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1、专题7.1复数的概念【七大题型】【人被A版i力CR叫做货数集.这样，方程M+1.=0在更数集C中就有解x=i了.(3)电数的表示史故通常用字母二表示，即二=+E力GR).以后不作特殊说明时，女数Ao+历都有,eR.其中的“与h分别叫做复数：的实部与虚部.(4)班数的分类对于更数。+历,当且仅当加O时，它是实数：当且仅当”;k0时,它是实数0：当尻()时,它叫做虚数：当“=0且MO时，它叫做纯虚数.显然.实数集R是复数集C的真子集.即R争C更数+历可以分类如下：.A实数M=O)zI虚数(A0)(当=0时为纯虚数)复数1、实数集、虚数集、纯虚数维之间的关系，可用图丧示.2.复数相等在&数集C=+加
2、MR)中任取两个数“+历，+di(AeA.是虚数B.存在X使得x+i是纯虚数C.不是实数D.实部和虚部均为I【解题思路】根据曳数的定义、复数的分类,逐项判断即可.【解答过程】由复数x+1.当X=T时，x+i=0为实数，故A、C不正确；当X=O时.X+i=i,故B正确：由于X的取值未知.故D惜误：故选：B.【变式1-2(2023下高-课时练习下列四种说法正确的是(A.如果实数=b,那么。一5+(1+8)1是纯湿数.B.实效是现数.C.如果=0.那么z=+bi是纯虚数.D.任何数的倡教次鹏都不小于零.【解也思路】根据红数的概念及分类，逐项判定.即可看求解.【解答过程】对于A中,a=b=O.那么。-
3、6+(1+b)1=0丸所以人错误：对于B中,由复数的概念.M得实数是复数.所吸B正确:对FC中，若=O1.ife=。时，ti8z=+bi=0R,所以C不正确；对于D中，由虚数单位产=-3可得D惜误.故选：B.【变式1-3】(2023下湖南长沙A-IB.IC.2D-4【解磔思路】利用复数相等列方程组，由此求得立【解答过程】由于a-1+i=3+2bi,所以-；3=：二V11=26)D-11.71【辞即思路】利用复数相等可褥和三用函数的平方关系可犯1=4(sin再极据正弦函数的取值范国与二次函数的性侦可得义的取优范围.【解答过程】M数Z1.=m+(4-m2)i,z2=2cos0+(久+3sinO)1
4、.(mff0R).I1.Z1.=Z2所以,m=2cos则入=4一kos20-3sin=4sin20-3sin=4(sin0-jV-4-m2=A+3sn/因为OeR,所以S1.nOW-1,1,当Smg=*%mu,=-当A=-I时，k=7所以人的取值他围是卜2,7.故选：B.r知火点2复敷的几何意义】1.复数的几何意义处平面对应对应根据或数相等的定义,可得更数z=a+历有序实数对36).而有序实数对(必平面I1.处坐标系中的点，所以我数集与平面H角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.如图所示.点Z的横坐标是”.纵坐标是从更数+历可用点Z(4)表示,这个建立了比角坐标系先表示复数的平面叫做更平面
5、，轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.（虚轴）b除原点外,虚轴上的点都e表示纯虚数rZzi（实轴）实物上的点痛及示实数（2）女数的几何意义与点对应由上可知.每一个复数,有复平面内唯一的一个点和它对应：反过来,亚平面内的每一个点,有唯一的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的即复数三=+i复平面内的点zb,这是双数的一种几何意义.（3）亚数的几何意义与向段对应在平面直角坐标系中，辟一个平面向地都Ur以用一个有序实数时来表示，而有序实数对与奴数是一一对应的.这样就可以用平面向量来表示出数.如图所示，设IX平面内的点Z表示双数二=+历，连接OZ,显然向埴Z由点ZMt确定；反过来，点Z（相对
6、于原点来说）也可以由向依QZ唯确定.因此,红数集C中的数与能平面内以原点为起点的向fit是-一对应的（实数0与零向Ift对应）,即复数aa+历而应T平面向衣OZ这是复数的另一种几何意义.向麻OZ的模r叫做女数+新的模或绝对值，记作闭或s+i.如果=0，就么z=+i是一个实数“，它的模等于划（就是a的绝对值）.由模的定义可知，z=+W三+P（r0,reR）.3.共第复数（I）定义一般地，当两个女数的实部相等，墟都互为相反数时，这这两个如数叫做互为共规或数.虚都不等于0的两个共蜿复数也复数2的共挖复效用表示,即若三三0+加,则二=Q阮特别地，实数”的共挽笈数仍是本身.（2）几何意义互为共流肛数的两
7、个复数在复平面内所时应的点关于实轴对称（如图）.特别地,实数和它的共柜发数在复平面内所对应的点重合,且在实轴匕-b4Z2ta-bi性质削.实数的共轼红数是它本身，WJz=EozWR.利用这个性质可证明一个更数为实数.4.现数的模的几何意义红数”+历S.GR的模IZI就是笈数=从在复平面内对应的点Z3M到坐标原点的印离.这是笈数的模的几何意义.2)发数-在双平面内对应的点为Z,r表示一个大于0的常数，则满足条件z=r的点Z纲成的集合是以胤点为圆心，为半径的阅，旧表示圆的内部，因表示圆的外部.SS3复数的几何怠义】1例32023上山西高二统考学业考试)在复平面内，表示现数Z=1T的点所在的象限是)
8、A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解密出路】狂致z=1.-i在我平面内时应的点为(1,-1),得到答案.【解答过程】复数Z=1-i在我平面内时应的点为(1,一1),该点所在象限为第四象限.故选：D.【变式3-12023匕宁夏吴忠高三吴忠中学校考阶段练习)在复平而内.爱数Z和(2-i)i表示的点关于虚轴对称，则复数：=(A.1+21B.-1+21C.-1-2iD.1-21【解题思路】根据复数的几何意义求解即可.【解答过程】由题意可得(2-i)i=2i-i2=2i+1对应的点为(1,2),该点关于正轴对称的点为(-1,2),所以或数Z对应的点为所以Z=-I+2i.故选：B.变式3-
9、2】2023上黑龙江,高二统考学业考试)ft!?.生平面内点P所表示的IX数为(每个小方格的边长为1)()A. 2+21B. 3+iC. 3+3iD. 3+2i【解憩出珞】根据数的坐标去示分析判断.【好答过程】由庵意可知:点P的坐标为(3,2),所以史平面内点P所表示的发数为3+21.故选：D.【变式3-3)(2023河南郑州统考模拟预测已知Z=(1+i)m+(3-1)在复平面内对应的点位于第四次限,则实数m的取值范围是()A.(-3,1)B.(-1,3)C.(1.,+)D.(-,-3)【解也思路】根据已知条件，结合更数的几何意义得出对应点的坐标,即可求出实数m的IU值范围.【解答过程】耨Z=
10、(1+i)m+(3-i)能理化简可得Z=m+3+(m-1.)i.所以或数/在更平面内对应的点坐标为On+3,m-1.).由点位于第四象眼可御二J.解得一3m1.所以实效m的取信范It1.是(-3,1).故选：A.【题型4复数的向表示】【例4】2023下.高一课时练习)向量芯=(2,-3)对应的复数为()A.2-3iB.2+3iC.3+2iD.-3-Zi【解题思路】由St数的几何意义即可郎解.【解答过程】由复数的几柯意义知:星F=(2,-3)对应的复数为231.故选：A.【变式4/】(2023下河北张家口高一校考阶段练习)已知我数Z1.=I-i,Zz=-1.+2i(i为虑数单位在复平面内对应的点分别为48.将向量瓦着点。(。为更平面内的原点)逆
