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1、第11讲：轴对称【问题概述】初中数学最值问题是每年中考必出题，更是图论研究中的一个经典和法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”.【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”.【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等.【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查.一.【十二个基本问题】【问题1作法作图原理A/*在直线/上求一点P,使PA+PB值最小。连AB,与/交点即为P.AB两点之间线段最短.PA+PB最小
2、值为AB.【问题2作法作图原理48/在直线/上求一点P,便PA+PB值最小.作8关于/的对称点8连ABf,与I交点即为P.Ah尸；B,两点之间线段最短.PA+PB最小值为AB.【问题3“将军饮马”作法作图原理/）乙,在直线11、12上分别求点M、N,使ZPMN的周长最小.分别作点P关于两直线的对称点P,和P,连PP1,与两直线交点即为M,N.42%两点之间线段最短.PM+MN+PN的最小值为线段PP,的长。【问题4作法作图原理人,在直线11,I2上分别求点M、N,使四边形PQMN的周长最小。分别作点Q、P关于直线h、I2的对称点Qz和P连QP,与两直线交点即为M,M412P,两点之间线段最短四
3、边形PQMN周长的最小值为线段P,的长。【问题5“造桥选址”作法作图原理B直线mn,在m、n,上分别求点M、N,使MN_1.m,且AM+MN+BN的值最小。将点A向下平移MN的长度单位得Al连A&交于点N,过N作NMIm于M.A两点之间线段最短.AM+MN+BN的最小值为AB+MN.【问题6作法作图原理3/MaN在直线/上求两点M、N（M在左），使MN=。，并使AM+MN+NB的值最小.将点A向右平移。个长度单位得A,作A关于/的对称点A,连AB,交直线I于点N,将N点向左平移。个单位得M.AA,M.加*A两点之间线段最短.AM+MN+BN的最小值为A一B+MN.【问题7作法作图原理A,.在/
4、1上求点4,在/2上求点B,使PA+AB值最小.作点P关于Ii的对称点P,作PB1.于B,交Ii于A.匕点到直线，垂线段最短PA+AB的值最小为P,B【问题8作法作图原理小MBA为Ii上一定点，B为12上;A为Ii上一定点，B为1.上一定点，在I2上求点M在h上求点N,使AM+MN+NB的值最小.作点A关于I2的对称点A,作点B关于Ii的对称点B,连AB交1.于M,交h于N.B,上,/Bl-A,两点之间线段最短AM+MN+NB的最小值为线段AzB,的长.【问题9作法作图原理1.B/在直线/上求一点P,使IPA4的值最小.连AB,作AB的中垂线与直线/的交点即为P.A.g.,/P垂直平分上的点到
5、线段两端点的距离相等.【问题10作法作图原理a.B/作直线AB,与直线A三角形任意两边之差小7P2在直线/上求一点P,使PW4的值最大.I的交点即为P.于第三边.AB.【问题Ill作法作图原理A/在直线/上求一点P,使IPA4的值最大.作3关于/的对称点B,作直线AB,与/交点即为P.A:iIj.pB三角形任意两边之差小于第三边.IPAnP4WKB,.【问题12“费马点”作法作图原理AqBC中每一内角都小于120,在AABC内求一点尸，使PA+PB+PC值最小.所求点为“费马点”,即满足NAPB=NBPC=NAPC=120.以A8、AC为边向外作等边4A8ZXACE,连CD、BE相交于P,点P
6、即为所求.限.A二BC两点之间线段最短.RA+PB+PC最小值=CD.二.“一次对称”常见模型:_FAK【精品练习】1 .如图所示，正方形ABCD的面积为12,使PEh-PE的和最小，则这个最小值为A.2B.2C.3D.2 .如图，在边长为2的菱形ABCD中，于点E、F,则ACEP的周长的最小值为NCBDCBNCABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P,)ZABC=60,若将AACQ绕点A旋转，当AC.A少分别与BC、CD交()NDV!DEAyDA.2B.2C.2+D.43.四边形438中，NB=Nz）=90。，ZC=70,在BC、Co上分别找一点M、N,使AAMN的
7、周长最小时，NAMN+NAMW的度数为（）A.120oB.130oC.IlO0D.1404.如图，在锐角4ABC中，AB=Aa,ZBAC=45o,ZBAC=45o,ZBAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是o5.如图，RtAABC中，ZC=90o,N8=30。，AB=6,点E在AB边上，点、D在BC边上（不与点8、C重合），且ED=AE,则线段AE的取值范围是o6 .如图，ZAOB=30,点、M、N分别在边OA、OB上，且OM=I,ON=3,点、P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是.（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于
8、斜边的平方，即RtXABC中，ZC=90o,则有AC2+BC2=AB2）7 .如图，三角形AABC中，NOAB=NAoB=I5。，点B在X轴的正半轴，坐标为8（66，O）.OC平分/AOB,点M在Oe的延长线上，点N为边QA上的点，则MA+MN的最小值。8 .已知A（2,4）、B（4,2）.C在y釉上，。在X轴上，则四边形ABCD的周长最小值为。此时C、D两点的坐标分别为。ya.9 .已知A（1,1）、B（4,2）.（1）P为X轴上一动点，求PA+PB的最小值和此时P点的坐标；（2）P为X轴上一动点，求%-PB的值最大时P点的坐标；（3）CD为X轴上一条动线段，。在C点右边且CQ=1.求当AC
9、+CD+DB的最小值和此时C点的坐标；在（1）的条件下，若NAoB=30,.OC=I0,求ACDE周长的最小值和此时NoCE的度数.AOB10.点C为/AOB内一点.（1）在OA求作点O,OB上求作点E,使aSE的周长最小，请画出图形；（2）Ya乎yABBBA.A.A.OXOXOCDX11 .(1)如图，AABD和AACE均为等边三角形，BE、CE交于F,连AF,求证：AF+BF+CF=CD;(2)在AABC中，NABC=30,AB=6,BC=8,ZA,ZC均小于120,求作一点P,使PA+PB+PC的值最小，试求出最小值并说明理由.12 .荆州护城河在CC,处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处，需经过两座桥DD、EE,护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直.如何确定两座桥的位置，可使A到B点路径最短？
