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1、一、一、填空题填空题（每小题4分） 1最小势能原理等价于弹性力学基本方程中：最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程平衡微分方程 ，应力边界条件应力边界条件 。 2一组可能的应力分量应满足：一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程平衡微分方程 ， 相容方程（变形协调条件）相容方程（变形协调条件） 。3等截面直杆扭转问题中，等截面直杆扭转问题中， 的物理意义是的物理意义是 :MdxdyD 2 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩M 。 4平面问题的应力函数解法中，平面问题的应力函数解法中，Airy应力函数在边界上值应力函数在边界上值
2、 的物理意义为的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩 。 5弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为： 0,ijijX)(21,ijjiijuu二、二、简述题简述题（每小题6分） 1试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。 圣维南原理：圣维南原理：如果物体的如果物体的一小部分边界一小部分边界上的面力变换为分布不同但上的面力变换为分布不同但静力等效静力等效的面力（主矢与主矩相同），则的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力近处
3、的应力分布将分布将有显著有显著的改变的改变，但，但远处的应力远处的应力所受所受影响可以忽略不计影响可以忽略不计。 作用：作用：（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。 （1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替布的面力代替。 2图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数 的分离的分离变量形式。变量形式。 )(),(),(222frrcybxyaxyx )(),(),(33223frrdycxyybxaxy
4、x（a）（b）3图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P，板的几何尺寸如图，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量材料的弹性模量E、泊松比、泊松比 已知已知。试求薄板面积的改变量试求薄板面积的改变量。 解：解： S设当各边界受均布压力设当各边界受均布压力 q 时，两力作用点的时，两力作用点的相对位移为相对位移为 ， 由由qE)1 (1)1 (2222Ebaqball设板在力设板在力P作用下的面积改变为作用下的面积改变为 ，由功的互等定理有：，由功的互等定理有： SlPSq将将 代入得：代入得： l221baPES显然，显然， 与板的形状无关，仅与与板的形
5、状无关，仅与E、 、l 有关。有关。 S4图示曲杆，在图示曲杆，在 边界上作用有均布拉应力边界上作用有均布拉应力q，在自由端作用有水，在自由端作用有水平集中力平集中力P。试写出其边界条件（除固定端外）。试写出其边界条件（除固定端外）。 br 0 ,brrbrrq0 , 0arrarr cosPdrba 2cosbaPrdrba sinPdrbar5试简述拉甫（试简述拉甫（Love）位移函数法、伽辽金（）位移函数法、伽辽金（Galerkin）位移函数法求解空）位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想，并指出各自的适用性间弹性力学问题的基本思想，并指出各自的适用性 .Love、Galerkin位移
6、函数法求解空间弹性力学问题的基本思想：位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想： （1）变求多个位移函数）变求多个位移函数 或或 为为求一些特殊函数，如调和函数、重调和函数。求一些特殊函数，如调和函数、重调和函数。 ),(),(),(yxwyxvyxu),(),(rurur（2）变求多个函数为求单个函数（特殊函数）。）变求多个函数为求单个函数（特殊函数）。 适用性：适用性： Love位移函数法适用于求解轴对称的空间问题；位移函数法适用于求解轴对称的空间问题； Galerkin位移函数法适用于求解非轴对称的空间问题。位移函数法适用于求解非轴对称的空间问题。 三、三、计算题计算题1图示半无限平面体
7、在边界上受有两等值反向，间距为图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为 d 的集中力作的集中力作用，单位宽度上集中力的值为用，单位宽度上集中力的值为 P，设间距，设间距 d 很小。试求其应力分量，很小。试求其应力分量，并讨论所求解的适用范围。并讨论所求解的适用范围。 （提示：取应力函数为（提示：取应力函数为 ） BA2sin解：解： d很小，很小， PdM 可近似视为半平面体边界受一集中力偶可近似视为半平面体边界受一集中力偶 M 的情形。的情形。 将应力函数将应力函数 代入，可求得应力分量：代入，可求得应力分量： ),(r2sin4112222Arrrrr022r)2cos2(112BA
8、rrrr 边界条件：边界条件： （1 1） 0 , 00000rrr0 , 000rrr代入应力分量式，有代入应力分量式，有 0)2(12 BAr02 BA（1） （2）取一半径为）取一半径为r 的半圆为脱离体，边界上受有：的半圆为脱离体，边界上受有： rr,，和，和 M = Pd 由该脱离体的平衡，得由该脱离体的平衡，得 0222Mdrr将代入将代入 并积分，有并积分，有 r0)2cos2(12222MdrBAr02sin22MBA0 MB得得 （2） 联立式（联立式（1）、（）、（2）求得：）求得： PdMB2PdA 代入应力分量式，得代入应力分量式，得 22sin2rPdr022sin2
9、rPdr结果的适用性：结果的适用性：由于在原点附近应用了圣维南原理，故此结果在原点附由于在原点附近应用了圣维南原理，故此结果在原点附近误差较大，离原点较远处可适用。近误差较大，离原点较远处可适用。 2图示悬臂梁，受三角形分布载荷作用，若梁的正应力图示悬臂梁，受三角形分布载荷作用，若梁的正应力 由材料力学由材料力学公式给出，试由平衡微分方程求出公式给出，试由平衡微分方程求出 ，并检验该应力分量能否，并检验该应力分量能否满足应力表示的相容方程。满足应力表示的相容方程。 yxy,x解：解：x（1）求横截面上正应力）求横截面上正应力 任意截面的弯矩为任意截面的弯矩为 306xlqM截面惯性矩为截面惯性
10、矩为 123hI 由材料力学计算公式有：由材料力学计算公式有： yxlhqIMyx3302（2）由平衡微分方程求）由平衡微分方程求 、 xyy平衡微分方程：平衡微分方程： (3) 0(2) 0YyxXyxyyxxyx其中：其中： 0, 0YX将式（将式（1）代入式（）代入式（2），有），有 （1）积分上式，得积分上式，得 )(312230 xfyxlhqxy02hyxy利用边界条件：利用边界条件： 0)(4312230 xfhxlhq有：有： 2230143)(hxlhqxf)41(322230hyxlhqxy（4 4） 将式（将式（4）代入式（）代入式（3），有），有 0)41(62230y
11、hyxlhqy)41(62230hyxlhqyy积分得积分得 ：)()4133(62230 xfyhyxlhqy利用边界条件：利用边界条件： xlqhyy0202hyyyxlhqyxy2306(3) 0(2) 0YyxXyxyyxxyx将（将（1）代入（）代入（2），有），有 0)()8124(6)()8124(623330023330 xfhhxlhqxlqxfhhxlhq得得 ：由第二式，得由第二式，得 xlqxf2)(02将其代入第一式，得将其代入第一式，得 xlqxlqxlq00022自然成立。自然成立。将将 、 代入的表达式，有代入的表达式，有 )(2xfyxlqyhyxlhqy2)
12、413(602330（5）所求应力分量：所求应力分量：yxlhqIMyx3302)41(322230hyxlhqxyxlqyhyxlhqy2)413(602330（6）校核梁端部的边界条件：校核梁端部的边界条件：（1）梁左端的边界（）梁左端的边界（x = 0）：）： 0220hhxxdy0220hhxxydy代入后可见：自然满足。代入后可见：自然满足。 （2）梁右端的边界（）梁右端的边界（x = l）：）： 022233022hhlxhhlxxdyylhxqdy2)4(30222232022lqdyhylhxqdyhhlxhhlxxyMlqylhlqdyylhxqydyhhhhlxhhlxx6
13、3222022333022233022可见，所有边界条件均满足。可见，所有边界条件均满足。 检验应力分量检验应力分量 是否满足应力相容方程是否满足应力相容方程： yxyx,常体力下的应力相容方程为常体力下的应力相容方程为 0)()(22222yxyxyx将应力分量将应力分量 式（式（6）代入应力相容方程，有）代入应力相容方程，有yxyx,xylhqxyx302212)(xylhqxyx302212)(024)()(3022222xylhqyxyxyx显然，应力分量显然，应力分量 不满足应力相容方程，因而式（不满足应力相容方程，因而式（6）并不）并不是该该问题的正确解。是该该问题的正确解。 yx
14、yx,3一端固定，另一端弹性支承的梁，其跨度为一端固定，另一端弹性支承的梁，其跨度为l，抗弯刚度，抗弯刚度EI 为常数，梁端为常数，梁端支承弹簧的刚度系数为支承弹簧的刚度系数为 k。梁受有均匀分布载荷。梁受有均匀分布载荷 q 作用，如图所示。试：作用，如图所示。试： （1）构造两种形式（多项式、三角函数）的梁挠度）构造两种形式（多项式、三角函数）的梁挠度 试函数；试函数； )(xw（2）用最小势能原理或）用最小势能原理或 Ritz 法求其多项式形式的挠度近似解（取法求其多项式形式的挠度近似解（取1项项待定系数）。待定系数）。 解：解： 两种形式的梁挠度试函数可取为两种形式的梁挠度试函数可取为
15、：)()(23212xAxAAxxw 多项式形式；多项式形式；)2cos1 ()(1nmmlxmAxw 三角函数形式；三角函数形式；此时有此时有 ：0)()(023212xxAxAAxxw0)()(2)(03222321xxAAxxAxAAxxw0)2cos1 ()(01xnmmlxmAxw02sin2)(01xnmmlxmmlAxw即满足梁的端部边界条件。即满足梁的端部边界条件。 梁的总势能为梁的总势能为 202022)(21)(21lwkdxxqwdxdxwdEIll21)(xAxw取取有有1222Adxwd21)(lAlw代入总势能计算式，有代入总势能计算式，有 221012021)(2
16、1)2(21lAkdxAqxdxAEIll42131212132lkAlqAEIlA由由 ，有，有00343411lqlkAEIlA)4(34301klEIllqA代入梁的挠度试函数表达式，得一次近似解为代入梁的挠度试函数表达式，得一次近似解为 2430)4(3)(xklEIllqxw4已知受力物体内某一点的应力分量为：已知受力物体内某一点的应力分量为： 0 xMPa2yMPa1zMPa1xy0yzMPa2zx试求经过该点的平面试求经过该点的平面13zyx上的正应力。上的正应力。 由平面方程由平面方程 ，得其法线方向单位矢量的方向余弦为，得其法线方向单位矢量的方向余弦为13zyx解：解：1111311222l1131313222m1111311222n102021210ij 131111nmlL LLTNMPa 64. 2111131102021210 1311111129111131375
