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1、第06章向量代数与空间解析几何习题详解-用于合并第六章向量代数与空间解析几何习题6-11、在平行四边形ABCD中，设=a,=b.试用a和b表示向量、，其中M是平行四边形对角线的交点.解：由于平行四边形的对角线互相平分,所以a+b,即-(a+b)1.于是(a+b).因为,所以(a+b).又因-a+b,所以(b-a).由于,所以(a-b).2、若四边形的对角线互相平分，用向量方法证明它是平行四边形.证：，与平行且相等,结论得证.3、求起点为，终点为的向量与的坐标表达式.解：=,=4、求平行于=Q,1.1的单位向量.解：与平行的单位向量为.5、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？解：AiV;
2、B:V;C:Vi;D：m.6、求点与轴，平面及原点的对称点坐标.解：关于轴的对称点为，关于平面的对称点为，关于原点的对称点为.7、已知点A(a,b,c),求它在各坐标平面上及各坐标轴上的垂足的坐标(即投影点的坐标).解：分别为.8、过点分别作平行于Z轴的直线和平行于Xoy面的平面，问它们上面的点的坐标各有什么特点？解：平行于Z轴的直线上面的点的坐标：；平行于0y面的平面上的点的坐标为.9、求点P(2,-5,4)到原点、各坐标轴和各坐标面的距离.解：到原点的距离为，到X轴的距离为，到y轴的距离为,到Z轴的距离为.10、求证以、三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解：，,即，因此结论成立.11、在
3、yoz坐标面上，求与三个点A(3,1.2),B(4,-Z-2),C(0,5,1)等距离的点的坐标.解：设yoz坐标面所求点为,依题意有，从而联立解得，故所求点的坐标为.12、z轴上，求与点A(-4f1,7),点8(3,5,-2)等距离的点解：设所求z轴上的点为，依题意：I两边平方得，故所求点为.13、求使向量与向量平行.解：由得得14、求与轴反向，模为10的向量的坐标表达式.解：=.15、求与向量=1,5,6平行，模为10的向量的坐标表达式.解：，故.16、已知向量，试求：(1) ；(2).解：(1);(2) .17、已知两点和，求向量的模、方向余弦和方向角.解：因为,所以从而18、设向量的方
4、向角为、.若已知其中的两个角为，.求第三个角.解:“由得故或.19、已知三点，求：（1）与及其模；（2）的方向余弦、方向角；（3）与同向的单位向量.解：（1）由题意知故.（2）因为所以，由向量的方向余弦的坐标表示式得：,方向角为：.（3）与同向的单位向量为20、设在X轴上的投影和在y轴上的分向量.解：.故向量在X轴上的投影，在y轴上的投影分量为.21、一向量的终点为点B（-2,1.-4）,它在X轴，y轴和z轴上的投影依次为3,-3和8,求这向量起点A的坐标.解：设点A为（X,y,z）,依题意有：，故，即所求的点A（-5,4,-12）.22、已知向量的两个方向余弦为cos=,cos=,且与z轴的
5、方向角是钝角.求cos.解：因，又是钝角，所以.23、设三力作用于同一质点，求合力的大小和方向角.解：合力，因此，合力的大小为合力的方向余弦为因此习题6-21、I1.tti1.32I1I解：依题意，故，.IIf2、，求及.与的夹角余弦.解：（1）,.3、已知，求解：，.4、证明下列问题：1）证明向量与向量垂直.2）证明向量与向量垂直.证：1）,即与垂直.2)5、求点的向径与坐标轴之间的夹角.解：设与、轴之间的夹角分别为，则，6、求与平行且满足的向量.解：因,故可设，再由得，即，从而.7、求与向量，都垂直的单位向量.解：，8、在顶点为、和的三角形中，求三角形的面积以及边上的高.解：,三角形的面积
6、为9、已知向量，证明.解10、证明：如果，那么，并说明它的几何意义.证:由,有,但,于是,所以同理由,有,从而其几何意义是以三角形的任二边为邻边构成的平行四边形的面积相等.11、已知向量和，计算下列各式：(1)(2)(3)(4)解：(1)(2),故.(3) .(4)由(3)知.习题6-31、已知，求线段的垂直平分面的方程.解：设是所求平面上任一点，据题意有化简得所求方程.这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程,而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程就是所求平面的方程.2、一动点移动时，与及平面等距离，求该动点的轨迹方程.解：设在给定的坐标系下，动点，所求的轨迹为，则亦即从而所求
7、的轨迹方程为.3、求下列各球面的方程：(1)圆心，半径为；(2)圆心、在原点，且经过点；(3)一条直径的两端点是；(4)通过原点与解：(1)所求的球面方程为：(2)由已知，半径，所以球面方程为(3)由已知，球面的球心坐标，球的半径，所以球面方程为：(4)设所求的球面方程为：因该球面经过点,所以解之得所求的球面方程为.4、将坐标面上的抛物线绕旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.解：(旋转抛物面).5、将坐标面上的双曲线分别绕轴和轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.解：绕轴旋转得绕轴旋转得.6、指出下列曲面的名称，并作图：(1)；(2);(3);(4);(5)；(6);(7);(8);(9);(
8、10).解：(1)椭圆柱面；(2)抛物柱面;(3)圆柱面；(4)球面；(5)圆锥面；(6)双曲抛物面；(7)椭圆抛物面；(8)双叶双曲面；(9)为旋转椭球面；(10)单叶双曲面.7、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形？(1)；(2)；(3)；(4).解：(1)在平面解析几何中表示直线，在空间解析几何中表示平(2)在平面解析几何中表示圆周，在空间解析几何中表示圆柱面；(3)在平面解析几何中表示双曲线，在空间解析几何中表示双曲柱面；(4)在平面解析几何中表示抛物线，在空间解析几何中表示抛物柱面.8、说明下列旋转曲面是怎样形成的？(1);(2)(3);(4)解：(1)平面上椭
9、圆绕轴旋转而成；或者平面上椭圆绕轴旋转而成(2)平面上的双曲线绕轴旋转而成；或者平面上的双曲线绕轴旋转而成(3)平面上的双曲线绕轴旋转而成；或者平面上的双曲线物由旋转而成(4)平面上的直线绕轴旋转而成或者平面上的直线绕轴旋转而成.9、画出下列各曲面所围立体的图形：(1)与三个坐标平面所围成；(2)及三坐标平面所围成；(3)及在第一卦限所围成；(4)所围.解：(1)平面与三个坐标平面围成一个在第一卦限的四面体；(2)抛物柱面与平面及三坐标平面所围成；(3)坐标面、及平面、和圆柱面在第一卦限所围成；(4)开口向上的旋转抛物面与开口向下的抛物面所围.作图略.习题6-41、画出下列曲线在第一卦限内的图
10、形(1)；(2);(3)解：(1)是平面与相交所得的一条直线；(2)上半球面与平面的交线为圆弧；(3)圆柱面与的交线.图形略.2、分别求母线平行于轴及轴而且通过曲线的柱面方程.解：消去坐标得，为母线平行于轴的柱面；消去坐标得：，为母线平行于轴的柱面.3、求在平面内以坐标原点为圆心的单位圆的方程(任写出三种不同形式的方程).解：；.4、试求平面与椭球面相交所得椭圆的半轴与顶点.解：将椭圆方程化简为：，可知其为平面上的椭圆，半轴分别为，顶点分别为.5、将下面曲线的一般方程化为参数方程(1) ；(2)解：(1)原曲线方程即：，化为；(2) .6、求螺旋线在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.解：；
11、.7、指出下列方程所表示的曲线(1) (2)；(3) ；(4)；(5).解：(1)圆；(2)椭圆；(3)双曲线；(4)抛物线；(5)双曲线.8、求曲线在面上的投影曲线方程，并指出原曲线是何种曲线.解：原曲线即：，是位于平面上的抛物线，在面上的投影曲线为9、求曲线在坐标面上的投影.解：(1)消去变量后得在面上的投影为它是中心在原点，半径为的圆周.(2)因为曲线在平面上，所以在面上的投影为线段.(3)同理在面上的投影也为线段.10、求抛物面与平面的交线在三个坐标面上的投影曲线方程.解：交线方程为，(1)消去得投影(2)消去得投影，(3)消去得投影.习题6-51、写出过点且以为法向量的平面方程.解：
12、平面的点法式方程为.2、求过三点的平面方程解：设所求平面方程为,将的坐标代入方程，可得,故所求平面方程为.3、求过点且与平面平行的平面方程.解：依题意可取所求平面的法向量为,从而其方程为即.4、求通过X轴和点(4-3,-1)的平面的方程.解：平面通过X轴，一方面表明它的法线向量垂直于轴，？?即A=O;另一方面表明?它必通过原点,即D=O.因此可设这平面的方程为By+Cz=0又因为这平面通过点(4,-3,-1),所以有-3B-C=O,或C=-3B.将其代入所设方程并除以B(B?0),便得所求的平面方程为y-3z=0.5、求过点，且垂直于平面和的平面方程.解：取法向量所求平面方程为化简得：6、6设
13、平面过原点及点，且与平面垂直，求此平面方程.解：设所求解设平面为由平面过点知平由平面过原点知，所求平面方程为7、写出下列平面方程：(1)平面；(2)过轴的平面；(3)平行于的平面；(4)在，轴上的截距相等的平面.解：(1),(2)(为不等于零的常数)，(3)(为常数)，(4).8、求平行于而与三个坐标面所围成的四面体体积为1的平面方程.解:设平面为由所求平面与已知平面平行得化简得令代入体积式或所求平面方程为或.9、分别在下列条件下确定的值：(1)使和表示同一平面；(2)使与表示二平行平面；(3)使与表示二互相垂直的平面.解：(1)欲使所给的二方程表示同一平面，则：即：,解之得rr-(2)欲使所
14、给的二方程表示二平行平面，则：，所以(3)欲使所给的二方程表示二垂直平面，则：所以：.10.求平面与的夹角；解：设与的夹角为，则.11、求点到平面的距离.解：利用点到平面的距离公式可得.习题6-61、求下列各直线的方程：(1)通过点和点的直线；(2)过点且与直线平行的直线.(3)通过点且与三轴分别成的直线；(4)一直线过点，且和轴垂直相交，求其方程.(5)通过点且与两直线和垂直的直线；(6)通过点且与平面垂直的直线.解：(1)所求的直线方程为：即：，亦即.(2)依题意，可取的方向向量为，则直线的方程为.(3)所求直线的方向向量为：，故直线方程为：(4)因为直线和轴垂直相交,所以交点为取所求直线方程(5)所求直线的方向向量为：，所以，直线方程为：.(6)所求直线的方向向量为：，所以直线方程为：.2、求直线的点向式方程与参数方程.解在直线上任取一点,取解.所求点的坐标为,取直线的方向向量,所以直线的点向式方程为：令则所求参数方程：3、判别下列各对直线的相互位置，如果是相交的或平行的直线求出它们所在的平面，如果相交时请求出夹角的余弦.(1)与；(2)与.解：(1)将所给的直线方程化为标准式为：二直线平行.又点与点(7,2,0)在二直线上，向量平行于二直线所确定的平面，该平面的法向量为：，从而平面方程为：，即.(2)因为，所以两直线不平行，又因为，所以两直线相交，二直线所决
