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1、第五讲大公的数与小公倍数【知识导弓I】一、为数的概念与最大公约数约数乂叫因数（在正整数范围内）整数a能被整数b整除，a叫做b的倍数,b就叫做a的约数.最大公约数：如果一个数既是数H的约数.又是数b的的数.称为Hb的约数几个数公有的因数.叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数.1 .求最大公约数的方法分解顺因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来.例如：231=37x1.1.252-213j7,所以（231.252）=3x7=21；2|1812短除法：先找出所有共有的约数,然后相乘，例如：也f.所以（12.18）=2x3=6：32根特相除法：每一次都用除数和余数相除，
2、能甥整除的那个余数，就是所求的奴大公约数.用根转相除法求两个数的公大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数：再用第一个余数除小的个数，御第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数：这样逐次用后一个余数去除前个余数，直到余数是Q为止。那么，最后一个除数就是所求的最大公约数（如果最后的除数是1.那么原来的两个数是互质的），例如，求600和1515的最大公约数：I5I5WX）=2315：600+315=1285：315+25=130：2853O=915：3OI5=20；所以1515和600的最大公约数是15.2 .t大公约数的性质几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个
3、商是互质数：几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数：几个数都乘以一个自然数.所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以，.3.求一组分数的最大公约数先把带分数化成暇分数其他分数不变：求出各个分数的分母的最小公倍数山求出各个分数的分子的最大公约数b:2即为所求。a二、倍数的概念与最小公倍数对于整数m,能被n整除（nm）,那么m就是n的倍数，如15烧够被3或5粘除,我们就说15是3的倍数,也是5的倍数。几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数，1 .求最小公倍数的方法分解侦因数法求最小公倍数例如：231=3x7x1.,252=2z3j7.WW231
4、.252三2232711-2772：短除法求最小公倍数2|1812例加：者96.所以I&12卜233236:32公式法：”.2 .最小公倍数的性质两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数.两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积.两个数具有倍数关系，那么它们的批大公约数是其中较小的数，批小公倍数是较大的数。3 .求一阻分散的G小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数；求出名个分数分手的最小公倍数。：求出各个分数分母的地大公约数分：2即为所求.例如：士=粤=史a412(4,12)4注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：y=M=4三、最大公约数与最小公倍数的常用性质
5、1 .两个自然数分别除以它们的最大公约数,所得的商互质.如果,”为A、8的最大公约数,且A=,m.B=M那么aA互质，所以4、8的最小公倍数为M而，所以报大公约数与公小公倍数有如下一些根本关系：MIABabAXB=EX协=,x履，即两个数的最大公约数与最小公倍数之枳等于这两个数的积:最大公约数是A、B、A+8、A-Zf及最小公倍数的为数.2 .两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积,即a.ba.b=ab.3 .对于任懑3个连续的自然数，如果三个连线数的奇偶性为：奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数.例如：5x6x7=210,210就是567的最小公倍数.偶奇偶.那么这
6、三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍，例如：6x7x8=336,而6,7.8的坡小公倍数为336+2=168几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大。【例题解析】【A组根底夯实】例1两个数的最大公约数是4.最小公倍数是252,其中一个数是28,另一个数是多少？解：由ab=a.b(a.b)可得:另一个数为.252428=36答：另一个数是36。例2求437与323最大公约数是多少？解：运用解转相除法:437323=1.1141.323114=2-95；11495=119,9519=5,那么(437,323)=19答：437与323的最大公约数是19。例3两个数的最大公约数是20,最小公倍数56
7、0,符合条件的两个数中弟最小的两个数各是多少？解：由题解可得:56020=28=1.28=47,显然4与7之间差最小,207=140,20X480答：符合条件的两个数中差最小的数是80和140.例4有336个苹果，252个格子，210个梨，用这些水果城多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，三样水果各多少？解:最多可以分成(336,252,210)=42(份)每份中有苹果33642:8(个)都份中有桔子25242=6(个)每份中有梨21042=5(个)存：域多可以分成42份，每份中有苹果8个，有枯子6个，有梨5个。(B能力提升】例1两个自然数的差为2,它们的最小公倍数与最大公约数之间差为14
8、2,求这两个自然数.解：由题就可斛：两个自然数的差为2的自然数的最大公约数只有两种可般：一个为1,一个为2(1)当两个数互质时，IX(1+142)=1143=1IX13；(2)当两个自然数最大公约数为2时，2(142+2)=2144=1618.所以这两个自然数是11和13或者16和18,答：略.例2两个自然数的和是60.它们的最大公约数与最小公倍数之和是84,求这两个自然数.解：设这两个数为若(a,/，)F,则“=6%(4,%互历)，则”岬必，fi1.a+b=叫+m,=n(t+=n+=mx(1.+q%)=M由此可知，为60和84的公约数，而(60.84)=12,所以阿只能取1、2、3、4、6、
9、12,当,“取1、234、侧1均不满足讯4+q2)=60和nx(1.+4/)=%所以加取12,当加=12时，q+公=6O12=5d+q%=7,.q%=6。所以当%=2,=3a=122=24,b=123=36答：这两个自然数分别是24和36。例3把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸战成同样大小的正方形纸块.而没有剩余,何：能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可战成几块？解：要把一张长方形的纸技成同样大小的正方形纸块，还不能有剩余,这个正方形纸块的边长应该是长方形的长和宽的公约数.由于题目要求的是最大的正方形纸块.所以正方形纸块的边长是长方形的长和宽的最大公约数，1米3分米5照米=135限
10、米，1米5匣米=105阳米，正方形的边长为（130105）=15,长方形纸块的面积为135x105=14175（平方哩米），正方形纸块的面积为I5I5=225（平方厘米）.共可栽成正方形纸块14175+225=63（块）.答：正方形的边长是15照米，一共可以裁成63块。例4两个白然数的和是50,它们的最大公约数是5,试求这两个数的差.解:设这两个自然数为：5,功，其中。与。互质，那么有5+S=5O,“+=10,所以a=9,b=1.a=7,b=3,所以这两个两个自然数为5X9-45,5X1=515X7=35,5X3=15.它们的差分别是：45-5=40,35-15=20答：所求这两个数的差是IO
11、或者20.例5大片后的一天，小明和爸爸同时步测一个跋形花圃的周长，他俩的起点和步行方向完全相同，小明每步长54照米，爸爸仔步长72闻米，由于两人脚印有重合的，所以各走完一圈后，当地上留下60个脚印，求幽形花圃的周氏。解：两人从起点出发到第一次脚印也合所走的路程是相同的，足两人步长的最小公倍数,为54,72=216哩米，在216袒米里，两人留下的脚印数分别是：216+54=4（个），216+72=3（个），由于两人有1个脚即重合，所以实际上只有4+3-1=6（个）脚印,60+6=10,即走完全程共垂合10次，因此，花阚周长为：216x10=2160（厘米）答：花Iff1.周氏是2160哩米。【习
12、题精选】【A组一根底夯实】1 .用短除法求120,48和56的公小公倍数：用分解质因数法求35、98、112的最大公约数和3小公倍数。2 .a=44,b=12c=82.求(a.b.c)和a,b.c3 .两个自然数的G大公约数是6,此小公倍数是504,如果其中一个数是42,那么另一个数是4 .8路车都隔8分钟发一次车，12路每隔6分钟发一次车,在某一时刻这两路车同时从一个车站发车，至少再过分钟这两路车才又同时发车。5 .甲数是36,甲、乙两数最大公约数是4,最小公倍数是288,那么乙数是。6 .四个连续自然数的和等于54,那么这四个连续自然数的的小公倍数是,7 .一个房间长450厘米，宽330厘
13、米.现方案用方放铺地，需要用边长最大为厘米的方的块（整块）,才能正好把房间地面铺满.8 .教师节那天,某校工会买了320个苹果、210个精子、200个鸭梨,用来慰问退休的教职工,何用这些果品，最多可以分成份同样的礼物（同样的礼物指的是每份礼物中苹果、枯子、鸭梨的个数彼此相等）。在每份礼物中，苹果有个，桔子有个，鸭梨有个。9 .三个质数的和是62,这三个质数的积是.10 .一包糖.平均分给2人，3人4人,或5人，正好都余一块，这包糖至少有块.（B蛆一能力提升】1 .有三根绳子，笫一根长12米，第二根长18米，第三根长24米，现在要把它们剪成同样长的小段，每段及长米。2 .有一批树苗，9棵捆多7棵
14、，10棵一捆多8棵，12棵一捆多10棵,这批树苗在150200之间.共有棵树苗.3 .同学们训练播送操.都行8人、10人、15人，都能正好排成整行,并且没有多余的学生,至少有人参加了播送操训练.4 .两个自然数的积为240,城小公倍数为60,这两个数为.5 .两数的最大公约数是21,最小公倍数是126,这两个数的和是，6 .一个长方形的周长是40哩米，它的长和宽的厘米数是由一个质数与一个合数组成，它的面积最大是，最小是.7 .幼儿园一个班节约图悦如借35本平均发给彩个小朋友后还差1本：如借56本,平均分发给每个小朋友：如借69本,平均分发给短个小朋友后那么差3本.问这个班的小朋友最多有人。8 .一个数分别被2、4、5除部余1，这个数在100-130之间，这个数是
