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1、函数的奇偶性一、关于函数的奇偶性的定义一般地，假如对于函数/U)的定义域内随意一个X,都有/(-0=(),那么函数/)就称偶函数；一般地，假如对于函数/(X)的定义域内随意一个X,都有/(-幻=-/*),月峪函数/(X)就称奇函数；二、函数的奇偶性的几特性质1、对称性：奇(偶)函数的定义域关于原点对称；2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内随意一个K都必需成立；3、可逆性：/(-X)=/(X)O/（八）是偶函数；/(-A)=-/(X)U/(X)奇函数；f(4、等价性：/(-X)=/(.V)O/(-X)-/(X)=O=/(IA1.)=f(x)O-k2=1；A-X)f()f(-x)=-f(
2、x)of-x)+/(.V)=OO-7=-1；/(7)5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于1,轴对称；6、可分性：依据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇困数又是偶函数、非奇非偶函数.7、设/(r),小、)的定义域分别是R./)：,那么在它们的公共定义域上：奇士奇=奇(函数)偶士偶=偶(函数)奇X奇=偶(函数)偶X偶=偶(函数)奇X偶=奇(函数)8、多项式函数P5)=%x+，*.+询的奇偶性多项式函数Pg是奇函数oP(X)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数P(X)是偶函数P(X)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.9、更合函数y=/g(的奇偶性若函数/(x),g
3、(x)jg(x)的定义域都是关于原点对称的,那么由“=以N),y=/()的奇偶性得到V=/g(x)的奇偶性的规律是：函数奇偶性“=g(M奇函数奇函数偶函数偶函数y=f(u)奇函数偶函数奇函数偶函数y=k奇函数偶函数偶函数偶函数即当且仅当“=g()和,y-“)都是奇函数时,复合函数F=(x)是奇函数.三、函数的奇偶性的推断函数奇偶性的因素有两个：定义域的对称性和数员关系。推断函数奇偶性就是推断因数是否为奇困数、偶西数、既是奇函数又是假函数、非奇非偶函数四种状况推断函数奇偶性的方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查/(-X)是否与-/(X)、/6)相等，推断步骤如下：1、定义域是否关于原点对称;若定
4、义域不对称，则为非奇非偶函数：若定义域对称，则有成为奇(偶)函数的可能2、数量关系f(-x)=(,v)哪个成立；推断分段函数的奇偶性推断分段函数的奇偶性时，通常利用定义i去推断，在函数定义域中,对自变量X的不同取值范围,有若不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数，分段函数不是几个函数，而是一个函数，因此其推断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称,然后推断了(-X)与/()的关系，首先要特殊留意X与一X的范围，然后将它们代入相应段的函数表达式中，/)与/(-X)对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较。四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定命题1：函数的定义域关于原点对称，星函
5、数为奇函数或偶函数的必要不充分条件.此命题正确.1触口函数的定义域不关于原点对称，那么函数肯定是非奇m日国函数，这一点可以由奇偶性定义干脆得出.命题2:两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数.此命题错误.一方面，钱如这两个函数的定义域的交集是空集，另它们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如.r)=x(xW(TJ),(x)=x(x(-2,2),可以看出函数f(x)与如外都是定义域上的函数，它们的差只在区间(-1.D上有定义且/(r)-g(M=O,而在此区间上函数/()-f!(x)既是奇函数又是偶函数。命题3:/（八）是骸怠函数
6、，那么I/(.v)与/(IX|)都是偶函数.此命题错误,一方面，对于函数I.(:)?:不能保证/(T)=/()-/(A(v)O).或f(-x)=-(x)；另一方面，对于一个随意函数/(*)而言,不能保证它的定义域关于原点对称.假如所给函数的定义域关于原点对称，那么函数八|3)是偶困数.命题4：银如函数/(X)满意：(-v)=(-),另及函数是奇函数或偶函数.此命遨错误.如函数/(X)=I:从图像上看，/)的图像既不关.(x=211+1.,116f),于原点对称，也不关于y轴对称，故此函数非奇非偶.命题5:设.依)是定义域关于原点对称的一T函数，则Q(X)=加+.A-XJ为偶函数，h()=fi)
7、-J-8B；(-2)=10,那么/(2)=【例2】设，(X)是定义在R上的偶困数，若当应0时，f(X)=IoS(1.+x),则f(-2)=例3f(x)是定义在R上的奇函数,则/(0)=一；若有/(-2)=3,则/(2)=；若/(5)=7;M/(-5)=；【例4】已知由数/(*)=-一一(xw及),若f(,r)为奇函数，则=_;2*+12、利用奇偶性比蛟大小【例5】已知偶函数/3在(-8.0)上为减函数，比较.-5),/，/的大小.例6若/C)是R上的偶函数，且在0,+8)上是增函数，则下列各式成立的是：A(-2)/(O)/(I)(-2)(1.)/(O)C.(1.)/(0)/(-2)D.(1.)
8、/(-2)/(0)【例7】假如奇函数/S)在区间口，7|上是增函数目隈大值为5,那么/(X)在区间-7,-3上是()A.培函数目最小值是-5B.增函数且最大值是一5C.减函数月最大值是-5D.减函数月最小值是一5【例8】r=(x),X，2)TJ=-2)为偶函数，靛较/Jq)J弓)的大小关系.【例9】y=/。)，1(-2,2)为偶函数/610.2),若/(17)/(。)，求。取值范围.3.利用奇偶性求解析式【例10】已知f(x)为偶函数，当OWrG时，八幻=I-X,当T4x0时，求/(W的解析式.(011若/(X)是定义在(-8,0)U(0,+8)上的奇函数，当X0时，困数/()的解析式.【例1
9、2设/*)是定义在R上的踊数,且当(X时./(X)=-2a2+3+1,函数/O)的解析式.4、利用奇偶性探讨函数的单调性【例15若/(x)=-2)/+仅-3)x+3是偶函数,探讨函数/(X)的单调区间.5、利用奇偶控求参数的值【例16定义在R上的偶函数f()在(-,O)是单调递减,若/(22+1)f(3a2-2a+1.),则“的取值范困是如何？【例17设定义在-2,2J上的奇函数f(x)在区间0,2上单调递减,若f(1.m)0).(5)/(X)=(1.+2,)j2.【例2()】推断下列函数的奇偶性g0)=x2+1.(.v0)-x2-1.(0)23-3K+1x0晓】推断函数加葭3,一。的奇偶性.
10、【名师点拨】分段困数的奇偶性应分段证明f(-X)与f(x)的关系，只有当对称的两段上都满意相同的关系时，才能推断其奇偶性.也可依据图象判定.8、春假函敷的图以向【例22下面四个结论中，正确命迤的个数是(禺函数的图象肯定与)，轴相交奇函数的图象肯定通过原点禺函数的图象关于y轴对称既是奇函数，又是偶函数的函数肯定是f(r)=0(iR)().1B.2C.3D.4【提高练习】1.已知定义域为K的偶函数/(M在(0.)上为减函数，且有.2)=0,则满意f()。的X的集合为;2 .已知函数V=/(x)为R上的奇函数,若/(3)-/(2)=I,则/(-2)-f(-3)=一；3 .已知偶函数f()在区间2,4
11、上为减函数且有展大值为5,则f()在区间-4,-2上为因数目有最值为一；若是奇困数/。)在区间2.4上为增函数且有最小值为5,则/(x)在区间-4.-2上为一函数目有最_值为_.4 .若函数/(x)=Iog,(x+JPT芽)是奇函数，则。=5 .已知函数/3=(6-1*+W-2)+(/-7m+12)为偶函数，则析的值是(A.1B.2C3D.46 .若偶函数在J-上是塔困数，则下列关系式中成立的是()/(-7)-,)(2)A.2/(2)A-IXA-J)C.2/(-D/(-/(2)B.2，/(凸(T)D.27 .函数)，=/*)是R上的偶函数，且在(F,0上是增函数，若f()S(2),则实数Q的取值范围是()A.-2C.-2a2D.w-2三Jc28 .已知/(x)=Ig(I-X)-Igd+X)(1)推断函数的奇偶性；(2)推断/（八）的单调性并证明。9取)=今宁为奇磁，求实数a的直
