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1、二项式定理【学习目标】1 .理解并窃取二项式定理.了解用计数原理证明二项式定理的方法.2 .会用二项式定埋解决与二项绽开式有关的简洁问题.【要点植理】要点一，二工式定理1.定义一般地,对于1.j&正整数，都有：(rt+b)a=Can+Caa-b+-+C:anrbr+-+CwincNf,这个公式所表示的定理叫做二项式定理,等号右边的多项式叫做S+b)的二项战:开式.式中的CX1-/做二项旋开式的通项，用T“I表示，即通项为旋开式的第r+1项：Tr.y=Crnaa,b,.其中的系数C：(r=0.1.2.n)叫做二项式系数，2,二项式(a*bf的就开式的特点I(D项数：共有n+1.项，比二项式的次数
2、大1：(2)二项式系数：第r+1项的二项式系数为C：,地大二项式系数项居中；(3)次数：各项的次数都等干二项式的指数n.字母H降鼻排列,次数H1.n到0：字母b升耳排列.次数从0到n,每一项中，a,b次数和均为n：3.两个常用的二项装开式：(a-b)n=C-Canb+.+(-1.)rC：aE+.+(-IfC,X(ne*)(2)(1.+.t)=1+O+Cj+CX+.+xaJf点二、二项筵开式的通项公式二项二开式的通项：T,i=Canb,(r=0.1,2.-.n公式特点：它去示二项艇开式的第r+1攻，该项的：顶式系数是C：；字母b的次数和纲合数的上标相同：EI与b的次数之和为n.要点诠拜，(a+b
3、+c)a=(a+力+c=C；(+brcr=C：C1.ai如：(+%+c严绽开式中含0%s的系数为C；CC：=丁一312!5!要点诠科，三项或以上的绽开式向四.把某两项结合为一项，利用二项式定理解决，要点四：二项式定理的应用，求Ie开式中的指定的项或特定项(或其系数).2 .利用IK值法进行求有关系数和.二项式定理表示一个恒等式,对于随意的ab,该等式都成立.利用赋(ft法(即通过对a、b取不同的特别依)可解决与二项式系数彳f关的问咫，留意取但要有利于问SS的解决，可以取一个做或几个侑，也可以取几If1.值，解决何题时要避开漏JS等状况.设/()=(ax+b)n=ai,+1.v+,xz+.+an
4、x令xR,则%=/(0)=*(2)令X=1,则+1.+j+.+j,=/(1)=(+b)n(3)令x=1.,JW-+2-+(-1.)11=/(-I)=(-a+b)n+qi=4+=Z23 .利用二项式定现证明整除付及余数的求法，如：求证：322-加一9能被64整除(“eV)4 .证明有关的不等式向j三有些不等式,可应刖二项式定理,结合放缩法证明,即把二项St开式中的某些正项适当删去(缩小)，或把某些负项删去(放大)，使等式转化为不等式，然后再依据不等式的传递性进行证明.(1.+x)1+w.v：(1.+x)1.+二x：0)2如：求证：2(1+2)n5 .进行近似计算：求数的次界的近似值时，把底数化为
5、最旅近它的那个整数加一个小数(或诚一个小数楙J形式。当IXI充分小时，我们常用下列公式估计近似值：(1+幻”=1+nxi(I+xyI+zuz,-hX2：2如：求1.05的近似假，(史结果精确到OQh【典型例题】类型一、求二琬快开式的特定项制定项的系数例1.的二项式的绽开式.【思路点拨】依据二项式的战开式或按通项依次写出每一项，但要曲意符号.【解析】解法一：上备FM年Jy凶卜用冏绮,北中珠洲卜品J+,H-Pc-J=白C(4y+G(4x3)Y-3)+G(4心3(-3)?+C(4)2(-W+C(4X-3)*+C(-3)=IO24-3840d+57601-432O.?+162Ox,-243)32x-5
6、、，IKo135405243=32x5-1.20,r+【总结升华】记准、记熟二项式(a+b)n的淀开式，是解答好与;项式定期有关问题的前提条件，对较困难的二项式.有时先化筒再绽开会更简把.率一反三，【变式】求：2五-)的二项式的绽开式.【答案】先将原式化筒,再绽开.(2-)6=(1J=7-,r=Ci,(2.t)f,-C：(2x)5+C(2a)4-C(2x)+CfJ(2,r)2-C：(2a)+C：1=(64.v6-I92+240x4-I60+60-I2x+I)例2.试求：(1)仪一之户的绽开式中R的系数;X(2)一1.)6的绽开式中的常数项：X【思路点拨】先依据已知条件求出二项式的指数n然后再求
7、处开式中含X的项.因为速中条件和求解部分都涉及指定J问超.故选用通项公式.【解析】Twi=C(x3)s-r(-)r=(-2)zC;xs-5r.V*依遨息15-5r=5解得r=2故(-2)2C；=40为所求2的系数(2)T,”=C；(2x2)6r(_1.)，=(-iy26,C;PIrA-依题意12-3r=0,解得r=4故(-1./2C：=60为所求的常数项.【总结升华】I.利用池项公式求给定项时避开出错的关健是弄清共有多少项,所求的是第几项,相应的r多少:2 .留意系数与：顶式系数的区分：3 .在求解过程中要用意后的运舞公式的精确应用举一反三，【变式1】求（2-）9的炭开式中1的二项式系数及1的
8、系数.X【答案】126-126：通-a=q（2广（-%=（-玛“j,XVI8-3r=3r=5.故绽开式中X的.顶式系数为。：=盘=126,的系数为（T），.C；=T26.【变式2】求（依-的淀开式中的第4琬【答案】-455.J：=就（我产3（一9）3=（-D,G1.黄=-455）.【变式3】（1）求（：+%）的绽开式常数项：（2）求仁+云）”的绽开式的中间两孤1答案】V7:h=CqM*=U3”.（1）当9-1r=0,r=6时绽开式是常效项,即常数顶为7；=C3=2268:（2）U+-3的艇开式共10解它的中间两项分别是第5项、第6项.3.vTi=C*1劣产，乙=C,/噎吟=378.例3.求二项
9、式（.P+嘉;的炭开式中的有理项.【思路点拨】绽开式中第r+1项为CMx2）f.淀开式中的有理攻，就是通项中X的指数为止整数的项.【解析】设二项式的通项为?；“=GOa症）=G（I令20jrwZ,UPr=0246，8时,20二rwZ22M=CYE，二项式卜+/的淀开式中的常数项是第9项：费：有理项是第1项：X叱第3项：y5.第5项：-X10.第7项：Xs,第9项：.832256【总结升华】求有理项是对X的指数是整数状况的探讨，要考虑到些指数或组合数的序号的要求.举一反三，【变式】葭如在（+土）的绽开式中,前三项的系数成等差数列求旋开式中的有理项.【答案】（1键开式中前三项的系数分别为1,-,n
10、,28由题意得:2X.+“（二D得三:828设第r+1项为有理项.Trt1.=c；-X.则r是4的倍数,所以r=0.4.8.有理项为n=X=在7；=熹美型二、二项式之积及三项式1开同愚例4.求（I+xf（1-x）的旋开式中Xj的系数.【思路点拨】将（1.+）变形为1.+2x+T=.要使两个囚式的桑枳中出现依抠式子的结构可以分类探讨；当前个因式为1时，后面的应当为x当前一个因式为K时，后面的应当为丁；当前一个因式为丁时，后面的应当为X;也可以利用通项公式7=C-?化简解答。【解析】解法一1(I+x)2(1.-x)j=(I+2a+x2)(I-x)5.(I-Xr的通项公式加I=C(-x尸=(-D*C
11、)*(A=0.1,2.3.4.5).分三类探讨：(1)当前一个因式为1时.后面的应当为即q=(TPc；F=-1.()/：(2)当前一个因式为2.r时，后面的应当为即7；=(-1-。；/=10./；(3)当前一个因式为/时,后面的应当为X,即=(-1.)CH=-5x：故绽开式中/的系数为-10+2x10-5=5.解法二:。十.1产的通项公式”:禺”(r=0.1.2).(I-X)5的通项公式7；“=C(-x)t=(-I)4Cxi,A=0.1.2.3.4,5),令“f珠：啡：；啡：；,从而1的系数为-C；+C1.C；-C!?=5.举一反三，【变式1】求(1.+2)(1.-)S的绽开式中3的系数.【答案】-15：(I-X)S的通项公式C；(-*)t=(-1.)1.Cii(=O,I,2,3,4.5).分：类探讨；(1)当前一个因式为1时，后面的应当为丁，即T,=(一3
