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1、优才家教优等i同步真段提态A4A()第一讲整数问题第1课数的整除一、学问要点1.整除因数、倍数一必要条件I2-相关基础看用点电照三个数是整数(I)O是隹林魁的倍数一.(3)ab=c1.三MMMteftbSMt,或b能要除a,则a叫做b的倍数，b叫3.数整除卷黑：整数a除以整数b(b0)等于c(c是整数且没有余数)，那么说a他被b莫除，或b能整除a.a叫做JRw则砒出皖Hh那么三H(ab).例如：假如2I10,2I6,那么2I(10+6),并且2I(106)。性质2假如a能同时被以n整除，那么a也肯定能被In和n的最小公倍数整除.即：假如mIanIa,那么m,nIa.例如:假如6I36,9I36
2、,那么6,9I36。性质3假如n、n都能整除a,且口和n互质，那么In与n的积能整除a即：假如ma,nIa,且(m,n)=1那么(mn)Ia.例如:假如2I72,9I72,且(2,7)=1,那么18I72,性质4：假如a能整除b,b能整除面，那么a能整除叫即：假如aIbbIa,那么aIm例：假如7I14,14I28,那么7I28。-1.数的整除特征（I）能被2整除的数的特征：假如一个整数的个位数是偶数（即个位数是2、4、6、8、0）,那么它必能被2整除.（2）能被5整除的数的特征：假如一个整数的个位数字是。或5,那么它必能被5整除.（3）能被3（或9）整除的数的特征：假如一个整数的各位数字之和
3、能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除.（4）能被4（或25）整除的数的特征：假如一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除.例：1864能否被4整除？解：1864=1800+64,因为4I64,4是1864的因数，1864是4的倍数,所以4I1864.（5）能被8（125）整除的数的特征，假如一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除。例：29375能否被125整除?解：29375=29000+375,因为125I375,125是375的因数，375是125的倍数，所以125I29375o（6）能被11整除的数的特征：假如一个整
4、数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除.（奇数位指，这个数的个位、百位、万位；偶数位指：这个数的十位、千位、十万位）例：推断13574是否是11的倍数？解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4+5+1）-（7+3）=Oo因为0是任何整数的倍数，所以1110。因此13574是11的倍数。例:推断123456789这九位数能否被11整除？解：这个数奇数位上的数字之和是9+7+5+3+1=25,偶数位上的数字之和是8+6+4+2=20.因为2520=5,又因为115,所以11123456789,（7）能被7（11或13）整除的数的特征：一个
5、整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除.例:推断1059282是否是7的倍数？解:把1059282分为1059和282两个数。因为1059-282=777,又因为7|777,所以7I10592820因此1059282是7的倍数。例：推断3546725能否被13整除?解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和82两个数,因为821-2=819,又13I819,所以13I2821,进而13I3546725。二,典型例题详解猜猜会是什么数？【例1】：一个856五位数，能被3、4、5整除，这样的五位数
6、中，最小的一个是多少？解：先将856,看做856ab.V3I856ab,则3I8+5+6+a+b.3I19+a+b,.a+b=2或a+b=5或a+b=8V4I856ab,则4Iab,Jab=偶数V5I856ab,则b=0或b=5,又Yab为偶数，Jb=O.a+b=2或a+b=5或ab-8,JIb=0,.*.a-2或a=5或a=8当a=2,b=0时，这个数为85620；当a=5,b=0时，这个数为85650：当a=8,b=0时,这个数为85680。答：五位数中最小的一个是85620。例2：一本老账本上记着；72只桶，共67.9元，其中口处是被虫蛀掉的数字,请把这第账补上.解：先将67.9，看做整
7、数a679b.V72=8X9,且(8,9)=1,8Ia679b,且9Ia679bo若8Ia679b,则8I79b,所以b=2若9Ia679b,b-2,则9Ia6792,9Ia+6+7+9+2,9Ia+24,所以a应是3。所以这个数应是答：这笔账应是元。【例3】：173是一个四位数，在其中的方框中先后填入三个数字，所得到的三个四位数，依次可以被9、11、6整除.先后填入的三个数字的和是多少？方法一试商法方法二倍数特征解：解：三、课后作业1.在中填入适当的数字，使所组成的数能2.71450至少加上多少后就能被4整够被除？4整除。78476538634.假如两个数的和是64,这两个数的积可以整除48
8、75,那么这两个数的差是多少？3.一个六位数2356是22的倍数，那么这样的六位数中，域大的个是多少？5.一位选购员买了同样的72只热水杯，可，口票Ir怫湿，单价无法分辨,总价数字也不全，只能看出：173.元。你能算出热水杯的单价吗？第一讲整数问题第2课倍数与因数(一)一、学问要点1 .质数与合数质数：一个数除了1和它本身，不再有别的因数，这个数叫做质数.(素数)合数：一个数除了1和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数。1不是质数，也不是合数。2 .质因数与分解质因数质因数：假如一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因ft.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分
9、解演因数.例：例分解质因数。解：30=235答：2、3,5是30的质因数。分解质因数的方法，可以用蛆除式来求质氏第100以内的质，2、3、5、7、18=2*3x330=2x3x511、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97.3 .公因数与公倍数公因数：几个自然数公有的因数，叫做这几个自然数的公因数.公倍数I几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数.一个数的因数的个数是()的，倍数的个数是()的.几个数的公因数的个数是()的，公倍数的个数是()的.4 .最大公因数与最小公倍数最大公因数：在几个自然数的公因数中，
10、最大的一个称为这几个数的最大公因数。a、b的最大公因数=(a,b)最小公倍数：在几个自然数的公倍数中，除零外最小的一个称为这几个数的最小公倍数.a、b的最小公倍数=a、b2183O用公有的质因数2除3915用公有的质因数3除35除到两个商是互质数为止(18,30)=2X3=618,30=233X5=90二、典型例题详解【例U五年级三个班分别有30、24、42人参与课外科技活动，现在要把参与的人分成用短除法计算:人数相等的小级，并且各班同学不能打乱，那小组？解：30=2X3X524=23X2242=237（30,24,42）=23=6（人）306=5（个）246=4（个）426=7（个）5+4+
11、7=16（个）答：每组最多可以分6人，一共可以分16个组。例2有一种长16厘米，宽12厘米的塑料扣板,假如用这种扣板拼成一个正方形,最少须要多少块?解：16=2222用短除法计算:12=22316,12=22223=48（厘米）4816=3（块）4812=4（块）3X4=12（块）答：最少须要12块扣板。【例3】甲对乙说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”求出甲、乙现在的年龄。解：:甲现在的年龄是乙的7倍,则甲的年龄比乙大6倍:.当甲的年龄是乙的6倍时,则甲的年龄比乙大5倍:当中的年龄是乙的5倍时,则中的年酸比乙大4倍:.当甲的年龄是乙
12、的4倍时,则甲的年龄比乙大3倍;丁当中的年龄是乙的3倍时，则甲的年龄比乙大2倍:V.当甲的年龄是乙的2倍忖，则甲的年龄比乙大1倍：，甲、乙的年龄差是6、5、4、3、2的公倍数。6,5,4,3,2=65432=60(岁)60(7-1)=10(岁)1060=70(岁)答：甲的年龄是70岁，乙的年龄是10岁。【例4】写出三个小于20的自然数，它们的最大公因数为1,但两两均不互质，共有几组？解：假设这三个数分别是a、b、cVa.b、C两两不互质，且aV20,b20,c20,则两两间的质因数互不相同且乘积小于20(a.b)=2或(a,b)=3或(a,b)=5；(a,c)=2或(a,c)=3或(a,c)=
13、5：(b,c)=2或(b,c)=3或(b,c)=5；.a,b,C三数有可能是2X3=6,25=10,35=15,26=12,36=180又V(a,b,c)=1；(6,10,15)=1：(10,15,12)=11：(10,15,18)=答:共有三组，分别是(6、10、15),(10、12、15),(10、15、186三、课后习题1.求56,36.284的最小公倍数。2.有336个苹果、252个梨子、210个桔子,用这三种水果最多可以分成多少份相同的礼物？每份礼物中，三种水果各占多少？3.三个人绕环行跑道练习骑自行车，他们骑一圈的时间分别为半分钟、45秒钟、1分15秒.三人同时从起点动身，最少须要
14、多长时间才能再次在起点会面？4.有一个表，每走9分钟亮一次灯，每到整点时响次铃。中午12点时既亮灯又响铃。下次既亮灯又响铃在几点？6.用一个数去除31,61,76都余1,这个数最大是多少？5.把一张长120cm,宽80Cm的长方形纸裁成同样大小的正方形（纸不能有剩余），至少能裁成多少张这样的正方形纸，每张裁成的纸是多大？第3课倍数与因数（二）一、学问要点1.最小公倍数与最大公因数之间的关系定理一，两个自然数分别除以它们的最大公因数，所得的商互质.即：假如（a,b）=d,那么（a+d,bd）=1定理二：两个数的最小公倍数与最大公因数之积等于这两个数的乘积.即Ia,b(a.b)=ab定理三：两个数的公因数肯定是这两个数的最大公因数的因数;典型例题详解【例I】甲数是36,甲、乙两数的最大公因【练练】甲数和乙数的最大公因数是6,数是4,最小公倍数是288,求乙数C最小公倍数是90,且小数不能整除大数,解：设乙数是a求这两个数。36Xa=4X288a=4X28836a=32答：乙数是32。【例2】已知两数的域大公因数是21,最小
