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1、课时规范练74求值与证明问题1.（2022天津,19）椭圆+的右焦点F、右顶点A和上顶点5满足氏=.求椭圆的离心率；0（2）直线I与椭圆有唯一公共点M与y轴相交于点N（N异于M）.记O为原点,若IoMI=IoNI.且AMON的面枳为、应求椭圆的方程.2（2023北京,19）己知椭圆4+*=1（“方乂）的离心率为争人,。分别是的上、下顶点,乐D分别是E的左、右顶%,AC=4（I）求E的方程；（2）设P为第一象限内E上的动点,直线PD与直线BC交于点M直线PA与直线y=-2交于点N.求证:MNCD3（2024山东;卷坊模拟）已知抛物线C:=2PAa0）的焦点为FMIAi:34.）4./=4/六抛物
2、线上一点N到其准线的距离等于其到圆心M的距离,且5”仙=华（I）求抛物线C和圆M的方程；（2）过抛物线上一点网冲四）作圆M的切线PA,PB分别交他物线于A,B两点,已知直线AB的斜率为一.求点P的坐标.4(2024江苏无锡模拟)已知八.8。为椭圆C0力0)的焦距为2巫,且双曲线C右支上一动点P(mn)到两条渐近线/5的距离之积为(I)求双曲线C的标准方程；(2)设直线/是曲线C在点P(MhW)处的切线,且/分别交两条渐近线八小于MN两点。为坐标原点.求AMON的面枳.6(2024山东薄泽模拟)设抛物线Cv2=2Px(P0)的焦点为F点Mp.0),i“的直线交C于MN两点.当直线A)垂直于X轴舟
3、.附尸=3.(1)(H求抛物线C的方程;(方)若点M在笫一象限且吗=木求阳附yr，(2)动直线/与抛物线C交了不同的两点4及P是抛物线上异FAJi的一点,记PA,PB的斜率分别为力.七.，为非零的常数.从下面中选取两个作为条件,证明另外一个成立.点P的+标为(产.2注h+吟直线，而经过点(-*).课时规范练74求值与证明问题1 .解(I)由题意,/；=，,可得“2=3尻所以离心率=-=/1-7=存z+ft22i3(2)由题意,椭圆方程化为F+3y2=3尻设(mi)(JMO),则nr+3n2=3b2.过椭IS上点SMT)的切线方程为“+3y=3尻所以iv(.).因为QM=IoNl.所以加+/=*
4、因为SAMtW=V5.所以;XIttIm=V3.”=3.22联立,解得M=1,所以福圆的标准方程为I+J=l.G6Zb2-2,2 .解依题意,得e=*则c=.又AC分别为桶圆上、下顶点JACl=4,所以%=4,即A=2,所以标标=4,即=g=4,则a?=%所以椭圆的方程为5+9=1.(2)证明因为椭圆E的方程为9+?=I,所以(O,2),C(O,-2),(-3,O),D(3,O).因为P为第一象限内E上的动点,设卬小)(0，3。2),则9+=1，易得AW=号=W则直线BC的方程为)=1x-2,APo=岑=则直线P。的方程为-3-033m-3m-3y=-r-3).zm-3联立即My=-rx-2.
5、三解得y=-(x-3).(3n2rn6)12I3n2m-63n2m-6._3(3n2m+6)3n+2m-6_12nJ3n+2m6:)而5=三=则直线PA的方程为V=x2.j11)(y.y).B(yl.y2).S.线A8的方程为y=+fc.(y-4*得3y2+4y-4Z=0,则y1+,2=Vy2=X,设电浅PA的方程为(j-y)(y-yo)O,)(-y?)=0.易知i)y.整理得-(w+y)y+WiiVi=O.因为PA与圆相切，所以J+%”=1.整理得(MJ)W+2y+3M=0.JIXM)+力产同理可得(M-IM+2.VO.V2+3M=0.所以y.yz为方程(M-I)y2+2wy+3-M=O的两
6、根.则+y2=-.Xo-1所以票=*即2y3)u-2=O.所以W=T或8=2,经检毅符合题意.所以喔,4)或4,2).4 .解设A(x,y),B(.v2,y),=1,=1.则CUn+必/以+/A）m（空,空）.将人8代入/:?+?=1,得I：*将C代入+=1.得空Sl+曳包支=.4343又因为产以=1即乃(+)v2(+?)+2竽+竽)=1.所以竿+竽=（）.所以粤至+笔工=：+）（+当+2（牛+竽）与所以O的方程为+（=；.432即。的方程为9+=ly(2)证明设57的中点为G,PQ的中点为G.当/垂直X轴时,由对称性可得IPM=IQ71;当/不垂直.r轴时.设l.y=k.x+m.将直鼓/的方
7、程代入厂:?+?=1,得(3+4A2*+8A三+4H12=O.所以心+、尸黑X+)+仃)+2，片煞J,所以XG=黑典=赢和g(彘，券)，同理呜捺币).由此可知IPSl=|。琮上JPSl=IQ715 .解双曲线C的渐近线方程为v+wv=0和bx-ay=O.以gt+也I.Ig-到_也加_标/八t+ftz+il2+t2-a2+t2由题意可得孚=兆.即/=4四Sa+D又2r=25.Wj2=5.解得a=2.b=,则双曲线C的标准方程为9-)2=|.(2)当宜线/的斜率不存在时,易知此时代2,0),直线/5=2,不妨设M(2,1),N(2,-1),得StMoN=2.当直线/的於率存在时,设直线/的方程为y
8、=kx+tn.kO,k与双曲线的方程2-4r=4联立.可(4Ar-lXr+8三+4+4=0.由直浅与双曲块的右支相切,可将J=(8n)2-4(42-l)(4zr+4)=0.42=,r+l.设直线/与r轴交于点D则d(-P0)又双曲线的渐近线方程为)，=上1联立y=产可得ykx+m,_2m:二空不妨令借)yl-2k同理可得n(康提).Sa*w=Samod+S3ooWI(MIlyM-1=馈U1xwxn=尚M7+=图卜I4mI2m2_IGI=2标上.AWON的面积为2.6 .解(/)由题意得C，0)，因为直线M。垂宜于X轴Qs.0),所以点M的横坐标为p,代入Cj2=2m30)中炉=%2,则0M2=
9、2p2.在RtAOMF中JOFl=Pa=?由旬股定理得IMFl=J0F+IDMI2=J+2p2=3,得p=2.故弛物鼓。的方程为=4.(方)由(/)知尸(1,0),因为瞿=；,所以IMFAT1,直域MN的斜率存在且不为0.W4设直送.MN的方程为y=Mt-1)M0.与,r=4X联立得,H22-(2n2+4)+M=0.设M(x,.Vi)(r2,y2)10,y1X),r11.2rn2+4IW1JXl2=-m-,XX2=1.E为照=所以=去即X2=4w+3,将其代入l2=l中得4H+3r-I=。,解得XIW,负INFI4Xj144值舍去，则X2=4x+3=4JMNl=XI+.0+=：+4+2=.若选
10、作为条件证明,设直AB.x=ky+n,A(，以)，8()b)联立n得-4妙-4=0,故yi+)w=4A.)x.ya=Y,故=京?同理故爪出云+嵩=i三即端K,解得i、所以八3:X=KV-尸,即直线AB经过点(/,0).16k+16t-4n*8fct*4tr若选作为条件证明,设直线AB-.x=ky-rA.力”件,yff).联立B=.：；2得/4下+4户=0,所以+=4AYA)W=4尸岗=铲=同理妇=P所以为+ft2=7+套=41V人+VB16。,yB2C(yx+l+4(16lf*16e16Jk+16f2-_-_一4+8*，+4-Bt28kt一C若选作为条件证明,设宜线AB:K=心,尸川(?M),仔,犯)、P(XQm).联立P-r4”2得V24Af+41=0,所以)乂+”=4人)辑=4户人】=与出=1同理*2=-=-V+-=WmETvbzxoy+20v/2myp20y+ya)+所以-；=之即(f-M(-M)=0,yAyu+zxoWA+ygH塌t4W/X8H16O要想上式对任意的k成立,则rx=O.即r=m故点P的坐标为(尸2).
