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1、专题16二次函数的存在性问题【典例分析】【考点11二次函数与相似三角形同JI【例1】己知Ii物线y=+b+3与X轴分别交于八(-3,0),8(1,0)两点，与y*交于点C.(1)求务物线的表达式及原点D的坐标I(2)点F是线段AD上一个动点.ACI如图1.设A=77,当卜为何值时，CF=-AD.D2如图2.以A,F,O为1点的三角形是否与AABC相似？若相似,求出点F的坐标.若不相似，请说明理由.【答案】y=-x2-2.x+3,D的坐标为(-1.4)；(2)*=:以A,F.O为国立的角形%AABC相似，F点的坐标为(一之或(-2,2).【解析】U的A、B两点的型标代入二次函数解析式,用待定系数
2、法即求出她物线对应的函数去达式，可求得顶点D-1.4)；(2)由A、C、D：点的+%；求出AC=炕，DC=0，AD=2而，可得AAeD为直角：角形，分CF=gAD.则京F为AD的中点,可求出k的侑；2由条件可判断NDAC=NoBC.则NOAF=/ACB,若以A.F,O为:菱的JUWjAABe相似.可分两种情况考虑：巧/AOF=/ABC或AOF=CAB=45时,可分别求下点FKR详解1(I).抛物线y=a+bx+3过点A(-3.0),B(1.0),(9-3ft+3=0=-1n+Z+3=0p=-2，楸物浅辘析式为y=-x2-2x+3; ：y=-x:-2x+3=-(x+1.)?+4.顶点D的坐标为(
3、-1,4)；(2).在RiAOC中，OA=3.OC=3,.AC2=OA2+OC2=18-.D(-1.4),C(0.3),A(-3,0),.-.CD2=I2+I2=2-.AD3=22+42=20.AC2+CD2=AD2.ACD为Kft-：珀形.HZzACD=901.CF=-AD.2:F为AD的中点.AFI =一,D2【讲解】将4-1.0),C(0,3)代入y=+2x+c得:a-2+c=0Ia=-IR,解得Rc=3(c=3 抛物殴解析代为y=-+2*+32)存在.理由如下：联立y=-1.和y=-2+2+3.y=-I(=-I.V=4,C.mn或U37=-x+2x+3y=0(y=-5.E点坐标为(4.
4、5).如图，作AE的垂直平分线，与X轴交TQ,与y相交于Q.此时Q点与Q戊的坐标即为所求，设Q点坐标(8),Q，坐标(0.y).HQA=QE,QA=QE得：|x-(-1.)|=7(.t-4)2+(O+5)：.7(0+1.f+(y-0)2=7(0-4)2+(y+5)2解得x=4y=4故(？点坐额为(40)或(0,-4)3)V4(-1,0).E(4,-5):AE=-1.-4)2+52=52.1.-+2x+3=OH.好得工=-1或3AB点坐标为(3.0),:OB=OC=3z52【点睹】本题写出：次函数的嫁合问题,是中考常见的压轴趣中,熟练掌招待定系数法求函数解析式,等眈：角形的性侦，以及相似三角形的
5、性侦是解速的美镀.(*1.12如图，已知It物线F=-1.x+2)(X-M(m01.与轴相交于点A,B,与轴相交于点C,in且点A在点B的左例.(1)若拗物线过点(2,2),求抛物线的解析式I(2)在Q)的条件下，货物线的对玄轴上是否存在一点H,使AH+CH的值量小，若存在，求出点H的坐标】若不存在，请说明理由I(3)在第四象限内，拙物线上是否存在点M使得以点A,B,M为蹊点的三角形与AACB相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.【答案】，1)y=+(2)点H的坐标为(1.；)：(3)1.m=2+22t在第四代上内422他为线上存在点M,使得以点A.B.M为顶点的：.角形与AACB相
6、似.【所】分析：(1)把白，22)代入y=-1.(x+2Mx-m)?j中.解出m的值即可得到衲物纹的嚼折式：m可得点AnBwCI.别为,(m.0)和0,2),m如下图，由图可知NACB和NABM足饨角，囚此存在两种可能性：1ACBABM.ACBsMBA,分这两种情况结介题中已知呆件进行分析解答即可.详解:(I)把点(2.2)代入抛物线,得2=-(2+2)(2-m).解得m=4.，帕勒城的解析式为y=-(x+2)(x-4)=-!-x2+-!-x+24422)y=-X2+-X+2=0.解得x=-2,x,=4.42则A(-2.0).B(4,0).二点C的坐标为(0.2).；点A和点B关于拗物线的对称
7、轴对称.连接BC与对称轴的交点即为点H.此时AH+CH的值最小，设U线BC的解析式为y=kx+b,4k+b=0k=-把B4,OXC(0.2)代入得：,一,解得：2,1=2卜=2；找BC的解析式为y=-x+2.1IX=I时.V=-X1+2=.-22小H的坐标为1.-).2(3)假设存在点M,使得以点A.B.M为顶点的三角形与ACB相似.如下图.连接AC.BC.AM.BM.过点M作MN_1.x轴干点N.由图易知,ZACB和NABM为钝角,I1.ACB-ABMII：.仃-.即AB?=ACJM-ABAMVA(-2,O),C(XO).把点M的坐标代入抛物线的解析式，x-2=-(x+2)(x-m).化简整
8、理得：x=2m.二点M的坐标为I(2m.-2m-2).AM=J(2m+2f+(-2m-2)i=22(m+1.),.AB2=ACiNbAC22AB=m+2.,.(m+2)=2222(m+1.).科得：m=220Vm0.m=2+20当AACBSMBA时.寸缥=婆,即AB2=CBMAMABAVZCBa=ZBAM,ZAXM=ZBOC=9,ANMBOC.=ANBOVBO=m,设ON=x.二型二2,hjjmn=-(x+2).2+xmm令M(x.(x+2)(x0),m把M点的坐标代入抛物线的解析人，得-(x+2)=-(x+2)(x-n).mm解得x=m+2.即M(m+2.-(m+4).mAB:=CB,MA-
9、CBJnf+4,AN=in+4,(in+4),m(m+2):=nr+4i+H：吼Vm化简里理，得16=(),辕然不成立.W1.im=2+20时在第四象限内岫物殴I/F以M,使得以点A.B.M为蹊点的三角形与AACB相似.点降本题是一道二次函数和几何图形踪介的题目解题的嬖点有以下两点，(1)“知道点A、B是关于她物线的对构:轴对称的，连接BC与对称釉的交点即为所求的点H”是解答第2小题的关键：(2)“傥根据甥盒Irai出符合要求的图形，知道/ACB和NABM为钝焦,结合题意得到存在：(D?UCB-XBM.Aacbsmba这两种Ur能情况”是解答第3小SS的关神.【考点21二次函数与直角三角形问题
10、2如图，发物线y=aF+6+c(“#O)的旗点坐标为(2.-1),图象与Y轴交于点C(0.3),与,轴(I)求为物线的解析式I(2)设触物线对称轴与直线仅、交于点。，连接AC、AD,求aACO的面枳I点E为亶线BC上的任意一点，过点作*轴的塞线与撤物线交于点尸，问是否存在点E使)尸为直角三角形？若存在，求出点E坐标，若不存在，请说明理由.【答案】(1)y=(x-2)2-1.=.t2-4x+3;2)2;(3)见解析.CMfr1.(1)可谀她物践解析式为顶点式，把C点坐标代入可求褥附物规解析式：(2)由他物线解析式可求得A.B坐标.利用待定系数法可求得出线BC解析式.利用对称轴可求得D点坐标,则可
11、求得AD1、AC1.和CDj,利用勾股定理的逆定理可判定AACD为出角:角形.则可求得其面积(3)根据题总可分NDFE=9(T和NEDF=900两种情况.当NDFE=90。时，可知DFx柏,则可求得E点双坐标.代入她物线解析式U1.求得E点碓林：当EDF=90。时,可求得百.线AD解析式，联立巴找AC和抛物设解析式可求得点E的横坐标，代入f1.跷BC可求得点E的坐标.【详解】解：Y物物找的顶点坐标为.UJ设她狗戌解析式为y=(-2)2-1.(0).把C(0,3)代入可得(0-2尸一I=3,斜得=1,；抛均浅解析式为y=(K-2尸-1=V-+3：(2)在),=W-4x+3中.令，=。可得i-4x
12、+3=()解得K=I或x=3，4(1.0).3(3,0).设践BC好析式为F=履+3.把8(3,0)代入阳：3+3=O.解徨R=T,二直tBC解析式为y=-+3,I1.i(I)可知抛物线的对称值为x=2.此时y=-2+3=1,D(2,1.).AD-=2AC2=IO-5=8，.AD2+CD2=AC2：.&ACD以AC为斜边的G角曲形.Sw=gAOCZ=g2=2:(3)由四苣知“FM.则/77)=OC3h90.aDEF为贪角加形.分ND尸E=90和/ED/=90两种仙况,(DZDFE=90Uh即。尸.叮，则。、F的姒坐标相同.二尸点飒坐标为1，v.,JWfc.-4x+3=1解得=2I即点的横”:标为2JI-I侬BCI.“x=2+点时y=-x+3=1.-e.tr=2-0时y=-x+3=1.+2E点生标为(2+2,1.-2)i(2-2,1.+2):当NEDb=90时,V4(1.0).D(2J).)线Az)解析或为J=X-1,；直线6C解析式为y=-+3.,.AD1.HC.，H线AD1.j抛物线的交点即为E点.联立工线AD与抛物炫解折式有x3-4x+3=x-1.解符x=1.或x=4,当X=I时，y=-x+3=2,当=4时，y=-x+3=-1.二E点*标为(1,2)或(4,-1),淙:可知。花满足条件的dEd标为(2+TII-J
