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1、二次函数学问点总结及相关典型题目第一部分基础学问1 .定义：一般地，假如y=+方x+c(,c是常数，00),那么)，叫做X的二次函数.2 .二次函数y=/的性防(1)拊物雄y=的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.(2)函数y=的图像与“的符号关系.当40时。咐物践开口向上o顶点为其鼠低点：当a0时。帕物城开口向卜。顶点为其最高点.(3)顶点是坐标原点，时称轴是y轴的附物线的解析式形式为y=(0).3 .二次函数y=a+j+c的图像是对称轴平行于(包括重合)V轴的微物线.4,二次函数y=+加+用配方法可化成：y=”(x-j)2+J1.的形式,其中.b4ac-b2h=,=.2a4a5 .:次函数由特殊
2、到一股，可分为以下几种形式：y=0;(Dy=r2+k；y=(-)M0时，开口向上:f1.OH.开口向下:Ia1.相等，抛初现的开门大小、形态相同.平行于)，轴(或重合)的H戏记作X=儿特殊地，N轴记作百线X=0.7 .痍点确定他物线的位置.几个不同的二次函数.假如二次项系数相同，那么他物线的开I方向、开11大小完全相同，只是顶点的位置不同.8 .求抛物战的顶点、时称轴的方法(D公式法：y=ax2+bx+c=Jx+Y+,cbi.,.(-,4u-/r-).(2a)4a2a4对称轴是H设人=-2.2a（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=（的形式，得到顶点为（力，,对称轴是直设X=/
3、?.运用抛物线的对称性：由于搬物战是以时称轴为轴的轴对称图形，所以对徐轴的连戏的垂直平分线是附物线的对称轴.对称轴与他物线的交点是顶点.刖配方法求褥的顶点，再用公式法或对称性迸行验证，才能做到万无一失.9.抛物线y=axz+bx+c中.a.h.c的作用。确定开口方向及开口大小，这马,=一中的“完全一样.（2）人和。共同确定附物线对称轴的位置.由于抛物线）=&+bx+C的对称轴是直线X=-,故：6=0时,对称轴为y轴：2。（即。、方同号时,对称轴2aa在V轴左恻：2V0（即“、异号）时，对称轴在y轴右恻.aC的大小确定批物戏），=”/+桁+c与y轴交点的位孔当X=O时,y=c.；.触物线y=t+
4、/*+C与y轴自且只有一个交点（0.c）：Oc=O.拗物线经过原点；c0,与轴交于正半轴：c0时开11向上当.v+ebX=2a,b4ac-b2a4。11.用特定系数法求二次函数的解析式（I）一般式：），=。/+版+，.已知图像上三点或三对*、y的值,通常选择一般式.(2)顶点式：=(-%f+h己知图像的顶点或对肺轴，通常选择顶点式.(3交点式；己知图像与X轴的交点坐标七、看,通常选用交点式：y=(.v-x1.X.r-2)12.真线与抛物线的交点y轴与拗物线y=d+Ztr+c褥交点为(O,c). 2)与)，轴平行的出线x=与枪物线y=ax2+bx+c有且只有一个交点U,ah2+bh+c).抛物戏
5、与K轴的交点:次函数,v=a+Zx+c的图像与X轴的两个交点的横坐标巧、x2.是对应一元二次方程a/+8x+c=0的两个实数根.拊物战与K轴的交点状况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点o0o抛物线与X轴相交：有一个交点(顶点在X轴上)=A=OO枪物线与X轴相切：没有交点。AvOo她物税与X轴相温.(4)平行于X轴的直战与她物战的交点同(3)一样可能有O个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时.两交点的纵坐标相等，设双坐标为火，则横坐标是a/+8x+(.j,0),由于阳、.是方程/+版+c=0的两个根，故bcX1+X、=一一,X1X,=aaAB=Ix1.7=(X1.-X1.y
6、=J(X1.-Xj-4MX2=Jf-V-=*j：4竺=杏H。网Ia其次部分典型习题1.1 物线y=x+2x-2的顶点坐标是(DA.(2.-2)B.(1,-2)C.(1,-3)D.+c的图象如图所示，则下列结论正确的地(C).a0.b0B.a0,b0C.a0,cOD.a0,c04.如图,已知A5d中,BC-8.BCj1.的J1.=4.D为BC上一点.EFHBC.交AB于点E,交AC于点F(EF不过A、B,设E到BC的距禹为国则IADfyi的面岖关于团6.已知二次函数y=bi+(2kDX-I与X轴交点的横坐标为司、x2(1%时，y0：方程小+(2J1.T)X-I=O有J+41两个不相等的实数根戈与
7、：三)x,-h七一X1.=.其中全部正K确的结论是CD(只需M耳序号7,已知直找)，=-2+可8#0)与X轴交于点A,与y釉交于点B；一她物线的解析式为y=2-（+1.）1.r+c.1若该批物践过点B,且它的顶点P在直线y=-2x+8上，试确定这条她物戏的解析式：2过点B作直线BC_1.AB交X轴交千点C,若抛物线的对称抽恰好过C点.试确定直线y=-2.r+的解析式.解：y=2-IOjjKy=.r2-4.r-6将（O,Zo代入，得c=.顶点坐标为（处U1.-发三竺初2）,由SS意得24，好得4=-1().=-6.C+10j2+16+I(X)2X+=（2） y=-2x-28 .有一个运算装置，当
8、输入值为X时，其输出伯力y,且），是X的二次函数，己知输入值为-2,0,1时,相应的输出值分别为5,-3,-4.（1）求此二次函数的解析式：在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并依据图象司出当输出值y为正数时输入（ftX的取值范围.解：（1）设所求二次函数的解析式为了=磔2+以+。,“(-2)2+5(-2)+c=5rt02+0+c=-3,即+c=-4C=-3=)2a-b=4,解得J)=-2+/=-1C=-3故所求的解析式为：y=x2-2x-3.（2）函数图象如图所示.由图象UJ得，当输出值,为正数时,驰入俄X的取值范围是XVT或X3.游呢的体温会Rf1.外部环境温度的改变而没变,9 .某生
9、物会好小殂在四天的试紧探讨中发觉:而且在这四天中短昼夜的体淑改变状况相同.他们将一头骆鸵前两昼夜的体温改变状况绘制成F图.谙依据图象回答：第一天中.在什么时间中围内这头骆鸵的体温是上升的?它的体温从G低上升到足高须要多少时间？第三天12时这头骆驼的体温是多少？爱好小祖又在探讨中发觉，图中10时到22时的曲线是微物线，求该帕勒线的解析式.解：第一天中，从1时到16时这头骆鸵的体温是上升的它的体谓从最低上升到最高须要12小时第三天12时这头骆鸵的体温是39-C),=-1.rJ+2+24(1022)410 .已如抛物线y=r2+(二+3)*+4与X轴交于A、3B两点，与y轴交于点C.是否存在实数a,
10、使褥ABC为直角三角形.若存在，恳求出a的伯：若不存在，请说明理由.解：依遨意，得点C的坐标为0,4).设点A、B的坐标分别为(x,0.(.r2.0,A1.1.or2+(-+3)a+4=0.解科xi=-3.X1.=.3*34：.点A、B的坐标分别为(-3,0),-,0).M.Atf=-+3.AC=JAO2+0C2=5.3a4IA：4斤=I-+3|*=r23女i9aAC2=25.fiC2=-+16.9-(i)当AB，=AC2+BC2时，ZACB=90*.hAB:=ACi+IiC2,m-+9=25+(-+16).9af)a解得=.当a=一,时，点B的坐标为(3,O),AB2=.AC2=25,BC2
11、=-.4399于是Afi2=AC2+BC2./.当a=-时，ZUBC为Ji角三角形.4(ii)AC2=AB2+BC2fti,ZABC=90*.由AC2=A2+BC2,得25=(段一号+9)+(驶+16).9a9*解得=.444当。=一时.=r=-3,点B(-30)与点A重合，不令题意.9M349Hii)当5C?=AC+A3时，ZBAC=90*.BC2=ACi+AB2.得且+16=25+(理一+9).9*9a解得“=1.不合应意.综合、,当n=-时，AABC为直角三角形.411.己知拊物畿y=-x2+m-m+2.1)若拈物税与X轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB=试求m的(ft：设C为
12、撇物战与y轴的交点，若拗物战上存在关于原点对称的两点M、N,并且的面枳等于27,试求m的值.解：A(x,0),B(X20).则XI,X2是方程2-mx+m2=0的两根.Vx+X2=m,xX2=m2VO即InV2：又AB=IXiX2I=y(.1.*2)i-4x1.xi=5.0?4m+3=O.解得：m=1.或m=3(含去),.m的值为1.2)M(a,b),则N(-a,-b).VM,N是微物戏上的两点，(-a2+ma-M+2=b,-a2-nu-m+2=-b.+得：-2a2-2m+4=0.,.a2=-三+2.：.当m2时,才存在满意条件中的两点kN.：a=2-m.这时比N到y轴的班恩均为2-11,又点C坐标为(O,2-m),而SAMNC=27,.2-(2-三)X2-zm-27.二解得m=-7.12.已知：微物税y=0+4+f与X轴的一个交点为A(-1.0).*-2A(I)求拗物线与X轴的另一个交点B的坐标：jI/(2) D是抛物线与y轴的交点，C是她物线上的一点，
