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1、第7济奇f1.性（一）整数依据能不能被2整除，可以分为两类：（1）能被2整除的白然数叫偈数，例如0,2,4,6,8,10,12,14,16,（2）不能被2整除的自然数叫奇数，例如1,3,5,7,9,11,13,15,17,整数由小到大排列，奇、偶数是交替出现的。相邻两个整数大小相差1,所以确定是一奇一偶，因为偶数能被2整除，所以偶数可以表示为2n的形式，其中n为整数：因为奇数不能被2整除，所以奇数可以表示为2n+1.的形式，其中n为整数。每一个整数不是奇数就是偶数，这个属性叫做这个数的奇偶性。奇偶数有如下一些重要性质：（1）两个奇偶性相同的数的和（或差）确定是偶数；两个奇偶性不同的数的和（或差
2、）确定是奇数.反过来，两个数的和（或差）是偈数，这两个数奇偶性相同；两个数的和（或差）是奇数，这两个数确定是一奇一偶.（2）奇数个奇数的和（或差）是奇数；偶数个奇数的和（或差）是偶数.随意多个偶数的和（或差）是偶数.（3）两个奇数的乘积是奇数，一个奇数与一个偶数的乘积确定是偶数.（4）若干个数相乘，假如其中有一个因数是偈数，则积必是偈数I假如全部因数都是奇数，则积就是奇数。反过来，假如若干个数的积是偶数，则因数中至少有一个是偈数I假如若干个数的积是奇数，则全部的因数都是奇数.（5）在能整除的状况下，偶数除以奇数得偶数；偈数除以偶数可能得偶数，也可能得奇数.奇数确定不能被偶数整除.（6）偶数的平
3、方能被4整除；奇数的平方除以4的余数是1因为（2n）2=4,2=4n%所以（2n）:能被4整除；因为（2n+1.）j=4n2+4n+1.=4（n2+n）+1,所以（2n+1.）?除以4余1（7）相邻两个自然数的乘积必是偶数，其和必是奇数.（8）假如一个整数有奇数个的数（包括1和这个数本身），则这个数确定是平方数;假如一个整数有偶数个的数，则这个数确定不是平方数.整数的奇偶性能解决很多与奇偶性有关的问题。有些问题表面看来好像与奇偶性点关系也没有，例如染色问题、覆盖问题、棋类问题等，但只要想方法编上号码，成为整数问题，便可利用整数的奇偶性加以解决。.例1卜式的和是奇数还是偶数？1+2+3+4+19
4、97+1998分析与解：本题当然可以先求出算式的和，再来推断这个和的奇偶性。但假如能不计算，干脆分析推断出和的奇偶性，则解法将更加简洁。依据奇偶数的性质（2）,和的奇偶性只与加数中奇数的个数有关，与加数中的偶数无关。11998中共有999个奇数，999是奇数，奇数个奇数之和是奇数.所以，本题要求的和是奇数，例2能否在下式的口中填上“+”或“”，使得等式成立？I23456789-66.分析与解：等号左端共有9个数参与加、减运算，其中有5个奇数，4个偶数。5个奇数的和或差仍是奇数，4个偶数的和或差仍是偶数，因为“奇数+偶数=奇数，所以题目的要求做不到.例3随意给出个五位数，将组成这个五位数的5个数
5、码的依次随意变更，得到一个新的五位数。则，这两个五位数的和能不能等于99999?分析与解：假设这两个五位数的和等于99999,则有卜式：+匚-99999其中组成两个加数的5个数码完全相同。因为两个个位数相加，和不会大于9+9=18,竖式中和的个位数是9,所以个位相加没有向上进位，即两个个位数之和等于9。同理，十位、仃位、千位、万位数字的和也都等于9。所以组成两个加数的10个数码之和等于9-9+9+9+9=45,是奇数。另一方面，因为组成两个加数的5个数码完全相同，所以组成两个加数的10个数码之和，等于组成第一个加数的5个数码之和的2倍，是偶数。奇数偶数，冲突的产生在于假设这两个五位数的和等于9
6、9999,所以假设不成立，即这两个数的和不能等J-99999。例4在一次校友聚会上，久别重逢的老同学相互频频握手。请问：握过奇数次手的人数是奇数还是偶数？请说明理由。分析与解：通常握手是两人的事。甲、乙两人握手，对于甲是握手1次，对广乙也是握手1次，两人握手次数的和是2。所以一群人握手，不论人数是奇数还是偶数，握手的总次数确定是偶数.把聚会的人分成两类：A类是握手次数是偶数的人，B类是握手次数是奇数的人“类中每人握手的次数都是偶数，所以A类人握手的总次数也是偶数C又因为全部人握手的总次数也是偶数，偶数-偶数=偶数，所以B类人握手的总次数也是偶数。握奇数次手的那部分人即B类人的人数是奇数还是偶数
7、呢？假如是奇数，则因为“奇数个奇数之和是奇数”，所以得到B类人握手的总次数是奇数，与前面得到的结论冲突，所以B类人即握过奇数次手的人数是偶数.例5五（2）班部分学生参与镇里举办的数学竞赛，每张试卷有50道试题.评分标准是：答对一道给3分，不答的题，每道给1分，答错道扣1分C试问：这部分学生得分的总和能不能确定是奇数还是偶数？分析与解：本题要求出这部分学生的总成果是不行能的，所以应从每个人得分的状况入手分析。因为每道题无论答对、不答或答错，得分或扣分都是奇数，共有50道题，50个奇数相加减，结果是偶数，所以每个人的得分都是偶数。因为随意个偶数之和是偶数，所以这部分学生的总分必是偶数。练习71.能
8、否从四个3、三个5、两个7中选出5个数，使这5个数的和等于22?2 .随意交换一个三位数的数字，得一个新的三位数，一位同学将原三位数与新的三位数相加，和是999.这位同学的计算有没有错？3 .甲、乙两人做嬉戏。随意指定七个整数（允许有相同数），甲将这七个整数以随意的依次填在卜图第行的方格内，乙将这七个整数以随意的依次填在图中的其次行方格里，然后计算出全部同一列的两个数的差（大数减小数），再将这七个差相乘。嬉戏规则是：若枳是偶数，则甲胜;若积是奇数，则乙胜。请说明谁将获胜。4 .某班学生毕业后相约彼此通信，每两人间的通信量相等，即甲给乙写几封信，乙也要给甲写几封信。问：写了奇数封信的毕业生人数是
9、奇数还是偶数？5 .A市举办五年级小学生“春晖杯”数学竞赛，竞赛题30道，记分方法是：底分15分，每答时一道加5分，不答的题，每道加1分，答错一道扣1分。假如有333名学生参赛，则他们的总得分是奇数还是偶数？6 .把下图中的圆圈随意涂上红色或蓝色.是否有可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？试讲出理由。7.红星影院有1999个座位，上、下午各放映一场电影。有两所学校各有1999名学生包场看这两场电影，则确定有这样的座位，上、下午在这个座位上坐的是两所不同学校的学生，为什么？整数依据能不能被2整除，可以分为两类：（1）能被2整除的自然数叫偶数，例如0,2,4,6,8,10,12,14,16,（
10、2）不能被2整除的自然数叫奇数，例如1,3,5,7,9,I1.13,15,17,整数由小到大排列，奇、偶数是交替出现的。相邻两个整数大小相差1，所以确定是奇偶.因为偶数能被2整除，所以偶数可以表示为2n的的形式，其中n为整数。每一个整数不是奇数就是偶数，这个属性叫做这个数的奇偶性。奇偶数有如卜.些重要性质：（1）两个奇偶性相同的数的和（或差）确定是偶数；两个奇偶性不同的数的和（或差）确定是奇数.反过来，两个数的和（或差）是偶数，这两个数奇偶性相同；两个数的和（或差）是奇数，这两个数确定是一奇一偶.（2）奇数个奇数的和（或差）是奇数；偶数个奇数的和（或差）是偶数.随意多个偶数的和（或差）是偶数.
11、（3）两个奇数的乘积是奇数，一个奇数与一个偶数的乘积确定是偈数.（4）若干个数相乘，假如其中有一个因数是偶数，则积必是偶数：假如全部因数都是奇数，则积就是奇数.反过来，假如若干个数的积是偶数，则因数中至少有一个是偶数；假如若干个数的积是奇数，则全部的因数都是奇数.（5）在能整除的状况下，偶数除以奇数得偶数：偈数除以偶数可能得偶数，也可能得奇数.奇数确定不能被偶数整除.（6）偶数的平方能被4整除：奇数的平方除以4的余数是1.因为（2n）2=42=4n所以（2n）,能被4整除:因为（2n+1.）j=4n2+4n+1.=4（n2+n）+1,所以（2n+1.）?除以4余U（7）相邻两个自然数的乘积必是
12、偶数，其和必是奇数。（8）假如一个整数有奇数个约数（包括1和这个数本身），则这个数确定是平方数：假如一个整数有偶数个的数，则这个数确定不是平方数.练习71.五个奇数的和不行能等于22。2 .与例3类似，这位同学计算有错误。3 .甲胜。提示：七个整数中，奇、偶数的个数确定不等，假如奇（偶）数多，则至少有一列的两个数都是奇（偶）数，这列的差是偶数，七个差中有一个偶数，七个差之积必是偶数，所以甲胜.4 .偶数。提示：因为这次活动是有来有往，所以总的通信数是偶数。又因为写了偶数封信的人写信的总数是偶数，所以写了奇数封信的人写信的总数也是偶数，因为只有偶数个奇数之和是偶数，所以写奇数封信的人数是偶数.5 .奇数。提示：每个同学的得分都是奇数。6 .不行能。提示：假设在同条直线上的红圈数都是奇数，5条直线上的红圈总数就会是奇数（奇数乘以奇数仍是奇数）。因为每个红圈均在两条直线上,所以按各条直线上的红圈数计算和时，每个红圈都被算了两次，所以红圈总数应是偶数。这就出现r冲突。所以假设在同一条直线上的红圈数都是奇数是不行能的。7 .提示：假如每个座位上、下午坐的都是同一个学校的学生，则每个学校来看电影的学生数应当是偶数，与每所学校有1999名学生来看电影冲突。这个冲突说明必有上、下午坐的是不同学校的学生的座位。
