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1、二项式定理题型及解法1 .二项式定理：(+by=cy+cyh+.+Ctna-,h+c(r),2 .基本概念：二项式绽开式：右边的多项式叫做(+公的二项绽开式.二项式系数:绽开式中各J的系数C：(r=0,1.,2.n).顶数：共(r+1.)项,是关于。与的齐次多项式通项：绽开式中的第r+1项C-Z叫做二项式淀开式的通项,用Zu=C/-少表示。3 .留意关键点：项数：绽开式中总共有(“+I)攻。依次:留意正确选择。，儿其依次不能更改。(+5)与S+a)”是不冏的.指数：，的指数从逐项诚到0,是降排列”的指数从0逐项增到，是升帘排列，各项的次数和等于儿系数：留您正确区分二项式系数与项的系数，：项式系
2、数依次是GCC,c,C1;.项的系数是与匕的系数(包括二式系数)，4 .常用的结论：令。=1力=x,(I+x)=C+C+C2+,+C(wN)令。=1.=-X,(I-=C-C+C-X2-.+Qx+.+(-IfC：XYrteN)5 .性质:二项式系数的对称性：马首末两端“对用离”的两个：项式系数相等，即c：=c：,C=C尸二项式系数和：令=,=1.,则二项式系数的和为C+C+W+Q+q=2.变形式CC：+C：+C：=2-1.奇数项的二项式系数和=佚数项的二项式系数和：在二项式定埋中，令=1.,=-1.,则C-C+C-G：+(-1)C1,=(I-1)=().从而得到：C+C；+Cf+=GC+C：”+
3、=Jx2=2T奇数项的系数和与偶数项的系数和：(+x)n=C1.+CyTX+C-a11-2x2+.+CMd=a0+a,x,+a2x2+at,xn(X+)=C,yxu+CIoxm+C-a2xn2+Cx=*+a2x2+a1.x+au令X=1,则q+,+1.+n=(+1)令X=1.P!,J0-a1.+c2-Q3+=(a-)a+得,4+4+4+4=(”丫；(伫)(奇数项的系数和)-得吗+4+a+q=曳(偶数项的系数和)二项式系数的最大项：假如二项式的除指数是偶数时,则中间一项的:；项式系数片取得最人值。AfT”I假如二项式的布指数是奇数时,则中间两项的二项式系数C7,c同时取得最大值.系数的最大求(+
4、b)战开式中最大的项一般采纳待定系数法.设艇开式中各项系数分别为A，4,，设第r+1.项系数最大，应有,从而解出r来.6,二项式定理的十一种考题的解法一.三三-.二项式嵬理的逆用】【例1】：C+C-6+C62+.+C76,=.解：(1.+6)=C+6+C6+C6+C：6”与已知的有一些差距.CC-6+C6i+C-6-,=1.(C6+C3;+9C-+.+3,c;=.解：设S1.1.=C+3C：+9C：+.+3-TC：,则3S11=C：3+3?+审+C：3=C：+3+3?+第3,+C：3-1=(1+3)-1(+3)-I4rt-1.5.=“33【愚型二，利用通项公式求/的系数】【例2】：在：项式(行
5、+乂了)”的艇开式中倒数第3项的系数为45,求含有x的项的系数？解：由条件知CM=45,即C：=45,90=0,解汨=一9(舍去)或=10,由J.,2丝工1.o-r2“=GKX)(x)=G%x,由遨意一+fr=3,解得r=6,43则含有丁的项是第7项T=CzP=2IOF.系数为210.【练2】：求(V-1.)U绽开式中/的系数？2x解：Tr,1.=C(.v2,(-)r=令18-3r=9,则r=3Ix22I71故./的系数为C：(一I)S=tff三三利用通事公式求常数项】例3：求二项式(/+严的扰开式中的常数项？解：(“=GZ(XWj(；)=Gb：)J=，令20-1r=0,得r=8,所以7；=C
6、k;产=22.v222256【练3】：求二项式(2x-(/的旋开式中的常数项？解：T.=(2)6-,(-1)(一)r=(-1.)rC2r(-r.v62r-令6_2r=0,得r=3,所以Ix27；=(-1.)JC；=-20【练4】：若(V+)的二项淀开式中第5项为常数项，则=.X解：4=U(F)Id)*=CT2,令2-12=0,得=6.X【J皇四，利用通项公式，再探讨而确定有理数项】【例】：求：项式(J7-VQ9绽开式中的有理项？W:7；41.=Ci(3)9-,(-.v*)r=(-1.),Cx7r.令eZ,(0r9)得=3=9.6所以当r二3时.2士=4.7-1.)C4=-84.6当r=9时，Z
7、Zzi=3,7J0=(-1),Cx=-x【髭型五，奇蒙事的二项式系数和=MM1.的二项式系数和】【例5】：若(JF-Jq)绽开式中偶数项系数和为一256.求”.解：设(、/7-十)版开式中各项系数依次设为4.4q.-v2令x=T,则有%+*=0.，令X=I,则有为一+。2-6+(T)4=2,珞(SH2)褥：2(,+4+4+)=-2,at+1.+a5+=-2n有题通得.-2*,=-256=-2*.t=9.【练”若4语”的捉开式中，全都的奇数项的系数和为1024,求它的中间项，解：.C+C+C+C+=C：+C：+-+C：+=2，,2T=Io24,解如“=11所以中间两个项分别为“=6.=7小=(出
8、)()=4627.T=462x(a大系数，大项】【例6】：已知(1.+2x),若绽开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求绽开式中二2项式系数最大项的系数是多少？好：.U+C=2G.2-21.+98=0.*th=7K=1.4,当“=7时，绽开式中二项式系数般大的项是7；和4，7；的系数=C拈)2=亨,，确系数=C；(；)2=70.当=14时，淀开式中二项式系数最大的项是7；,.7；的系数=2rx2(1.1.-r)rr+1.2(IO-r)，化简得到63k7.3,又IAu-G02c32一解得AArt2c:02rC2,-.OrIO.r=7,锭开式中系数最大的项为7；=C12F=1536
9、0/.【题型七，含有三项变两项】【例91：求当(.r+3.t+2)5的绽开式中K的一次项的系数？解法：(xi+3x+2)i(x2+2)+3x5,T,1.=Cx2+2)9-,(3x)r,当且仅当=1时，心的烧开式中才有X的一次项.此时Tri=Ti=C；(.r+2)43,所以X部一次项为CC；243.t它的系数为C；C；23=240。解法：(V+3+2)，=(x+1.)5(x+2)5=(C；V+C*+C)(CfF+CH2+2?)故城开式中含X的项为CAc2+Cx2=240.t,故城开式中X的系数为24().【练9】：求式子(.r+J-2)的常数项？IM解：(|闻+六-2)3=(#(木)6,设笫r+
10、1项为常数叽贝I7；.=Q(-D,K,(=(-)hQxf1.r,-6-2r=0,r=3,二+产(一aG=-20IxI*9A两个二事式招集】(例IO1.求(1+2)(1.展开式中小的系数.解：.(1+2Y的展开式的通项是C(2)e=C72mxw.(I-X)4的展开式的通项是C；(T)=C,-r八其中，=0,I,2,3,m=0,I,2,3,4,令m+=2,则加=0且=2,in=I且=IM=2且”=0,因此(I+2x)(1.-x)4的展开式中式的系数等于以2C(T)2+C2C(T),+Ci22y(T)=-6.【练101求(1.+6)p+J严展开式中的常数项.VrIvtu4所3”解：(+1.*i(+J
11、=产展开式的通项为C；户C,U7=C：品Fv其中加=0,1,2,6,=0,1,2,10,当且仅当4m=3”,即m=F或F=：或卜=n=0,/J=4.1”=8.时得展开式中的常数项为屋3+C；C+葭C=4246.(1.1.1.已知(I+x+./)*+4的展开式中没有常数项，M且2S8,则，J=X解：“+3)展开式的通项为C：x*-=/,通项分别与前面的三项相乘可得工C：/.C：i1.c:i.展开式中不含常数项,28.,.n4r且4+J1n4/+2,即4,8且3,7且2t6.,.n=5.【愚我九，奇数项的系数和与偶数项的系数和】【例II】：在(x-)*m的二项展开式中,含前奇次耗的项之和为5,当=0js=.解：(-72)afe=+1.+,.r+a3xi+(DQX_6严飞-iix+a22一%/+6-得如/+6丁+%+娱5)=(x-0严-(+0严二严展开式的奇次篝项之和为S(X)=；(*-严-(x+I严当X=6寸.S(B)=；(-产-(+严=-=-2w*U+X值法】【例12】：设二项式(M+)的绽开式的各项系数的和为/1,全部二项式系数的和为S,若X+s=272,则等于多少？解：若(SV+1.)”=4+q+,/4-n.v11行P=斯+4+1.1.S=C+C
