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1、线段和最小值问题专题教学设计【专题的地位与作用】线段和最小值问题，是历年来全国各地中考的热门试题，其在试题中呈现的方式涵盖在选择、填空、解答、作图等各种形式，特别是广州近几年对于这类的题目也加大了考察力度，2017年24题，2018年23题都涉及到这个知识点的应用，而且多以压轴题的形式出现。关于线段运算的最值问题课本上只有两处出现：一是两点之间线段最短；另一个是垂线段最短。在平时的上课中，大多关注的是相等关系，对于不等关系学生接触较少，因此学生碰到这类题目的时候就比较棘手。而解决这种不等关系的工具也不多，所以在教学过程中让学生能认清两个公理的本质特征，及其在不同的背景下的应用方法是非常迫切的，
2、因此在中考复习中进行本专题的教学也是很有必要的。【学情分析】由于学生在平时的几何学习过程中接触到不等关系，特别是最值问题的机会比较少，在这方面知识的工具也不多，因而大部分学生处理这个问题都是有一定的难度的。本节课就是想通过学习让学生能认识两个基本模型的辨识及其应用方法，同时通过教学渗透化归思想，提高学生数学的核心素养。【教学目标】知识与技能目标：1、掌握模型变式1和模型变式2两类题型的结构特征，并能在实际问题中找出相关要素。2、能初步使用“一对称一连线”和“一对称一垂直”的方法解决相关数学问题3、体会用化归思想解决数学问题，经历由猜想到验证的过程，培养严密的数学思维习惯。过程与方法目标：通过问
3、题引导、模型变式启发发学生能依赖小组合作模式逐步探索出问题模型的解决方法，经历由猜想到证明的严谨的思维过程。情感态度与价值观目标：1、通过小组合作探索培养学生小组协作精神2、通过教师的引导启发培养学生探索求知的精神，激发学生对数学的学习兴趣【教学重点】1、模型变式1和模型变式2的结构特征2、“一对称一连线”和“一对称一垂直”的应用条件及应用方法【教学难点】1、模型变式2解决方法的探求2、模型变式1和模型变式2在实际应用时，求表示最小值的线段长度的方法【教学方法】引导启发式、自主探究式、小组合作【教学用具】几何画板PPT【教学流程】教学环节问题情境师生活动设计意图复基本模型：如图h在直线两侧有两
4、个定点AP,当P4+PB的最小时，画出点P的位置,4、A/8,在直线/上有一动点并说明理由。、I教师用PPT展示题目，学生回答老师提出的问题。本节课的内容都是通过本例的变式引习旧知p图1图2作法：如图2,连接48交直线I于点P厕点P为所求理由：两点之间线段最短申开来，为后面的模型变式作铺垫模型变式1:将A、8两点改为在直线1如图3,在直线同侧侧有两个定点A、8,右P4+P8的最小时，画出点P的位置，并说BAA同侧E直线/上有一动点Pt当明理由。B学生独立完成本题的解答后，教师提问加深学生对问题的理解：1、本题用了什么变换方法？2、本题中作A点的对称点的目的是为什么？作B的对称点可以吗？3、如何
5、来证明作法的正确性？*4、请说出此种类型题目的条件和结论的特征和此类题目解答的基本方法.*5、如果要求模型变式1,学生在八年级就接触过.这里只是一个复习和加深理解的过程，让学生进一步理解题目的本质特征以及知识间的联系，学会用化归的思想来解决问题，为后面化归思想的进一步应用奠定基探究新知思路：将直线1另一距离相等,作法：如尼P,则点1理由：如百AP=A,P,A从而问题彳A图3,刍线同侧两点，转化为直线异侧1则/必须要满足直线从而可知，A和，必然关于直34,作点A关于直线/的对称点D为所求。95,假如在直线1上有异于点PP=AP,则AP+BP=AP+BP=/导证BK,/线1.A的IB/P图4Jo假
6、如A点可以转化成匕的任意一点到A和，的对称。，,连接交直线/于点任意一点P,由作图知：AP+PB=AP+PB【模型特彳条件：T要求：使作法：如的连线与天2的长度就;例题：（204图5定正】S定直线（上有动点），两个定点位m1动+动定2最小。图6,作一个定I点关于定直线的X已直线的交点就是定】动+动定2最4是最小值.简称：“一对称一连线”17石家庄名校模拟）如图7,Rt图6于定直线的同一侧。1称点定J，定IJ定2、时动点的位置，定S定ABC中，AB=BC=2,AB+BP或者是B+AP作图的方法还是一样吗？为什么？础。教师的提问让学生明晰此类问题木质特征，防止机械套用。D为BC的中点，在4C边上存
7、在一点E,连接EDfEB,则BE+ED的最小值为图7图8解题思路：考查题目特征。条件：定直线AC及其上的动点E,同侧定点6、。要求：求BE+EO的最小值。符合模型变式1“定I动+动定尸的结构特征.解答：如图8,作点E关于直线AC的对称点夕,连接8笛交AC于点E.连BC则易知C为等腰直角三角形。从而：BE+ED=BE+ED=BD=CZ）2+B,C2=1222=J5变式训练：（2015厦门市一模）如图，周长为16的菱形ABCD中，点区F分别在AB,AD边上，AE=lfAF=3,P为BD上一动点，则线段EP+尸P的长最短为一模型变式2：将模型变式1中的定点4改为定直线。上的一个动点如图9,点A、P分
8、别是直线机及直线/上的一个动点，8是平面上的一个定点，求AP+8P的最小值，并画出P点的位置。作点B关于直线小组讨论，明晰例题中的条件及要求并考查是否适合模型变式1的结构特征，然后解答.小组推荐让成员讲解解题思路学生独立解答，完成后小组同学相互交流、核对答案、互补不足。教师巡视，有针对性的辅导释疑教师利用几何画板操作，引导学生思考：1、模型变式2与模型变式1的区别是什么？2、如何才能利用模型变式1的方法来解决模型变式2的问题？3把A看成一个定点，按照变式1的做法作出图形（如图10）,现在观察AP+BP的大小是那条线段的长度？4、由于点6是定点，因而点让学生体会模型变式1在不同背景下的应用，能在
9、练习的过程中辨析模型中的各个量（定直线及其同侧的两个定点）启发引导学生通过化归思想把问题一步步转化，首先通过“化动点为定点”的方法，把问题转化为模型1,再通过模型1把问题又转化为点到直线的距离。也是一个定点，线段力夕表示什么意义？5、由于A是一 个动点，教师移 动A点的位置， 让学生思考：当 A点运动到什么位置的时候AB让学生理最小？解作法的6、 回顾刚才正确性，的思路，总结出经历由猜此类型题目的想到证明作图方法：一对的严密的称一垂直（如图数学思维IDo7、引导学生 证明操作的正 确性（如图 12）*8、引导学生总 结模型变式2的 条件和结论特 征及其解决方 法（如图13） 9、通过几何画 板
10、演示：改变定 点B的位置，问过程题的解决方法教学过程是否有不同？中紧扣模*10、引发学生型2的特思考：如果要求征及使用AB+BP或方法.引BA+AP的最小导学生认值将如何求？清问题本 质：到底 作哪个点 的对称 点？作关 于哪条直 线的对称 点？防止 学生机械 套用。作法：如图11,作点B关于直线/的对称点B,f过夕作B,ALm,垂足为A,交直线/于点P,则点A、P为所求。理由：如图12,假若直线m上有异于A的点A,直线1上有异于P的点Po由于B于B关于直线1成轴对称可知：BP=PB,BP=BP贝IJAP+BP=AP+PB=AB,AB,AP+P,B,=A,P,+PB从而问题得证.【模型特征】条
11、件：两条定直线上有两个动点，两条直线外一个定点。要求：使动1动2+动2定最小。作法：如图11,作定点关于动2点所在的直线的对称点定，然后过定作另外一条直线的垂线，垂足就是“动I动2塌2定“最小时动】的位置，垂线与另一条直线的交点就是动2的位置，垂线段动定的长度就是最小值。简称：“一对称一垂直”例题：（自编）如图14,等边AABCAB=6fBDYAC,M、N分别是线段B。、BC上的动点,求MN+MC的最小值./K教师带领学生审题，然后小组合作探讨，寻求解决方法，最后小组推荐成员讲解解题方法。让学生先讲解解题思路，然后自主完成变式训练。师巡堂，个别辅导例题和变式训练让学生熟悉模型变式2的应用条件及
12、应用方法，变式训练利用中考改编试题引领激发学生的学习兴趣。变式训练试题是例题的延伸与提高，例题为变式训练作铺垫。BCB#C图14图15思路：考查题目条件特征：定直线BD、BC上分别有动点M、N,C为一定点.NM+MC符合模型变式2中“动1动2熠2定”的结构特征，并且“动2”对应的是点M因此，本题只要过点C作关于直线BD的对称点，然后通过这个对称点作直线BC的垂线即可解出答案。解答：因为aABC是等边三角形，BDLACf所以A即为点C关于直线3。的对称点。如图15,过,点4作AN_LBC于N,交8。于此时NM+MC最小。NM+MC=AM+MN=AN=ABsinNABC=ABSin600=6=3j
13、2变式训练1：（2016年芜湖中考模拟）如图，已知ZDAE=22.5,点C是射线AE上一点，且线段AC=3,若点M和点N分别是射线AO和线段AC上的两个动点，则MN+MC的最小值是.变式训练2：（2018年广州市中考改编）如图，在四边形ABCD中，NS=U90,NOC的平分线DE,交BC于点、E若CD=2,AB=4f4）=6,点MfN分别是AE,AB上的动点，求BM+MN的最小值.力AB总结提升模型变式1条件：一条定直线(上有动点)，两个定点位于定直线的同一侧。要求：使定I动+定2最小。作法：一对称一连线模型变式2条件：两条定直线上有两个动点，两条直线外一个定点。要求：使动1动2+动2定最小。作法：一对称一垂直学生总结本节课所学习的主要知识点和解题方法通过归纳总结，让学生提高认识，把握本节课的主要内容，构建知识体系课(自编)如图：NMo=60,NMON=I5,点A是射线OM上的一个定点，OA=8,点P是射线ON上的一个动点，过P作LoQ于，(1)求AP+P的最小值。(2)由题意知0P,求gP+PA的最小值。教师用PPT展示题目，让学生课这个探究题共分三个小问，三个小问之间层层递进，前后研习(3)通过上面的解法,M上21试探求一OP+PA的最小值。2JC后研习一题都是为后一题作铺垫。通过本题，让本节课的知识内容进一步延伸，让学生体会另一类线段和最值问题的解法，为下一节课作准备。HQ
