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1、第三章线性方程组考试内容：克莱姆法则：方程组有非。解的充要条件，非齐次线性方程组有解的充要条件；线性方程组的性质和解的结构；齐次线性方程组的性质和解的结构；齐次线性方程组的基础解系和通解，非齐次线性方程组的通解。考试要求：1会用克莱姆法则；2理解齐次线性方程组有非O解的充要条件以及非齐次线性方程组有解的充要条件；3理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念；掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法；4理解非齐次线性方程组的解的结构及通解的概念；5会用初等行变换的方法求解方程组。内容概要(3)矩阵形式：AX=b1*2克莱姆法则：当A是方阵且IA工O二X=Ab=UAbH1方程组的形式：(2)向量形式
2、：(1)一般形式IrqqyyaX82X2+a11X11a21Xl+a22X2+a2nXn巾21lj%2an线性表示；注意b不能被a2,an线性表示与向量组b,a仆a25线性无关的含义不完全一样；后者能够推出前，但是前推不出后。(2)方程组AX=b有解二r（八）=r(Ab)=r（八）有唯一的解二r（八）ur(Ab)=r（八）=n二向量b被,a2；an唯一的表示；有无穷多组解ur()ur(Ab)=r（八）nu向量b被al,a2；其表示法不是唯一的(因O1.逑号2,an线性相关)。5非齐次线性方程组AX=b与其导出组AX=0的解之间的关系(1) AX=b有唯一的解=AX=0但注意，反之并不能成立，即
3、AX=0仅有0解，不能推出AX=b有唯一的解(因为b未必能被a*2,a2,，叫线性表示)。如果A是方阵时，则结论一定成立；如果AX=0,仅有0解，且AX=b有解，贝y此解是唯一的：事实上，用向量的语言就是：若%a2,叫线性无关，而b可被a1,a2,a线性表示，则表示式是唯一的。如果*1,n2是其两个解，则k+kz-也是此方程组的解；其中k,k2是任意的(2) AX=b有无穷多组解，=AX=O有非O解，Zlr（八）cnusm.线性相关;反之不成立，即AX二0有非。解时，AX=b未必有解；(3)如果nJ)方法2由同解方程组可得自由变量为让自由变量取一组线性无关的向量2(其个数为3二自由变量的个数)
4、，例如取1,1,0J)OlO)解:这里的胴，n3便是原方程组的一个基础解系。如自由变量取则得到的对应的解I是n-这里的一,他n3便是原方程组的一个基础解系;同一个齐次线性方程组AX=O的两个%同的基础解系是等价的;7关于一般非齐次线性方程组AX=b的解,则得到原方程组的一组(1)如果是方程组AX=b的一个特解，(令自由变量取一组确定的值得到的原方程组的一个解称为其特解，通常自由变量取0)(2)如果n1,n2,，n是对应的导出组的基础解系，则0,是线性无关的；这是因为：假设有k。kn4使得：&口0栋1口1+knjn-r=二心0*0+小+knJn-r)=AO=O又根据条件可得：AS=027=0,，
5、Ah=O二ko存第醺错产小野n昨r=0(3)若方程组AX=0,而r（八）=r,则它的基础解系所含有的向量的个数从而由&%+1*+knJn-r=O=k,i1.P+knJn-r=0但是由条件=3,112,，11nj是线性无关的kl=k2,2,二二ku=0故结论成立。基本题型题型1具体的数字线性方程组的求解将A=(AbA-系列初等行变换I阶梯型矩阵一初等行变换IT(行简化的阶梯形矩当r（八）=r(Ab)阵)=r（八）时，方程组有解，在有解的前提下给出其解;当r（八）Hr（八）W,方程组无解。要求：过程一定要清楚，具体求解计算要准确。题型2系数为参数的线性方程组解的情况判定例1已知方程组23a+2X二
6、3Ja-2Je解：方法1注意此方程组的系数矩阵是一个三阶方阵，若方程组无解,则必有IA=0,易计算IA=-(a-3)(a+l)组无解;当a=T时，a=-1,A121初等行变换211、此时方程二2313011-11-1-20.0001)当a二3时A二q21P初等行变换2112353013JJ3-2M000-故此方程组有无穷多组解;通解。方法2A=1a+2-2显然当a=3寸方程组有解,2、初等行变换0()-1O(a-3)(a+1)当a二时，方程组无解。t且方程组AX-O的解空间的维数是2,由条件解空间的维数是2=3、1a-3J求AX=O的r（八）=2,由此可确定t,进而可求出AX=O的通解;2、初
7、等行变换l-2t2-2t.由于r（八）=2=t=l,此时与原方程组同解(t-D2(t-)2j的方程组是Xix3+X3+Xd=0因而可得此方程组的通解为：X题型3关于线性方程组的通解的问题(1)具体的数字方程组的求通解应当熟练；(2)含有参数的线性方程组求通解应转化为上面的数字方程组；如上面的题型2；(3) 根据方程组的通解性质求此通解；例1已知四阶矩阵A=(Otla2EJ也也a?a,均为四维列向量其中a2,a3,a4线性无关，且%=22-3,4若=aaaa4,求AX-P的通解。解由条件知r（八）二3二方程组AX=0的基础解系仅含有一个向量，又显然是方程组AX=P的一个特解，故只要求出此导出组A
8、X=0的一个基础解系，而r（八）=3,AX=P是四个未知数的方程组，因此基础解系仅含有一个非0的是AX=0即是(al,酸，a3,3,a4)X=0的一个非0解，故原方程解向量；又ar=22-3=W-22+口3=0例2设A是秩为3的5咒4矩阵，a2,a3是非齐次线性方程组AX=b的组的通解为%+01(其中k是任意的数)。三个不同的解，若%+口2+24,3%+%=求方程组AX=b的通解。解因为r（八）=3而A是5咒4矩阵，故方程组AX=O的基础解系仅含有一个非0向量，由所给的条件可得：=A(%+2+2%)=A%+皿2+2Aa3=4b故原方程组的通解为X=5kS,其中k为任意的数。=A(坯+5)=3A
9、a1+Aa2=4b例3已知非齐次线性方程组程组AX=b的一个特解，Xq=IX4=-1bx4一1(1),V9,YQ+证明：r（八）=2；(2)求a,b的值，及方程组的从而4x+3x2+5x3-a132小/也线性无关，且是导出组的两个线性无关的解，因此导出ay+X2+3x3+有匚个线性不关的解.通解。解：(1)设ga，2,03是上述方程组的三个线性无关的解向量,有A中有一个二阶子式工O=r()2二NA)=2组的基础解系所含有的向量的个数2,即4-r（八）2=r（八）2；，111-P，02-42、又A=435-1-1初等行交换01-15-313b1.004-2a4a+b-54-2aJ2-42、A-初
10、等行变换T0-J5-3.0对应的方程组的通解为：0C因为r（八）=2,故a=2,b=3,此时2、一3n=0例4已知设A1(0J解，；(1)求几，a;(2)解(1)由条件知:/4、-50,其中C,C2为任意的数)。11A-I0a)已知方程组AX二b存在两个不同的求方程组AX=b的通解。A=O,从而可得(几-D(兀+1)=0,即产一1若卷=1,易知r（八）=1,r（八）二2,此时方程组无解;由于方程组有解，所以必有T,此时Ilal初等行交换020111-1,JI1-2Jl1-2由于方程组有解，故r（八）=r（八）=a=-2-1当扎2=l,a=2时，此时AT故方程组的通解为X二-X01q其中K为任意的数。题型4关于线性方程组的公共解、同解问题Xi+2x2+3x3例1已知齐次线性方程组I2X+3x2+5x3=0=0和4.ax3中bx,中ex,二0Xi方程组n(2x朴2%2,+(C+31)x3=0同解,解：因n的系数矩阵B,其秩NB)W22=r（八）=2,由此求得I的基础解系为=-1-1+b(-l)+c-2-b2+(c+1)=b=O或b=1a=2a=2即*b=0,*b=1c
