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1、MAT1.AB程序设计期中作业编程实现牛顿插值签名签名签名成员：刘川汤意王功贺(P091712797)(P091712817)(P091712799)班级:2009信息与计算科学学院:数学与计算机科学学院日期:2012年05月02日牛顿插值的算法描述及程序实现一：问题说明在我们的实际应用中，通常需要解决这样的问题，通过一些的点及其对应的值，去估算另外一些点的值，这些数据之间近似服从一定的规律，于是，这就引入了插值法的思想。插值法是利用函数f()在某区间中假设干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f(x)的近似值。如果这特定函数是多项式，就称它
2、为插值多项式。利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发生变化，这在实际计算中是很不方便的，为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。二：算法分析newton插值多项式的表达式如下：其中每一项的系数G的表达式如下：即为f(x)在点不小,3处的i阶差商，(/引=/(Xj),/=1,2,)，由差商/1%,石,巧的性质可知：牛顿插值的程序实现方法:第一步：计算/田、/如芭、/如事引、p,闻。第二步：计算牛顿插值多项式中fx0,x-xi(x-x0)(x-x1)(x-x1.-1),=1,2,，几,得到n个多项式。第
3、三步：将第二步得到的n个多项式相加，得到牛顿插值多项式。第四步：利用所得到的插值多项式，估算X取其它值时/(x)的值。第五步：作出所求多项式在插值结点周围的函数图像。三：编程实现functionp2,z=newTon(x,y,t)%输入参数中,y为元素个数相等的向量，t为待估计的点，可以为数字或向量。%输出参数中P2为所求得的牛顿插值多项式，Z为利用多项式所得的t的函数值。n=1.ength(x);chaS(1.)=y(1.);fori=2:nx1.=x;y1.=y;x1.(i+1.:n)=;y1.(i+hn)=;n1.=1.ength(x1.);s1.=0;forj=1.:n1.t1.=1.
4、;fork=1.:n1.ifk=jcontinue;e1.set1.=t1.*(x1.(j)-1.(k);endends1.=s1.+y1.(j)t1.;chaS(i)=s1.;endb(1.,:)=zeros(1.,n-1.)chaS(1.);c1.=ce1.1.(1,n-1.);fori=2:nu1.=1.;forj=1.:i-1.u1.=conv(u1.,1-(j)D;c1.i-1.)=u1.;endc1.i-1.=chaS(i)*c1.i-1.);b(i,:)=zeros(1,n-i),c1.i-1.;endp2=b(1.,:);forj=2:np2=p2+b(j,:);endif1.
5、ength(t)=1rm=0;fori=1.:nrm=rm+p2(i)*t(n-i);endz=rm;e1.sek1.=1.ength(t);rm=zeros(1,k1.);forj=1.:k1.fori=1.:nrm(j)=rm(j)+p2(i)*t(j)7n-i);endz=rm;endendp1.ot(t,z,y,x,y,*r,)四：实例验证c1.cc1.earx=0.40.550.650.800.901.05;y=0.410750.578150.696750.888111.026521.25386;t=0.4:0.1:1.05;u,v=newTon(x,y,t)执行结果：u=0.008
6、50.00320.15870.00730.99710.0004v=0.41080.52110.63670.75860.88811.02651.17521.33561.5095那么所求得的牛顿多项式为：牛顿多项式的函数图像及节点在坐标中的显示如下：五：结果分析本程序给出了计算牛顿插值多项式的函数，通过调用函数可以求得牛顿多项式与待估算点的值，作出了节点及待求多项式的函数图像，能够比拟清晰的通过图像显示出来，总体来说，计算结果是比拟理想的，到达了我们的目的。然而程序在实现过程中，依旧存在着一些缺乏之处，总体反响在灵活性方面，参数的输入必须为三个，否那么程序会出错，有时候我们仅需要得到牛顿多项式，而不需要去估算某个具体的X对应的函数值。另外，本程序的函数在实现过程中会给出多项式函数的函数图像，没有设置参数对其判断是否需要。因此，这些都是有待改良的地方。
