)在区间(1,+8)上是增函数，当f+8时，有(a4)xJ-2ax-+,In-*+ootg(x)w(g(l),+8),也不合题意.若ag,则2aT0,此时在区间(1,+8)上恒有()0),求函数在1,2上的最大值.解:因为f(x)=x%3(a0),所以f(x)=2XerX2(-a)e=e4(-ax2+2x).令f(x)0,BJeux(-ax2+2x)0,得0x.所以f(x)在(-8,0),+8)上是减函数，在(0,3上是增函数.当042时,f(x)在1,2上是减函数，所以f(x)*f=e.当1*2,即la2时，f(x)在(1,：)上是增函数，在(：,2)上是减函数，所以f(x)n,=f2.当92,即0al时，f(x)在1,2上是增函数,所以f(x)皿=f(2)=4e:综上所述,当OSWl时，f(x)的最大值为4e2u;当la2时,f(x)的最大值为Ae-2;当aN2时，f(x)的最大值为e.
