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1、数学专题第六讲：二次根式【基础学问回顾】一、二次根式式子G()叫做二次根式提示：次根式。必需留意a_o这一条件，其结果也是一个非数即:yaO二次根式石(ao)中，a可以表示数，也可以是一切符合条件的代数式二、二次根式的性质：(Q)J(a0)4,7=J(aM)=(a0,b0)=Q20,b0).提示：二次根式的性质留意其逆用：如比较26和30的大小，可逆用(。)Ja(a20)将根号外的整数移到根号内再比较被开方数的大小三、最简二次根式：最简：次根式必需同时满意条件：1、被开方数的因数是,因式是整式2、被开方数不含的因数或因式四、二次根式的运算：1、二次根式的加减：先将：次根式化简，再将的二次根式进
2、行合并，合并的方法同合并同类项法则相同2、二次根式的乘除:乘除法则：小=(a0,b0)除法法则：竿=(a0,3b0)3、二次根式的混合运算依次：先算再算最终算提示，1、二次根式除法运算过程一般状况下是用将分母中的根号化去这一方法进行I如：强二2、二次根式混合运算过程要特殊留意两个乘法公式的运用3、二次根式运算的结果肯定要化成重点考点例析考点一：二次根式有意义的条件例1假如代数式7三有意义，则X的取值范围是().x3B.x3D.xN3思路分析，依据二次根式的意义得出x-30,依据分式得出x-30,即可得出-30,求出即可.解：要使代数式占有意义，必需-30,解得：x3.故选C.点评:本题考查了：
3、次根式有意义的条件，分式有意义的条件的应用,留意：分式四中A0,二次根式“中aN0.A对应训练1 .使代数式？生有意义的X的取值范围是()2x-.x0B.xiC.x20且x1.D.一切实22数解：由题意得：2-1.0,x0,解得：x0,且x1.故选：C.2考点二：二次根式的性质例2实数a、b在轴上的位置如图所示，且ab,则化简47T“+”的结果为(，)a0bA.2a+bB.-2a+bC.bD.2a-b思路分析：现依据数轴可知aVO,b0,而Iab,那么可知a+b0,再结合二次根式的性质、肯定值的计算进行化筒计算即可.解：依据数轴可知，a0,原式=-a-(a+b)=-a+a+b=b.故选C.点评
4、：二次根式的化简和性质、实数与数轴，解题的关键是留意开方结果是非负数、以与肯定值结果的非负性.对应训练2 .实数a,b在数轴上的位置如图所示，则屈苏”的化简结果为.-b0a解：由数轴可知：bVOVa,bia,y(a+b)2+a=a+b+a=-ab+a=-b,故答案为：-b.考点三：二次根式的混合运算例34x(g)2+*_+3,当T.22-1.22思路分析：利用二次根式的分母有理化以与分数指数耗的性质和负整数指数恭的性质，分别化简，进而利用有理数的混合运算法则计算即可.解,原式=+6-e=2-3+2+1.+3-5=3.二次根式的混合运算以与负整数指数幕的性质，将各式进行化简是解题关键.对应训练3
5、.计算：483-x2+11.解：483-1.2+24=43Jy-yfh+26=4+6.考点四：与二次根式有关的求值问题例4先化简再求值：卜击卜奈等其中思路分析：先依据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把X的值代入进行计算即可.解：原式=I尸恒工,X+1)4.V当x=时，x+1.0,可知J(X+D?=x+1.,故原式=ID=-1.=-=1.x(x+1.)4,v4.r4i2点评：考查的是：次根式与分式的化简求值，解答此题的关健是当X=；时得出而奇=+,此题难度不大.对应训练4.计算Jii42-642.502之值为何?().0B.25C.50D.80分析：依据平方差公式求出1142-642=(11
6、4+64)X(114-64)=178X50,再提出50得出50X(178-50)=50128,分解后开出即可.解：i42-642-502=7(114+64)(114-64)-502=1.78x50-50=50(178-50)=5OI28=252822=258,=80,故选D.考查了平方差公式，因式分解，二次根式的运算等学问点的应用，解此题的关键是能选择适当的方法进行计第【聚焦中考】1 .下列运算正确的是()B.2=52 .计算：4-而=03 .计算：(-3)+J2J3=.7【备考真题过关】一、选择题1 .要使式千67有意义，则X的取值范围是(D).x0B.x-2C.x2D.x22 .计算加+=
7、(A).5B.5C.更D.叵223 .计算：3&-五=(4 .已知j=(-)(-2V2T)则有()A.5n6B.4m5C.-5VImV-4D.-6m-5解：，”=(-当(-2T)二J7373=1.377=27=A,*/252836,.5-/286,即5m6,故选A.5.下列计算正确的是(D)A.x3+x3=hB.mm=mC.30-=3D.147=726 .下列等式肯定成立的是(B)K.9-4=5B.5=5C.9=3D.-(-9)2=97 .使式m+，有意义的X的取值范围是().x21B.-1.x2C.x2D.-1.xO2-0,解得，故选B.8r.在卜.列各式中，二次根武仲的有理化因式是（）A.
8、a+bBVa+VbC.1-卜D.ab解：:a-bXa-b=a-b,，二次根式仃大的有理化因式是：后后故选：C.主要考查了二次根式的有理化因式的概念，娴熟利用定义得出是解题关献9.下列计算错误的是（）A.23=6B.2+3=6C.123=2D.8=22分析：依据二次根式的乘法对A、B进行推断；依据二次根式的除法对C进行推断：依据：次根式的性质对D进行推断.解：A、23=6,所以A选项的计算正确：B、血与5不是同类:次根式，不能合并，所以B选项的计算错误；Cx123=123=4=2,所以C选项的计算正确；D、84242=22.所以D选项的计算正确.故选B.10.下列计算正确的是（）A.3+2=5B
9、.32=6C.123=3D82=4分析：依据同类二次根式才能合并可对A进行推断；依据二次根式的乘法对B进行推断；先把迹化为最简二次根式，然后进行合并，即可对C进行推断；依据二次根式的除法对D进行推断.解：A、侬盗不能合并，所以A选项不正确：B、3W6.所以B选项不正确：C12-3=2G3=3.所以C选项正确；D、82=222=2,所以D选项不正确.，故选C.11.下列计尊或化简正确的是(A.aj*a-a11B.-1_1-x+1.X-1)+=8c=3D.分析：A、依据合并同类项的法则计算:B、化简成最简二次根式即可；C、计算的是算术平方根，不是平方根;D、利用分式的性质计算.解:A、a2+a5=
10、a,此选项错误;B-i45+31V5+Vs*此选项错误;C=3,此选项错误；D、=-X-,此选项正确.x+1-1.故选D.考查了合并同类项、二次根式的加减法、算术平方根、分式的性质，解题的关键是敏捷驾驭有关运算法则，并留意区分算术平方根、平方A2=1B-4-3=1C.63=2D.12 .下列计算正确的是（4=2分析：依据二次根式的乘除法则，与二次根式的化简结合选项即可得出答案.解：A、25=b故本选项正确：B、4-31故本选项错误；C、63=2.故本选项错误；.D、4=2,故本选项错误：故选A.二、填空题13 .当X=T时，后37的值是.34214 .若0方是整数，则正整数n的最小值为.5解：
11、V20n=2-5n.整数n的最小值为5.故答案是：5.15 .若二次根式G有意义，则X的取值范围是.x-1.16 .（当X时，二次根式。有意义.017 .已知&(-J)O,若b=2-a,则b的取值范闱是.2-32解：*.,石(-6)0,(1y/S0f1.a3,，OVaV62-32-2,即2-J8v2.故答案为：2-3ft2.18.计算而够的结果是.219 .计算苧的结果是212解：原式=如/亚=述t3=i+.222故答案为:0+1。20 .计算：32-2=.3221 .计算J-yig=.#22使式于g有意义的最小整数m是分析：依据被开方数大于等于0列式计算即可得解.解：依据题意得，m-20,解
12、得m22,所以最小整数m是2故答案为：2.三、解答题23 .计算：(-1)10,(11-3)0+(1.)-(i2)2.解：原式=-1+1+2-(0-1)=3J1.24 .计算：312+-4-93,-2O12o.解：31.2+-4-931.-2012n=3112+4-91-1=6+4-3-1=6.25 .计算:2(2-3)+6分析：先去括号得到原式=j2-236.再依据二次根式的性质和乘法法则得到原式=2-66.然后合并即可.解：原式=j3-加=2-6+6=2.26.计算:8U),-(5+1.)(5-D4分析：原式第一项化为最简二次根式，其次项利用负指数公式化简，第三项利用平方差公式化简，合并后即可得到结果.解：8+(1),-(5+1.)(5-1)4=22+4-(5-1)=22
