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1、二次函数的图像与性质一、二次函数的根本形式1. 二次函数根本形式：.y-的性质:。的符号开11方向顶点坐标对称轴性质0向上().0),轴x0M,）侬X的增大而增尢XVO时，）例X的增大而域小；x=（）Hf,y有最小伯0.0时，）,郎*的增大而减小：人0向上(0,C)y轴*0时，随月的增大而增大：x0时，F随工的增大而减小，*=0时y有最小值c.11OR.yfi1.ix的增大而减小：x0向上（力，0）X=hx时,y1.x的增大而增大：xA时,y1X的增大而减小：x=t时，y有最小ft时，y1.X的增大而减小：XV力时，y的*的增大而埴大：K=力时，y有班大值04.y“（X-力+的性质:a的符号开
2、口方向顶点坐标对称轴性质0向上(*)X=hx时,y1.x的增大而增大：XVA时，y1X的增大而减小：x=t时，y有最小伯h时，yW1.X的增大而减小：XV1时，y的、的增大而埴大：K=力时，y有破大伯h二、二次函数图象的平移1 .平移步骤:方法一：（1）将抛物线解析式转化成顶点式y（-G）+J1.,确定其顶点坐标伊，外；保持抛物城y的形状不变，将其顶点平移到（八上）处，具体平移方法如下：2 .平移规律在原有函数的根基上“力色正右移，负左移：位正上移.负下移.概括成八个字“左加右减,上加下诚.方法二；），=+u+c沿,轴平移:向上（下）平移，”个单位，.v=+以+（x+m）+c（y=a（x-tn
3、）2+1.x-m）+c）三、二次函数y“（X）+Jt与+fer+的比照从解析式上看，y=”（x-+A与尸标+限+（是两种不同的表达形式，后者通过圮方可以得到前者,即J,=。1+：+与也.其中/,=-2,Jt=Wit.四、二次函数y=+fev+c图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次的IftFri+二+（x-Q,+,确定其开口方向、对称轴及原点坐标，然后在对称轴两侧,左右对称地描点域图.一般我们选取的五点为：原点、与y轴的交点（0,0时，物物战开口向上，对称轴为x=-2,顶点坐标为处.2aI2a4a）当-且时，）班X的增大而增大；x-2a2a2a时，）,有最小伯丝二汇.4a2 .当aO时，岫物线
4、开门向下，对称轴为=-3,顶点坐标为当亘.当2ak2*,4a）x-乡时,1.x的增大而减小：当X=-当时，）2（i1.aIa有豉大值噬1.六、二次函数解析式的表示方法1 .一般式：yIax2+Zu,+c（a,h.C为常数.o0）:2 .顶点式：=（-f+A（.It,为常数，0）；3 .两盘式：尸mxf）（x-x2）（w0.X1,七是拊物线与X轴两交点的横坐标）.注意：任何:次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的：次函数都可以写成交点式只有枪物线与X轴行交点,即-4“七0时,抛物线的解析式才可以用交点式衣示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系
5、1 .二次项系数Q二次函数y=+W+0时，抛物线开口向上，。的伯越大，开11越小，反之”的值越小，开11越大：当“0的前提下.当人0时，-Ao,即拗物线的对称轴在y轴左侧：2a当=O时,当b0时，-2a=O,即抛物线的对称轴就是.v轴：0,即拗物线对称轴在y轴的彳制.结论刚好与上述相反，即0.即抛物处的对称轴在y轴右叫=0,即抛物线的对称轴就是y轴：当v时，-上Q,在y轴的右例则ab0时,抛物线与y轴的交点在X轴上方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为正：当C=O时,她物税与）,轴的交点为坐标原点，即他物线与.丫轴交点的纵坐标为（）：当+c关于y轴对称后，得熨I的科析式是y=ax-bx+cty=a(
6、.x-h)2+k关于，相对称后，得到的解析式是y=+h3 .关于原点对称y=v2+to+c关于原点对称后，得到的解析式是y=-r+x-c三y=(x-)+无关于原点对称后，得到的耨析式是y，-(+r):4 .关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转180)产加+W+c关于顶点时称后，得到的解析式是v=-a1-bx+c-:2ay=(x-切?+关于顶点对称后，褥到的解析式毡y=-a(x-4+A.5 .关于点(丁,“)对称y=(x-)2+*关于点(，”,)对称后，得到的解析式是y=-(x+A-2“f+2”-&根据对称的性时显然无论作何种时称变换，微物践的形状一定不会发生变化，因此同永远不变.求她物观的对称他
7、物线的衣达式时，可以依据即意或方便运算的原则,选择适宜的形式，习惯上是先确定酰她物战(或表达式的拗物线)的顶点坐标及开口方向，再确定其对称微物战的顶点坐标及开口方向，然后再有出其时林抛物线的表达式.二次函数图像参考：十一、【例题精讲】一、一元二次函数的图北的法【例1】求作函数),=:2+4+6的图象【解】y=-J-i+4x+6=-Cr+8+12)22以x=-4为中间值,取X的.些值.列支如下:X-7-6-5-4-3-2-1y5202-2205【例2】求作函数y=-4x+3的图象.【解】y=-x2-4+3=-(,r+4,v-3)先国出图角在对林轴A=-2的右边局部，列表X-2-101:：y765
8、43【点评】百:次函数图象步骤:配方：列表；(3)描点成图；也可利用图象的对称性，先亘出函数的左(右)边局部图象，再利用对称性描出右(左)局部一可.二、一元二次函数性朋例3求函数y=/+6x+9的最小值及图象的对称轴和顶点坐标,并求它的单调区间.【解】y=.V2+61r+2=+6.v+9-7=(A+3)2-7由配方结果可知：顶点坐标为(-3-7).对称轴为X=-3：10二当*=-3时,y“皿=-7函数在区间(-8,-3J上是减演数.在区间-3+8)上是增函数.【例4】求函数)，=-5/+3x+1图象的顶点坐标、对称轴、._b_334qc_4Q5)32_29*-2-2(-5)U),4a4(-5)
9、30429z)o函数图四的顶点坐标为(亍,生).对称轴为X=M102020V-5,上是增区数.在区间-3,+8)上是减函数，【点评】要研咒二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时.方法有两个:(1)配方法：如例3(2)公式法:适用于不容易配方跑目(二次项系数为负数或分数)如例4,可防止出M1.任何一个函数祐可配方成如下形式：y=a(x+)2+%”.(“0)2a4a【二次函数题型总结】1 .关于二次函数的概念例1如果函数)，=(，-3)-MA+tr+1.是二次函数，那么m的俗为.例2枪物线.V=X?+2x-4的开口方向是：时称轴足：顶点为。2 .关于二次函数的性质及图象TVk例3函数，=Q2
10、+九+仪“工0)的图您如以以下列图，4Wa.bc,(+b+c,“一方+c的符号,/10例4ab+c=O9a+3b+D,则二次函数y=ax+bx+c的图像的顶点可能在(（八）第一或第二象限(B)第三或第四象限(C)第一或第四象限(D)第二或第三象限3 .碉定二次函数的解析式例5：函数.f=o+版+c的图象如图：那么函数解析式为()（八）y=-x1+2x+3(B)y=xi-2x-3/(C)y=-X2-2x+3(D)y=-x2-2x-3/4 .一次函数图像与二次函数图像标合考察例6一次函数y-ax+c二次函数y=a1.bx+c(aW0),它们在同一坐标系中的大致图象是().例7如图：ABC是边长为4的等边三角形，RB在X轴上，点C在第一象限，AC与Y轴交于点D,点A的坐标为(1,0)(I)求B、C、D三点的坐标：(2)弛物线y
