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1、离散型随机变量的均值与方差一、考点、热点回忆【学习目标】I.理解取有限个值的离散型的机变量的均Ift或期望的慨念,会根据恐放型随机变I1.t的分布列求出均值或期望，并能解决一实际问造：2.理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差，并能解决一些实际问时：【要点樵理】要点一、育敛型机变量的期直1.定义：一般地.假设黑敌型班机变盘岁的概率分布为X2七PPPP那么称E=X1.p1.+X2P2+.+xnPu+.为J的均值或数学期引，简称期轨要点诠的(1)均值(期里)是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平.(2) 一般地，在
2、有限取值离敌型随机变量S的概率分布中，令四=0=P，那么有p1=p,=.,=pn=1.tE=(x1.+.v,+.+x)1,所以S的数学期望又称为平均数、均值.”I1.(3) 1.机变敏的均佗与随机变出本身具有相同的冷位.2.性质，()=%+/：畦设=喈+Ha、b是常数)，是随机变状，那么也是IoI变版，有E(*+b)=aE+b;+Z)=。与+Z的推导过程如下：，7的分布列为xIX2X、Haxt+b3+b*ax1.+bPp,P2Pt于是EtJ=(ax1.+b)p1.+(OxI+b)p2+.+Utv1+b)pi+.=(x1pi+X2P2+.+xpi+.)+b(p1.+p2+p卢=aE+b.E(a+
3、)=aE+b，要点二：敛黄机知的方差与标准差1 .一IMc据的方差的概念，殂数据司，X2X“，它们的平均值为F,那么各数据与f的差的平方的平均数S2=匕-工)2+(工一二产+叫做这组数据的方差。n2 .高能堂.机变量的方差，一般地,假设肉敢型随机变量4的概率分布为再X2X、PPiPiP1那么称D=(Ai-E)2-P1.+(x2-E)2-P2+.+(xa-E)i-Pi+称为随机变O的方差,式中的E是随机变附4的期望.Of的算术平方根万三叫做随机变里岁的标准差，记作bS要点诠狎，的机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的：随机变埴的方差、标准差也是随机变价的特征数，它们都反映了随机变履取
4、值的例定与波动、集中与国放的程度：方差(标准差)越小,班机变量的取值就越稳定(越战近平均值).标准差与时机变质本身有相同的唯位，所以在实际问即中应用更广泛.3 .期望和方差的关Ih4 .方差的性质，假设，7=。+口、1是行数)，S是随机变吊，那么也是的机变崎，D=CXa+b)=a2D.要点三，常见分布的期与方差1、二点分布I锻设离散型阻机变玳服从多数为P的：点分布，加么期望E=P方差ZV=P(I证明：P=0)=q.P(=1)=p.Qp.p+q=I：.E=OX4+1XP=P2、二项分布，假设离散型的机变量S服从参数为,的二项分布,W-B(n.P).那么期里瑟=P方差=P(I-P)期不公式证明：P
5、(t(1.-P)I=C：p%.：.庭=OXOV+1XCdG+2C3qai+.+C*pt*+.+CV-!(一幻！(-1)(m-I)-(-I)!E=叩(C,pV-+C1.PzT+U*7F+Cq。)=wXp+)+(4a+)=1.又=3,即1.(a+Z)+2(2a+)+3(3+Z0+4(4+,)=3.解得a=0.1.,b=0,故a+b=0.1.例2.袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，好取到一个纵球记0分，好取到一个白球记1分,每取到一个红球记2分,用岁表示得分数.求:6的慨率分布列:6的数学期里。【思路点拨】此题求岁收各个值的概率.其类型显然是古典概型.【解析】依翘意4的取值为0、1
6、、2,3、4C14=0时,取褥2黑球，。佰=0)=二一C；6C-C11=IM.4=2时,J=3时,取得1黑球I白球，.P(=D=三券=取2白球或1红球1黑理，.P%=2)=皂+Gf=U,QQ36取1日球1红球，.PR=3)=Sa=Q6C2I取2红球，.PC=4)=涓=立，.4分布列为0I234_211_1Y6336636期望E=0+1.+2+3+4=.【总结升华】求宓散型随机变玳均值的关键在于列出概率分布表.举一反三，【变式1】随机的抛掷一个骰子.求所得般于的点数&的数学期望.答案拈一嵌于所得点数M的概率分布为I23456P666666所以=I+2+3-+4-+5-+6-=(1.+2+3+4+
7、5+6)-=3.5.6666666抛掷骰子所得点数4的数学期里,就是的所有可能取值的平均值.【变式2】甲、乙、丙、J独立地破谛一个密码，其中甲的成功率是1,乙、丙、丁的成功率都是1.23(I)假设玻洋密码成功的人数为X,求X的概率分布；(2)求破谛率码成功人数的数学期型.【答案】(I)破译密码成功的人数X的可能取值为0，I.2.3,4.P(X=O)=Ix(I)=A,P(X=2)=：XcXH)+c；x；)18P(X=3)=1.Cj+(1)1.75454P(X=4)=1=那么X的概率分布表为X0I234P85420541854754154Q,O1R7121由知E(X)=OX3+2上+3,+4-!-=I=I.5,545454545454即破译密码成功的人数的数学期里为1.5.【变式3】交5元钱，可以参加一次抽奖，袋中有同样大小的球10个，其中有8个标布1元钱，2个标有5元钱，抽奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和.求抽奖者获利的故学期里.【答案】抽到的2个球上的钱数之和是个随机变量，其中自取每一个俏时所代表的随机事件的概率是容易获得的.此题的目标是求参加抽奖的人获利的数学期望,由4与，7的关系为=-5.利用公式E()=E代)-5可狭解答.设为抽到
