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1、北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮北京交通大学工程力学研究所北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮柯燎亮受预应力为10kN拉力的缆绳，若在C点再作用有向下的荷载15kN，缆绳不能承受压力. 试求:当h= 、h= 时，AC、BC两段内的内力。45l15l在弹性范围内，可应用叠加原理: 多个荷载在构件内产生的内力、应力等于各荷载单独作用时产生的内力之和。hlABCPPFNBFNAPFFNANB一次超静定。静力关系：变形关系：0ACCBll 4155,NANBACCBFlFlllEAEA-4NBNAFFPFFNANB4NBNAFF312NANBFkNFkN压拉叠加预 张力后：拉拉kNFkNFNBNA22
2、7时：51当ACl1455,NANBACCBFlFlllEAEA-4NANBFF12,3NANBFkNFkN压拉100!NAFkN015NANBFFkN绳子不能受压绳子不能受压工厂厂房的天车大梁：工厂厂房的天车大梁：FF火车的轮轴：火车的轮轴：FFFF楼房的横梁：楼房的横梁：阳台的挑梁：阳台的挑梁：3.3.梁梁 (Beam) (Beam) 以弯曲变形为主的杆件以弯曲变形为主的杆件* * 受力特点：受力特点： 外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线* * 变形特点：变形前为直线的轴线变形特点：变形前为直线的轴线, ,变形后成为曲线变形后成为曲线. .2.2.弯曲
3、变形弯曲变形4.4.平面弯曲平面弯曲qPMARBR作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内, ,弯曲变形后的轴线是一条在该纵弯曲变形后的轴线是一条在该纵对称面内的平面曲线对称面内的平面曲线, ,这种弯曲称为平面弯曲这种弯曲称为平面弯曲. .受力特点受力特点作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在 梁的纵向对称平面内。梁的纵向对称平面内。变形特点变形特点杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平 面曲线。面曲线。纵向对称面纵向对称面MF1F2q受力特点：受力特点：变形特点：变形特
4、点：作用于杆端外力的合力作用线与杆件轴线重合。作用于杆端外力的合力作用线与杆件轴线重合。沿轴线方向产生伸长或缩短。沿轴线方向产生伸长或缩短。拉压：拉压：构件受两组大小相等、方向相反、作用线相构件受两组大小相等、方向相反、作用线相互很近的平行力系作用互很近的平行力系作用. .构件沿两组平行力系的交界面发生相对错动构件沿两组平行力系的交界面发生相对错动. .剪切：剪切：受力特点：受力特点：变形特点：变形特点：扭转：扭转：受力特点：受力特点：变形特点：变形特点：杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且力偶作用面垂直于杆的轴线。且力偶作用面垂直于杆的轴线。杆任意两
5、截面绕轴线发生相对转动杆任意两截面绕轴线发生相对转动。F。 MR FRyFRx约束反力约束反力计算简图计算简图(1)(1)固定端固定端FRyFRxFR 可动铰可动铰支座支座固定铰固定铰支座支座约束反力约束反力计算简图计算简图(2)(2)固定铰支座和可动铰支座固定铰支座和可动铰支座固定铰支座不同表示方法固定铰支座不同表示方法AAAFRAyAFRAxFAAAA可动铰支座不同表示方法可动铰支座不同表示方法(1)(1)悬臂梁悬臂梁(2)(2)简支梁简支梁(3)(3)外伸梁外伸梁FRxFRyMR FRy1FRxFRy2FRy1FRxFRy2静定梁静定梁梁的支反力均可由平面力系的三个独立梁的支反力均可由平
6、面力系的三个独立的平衡方程求出。的平衡方程求出。梁的支反力单独利用平衡方程不能确定。梁的支反力单独利用平衡方程不能确定。静定梁静定梁超静定梁超静定梁FAyFAxMA FBFAyFAxFCFBABBCA4-3 剪力和弯矩剪力和弯矩4-34-3 剪力和弯矩剪力和弯矩弯曲内力的确定截面法弯曲内力的确定截面法MFRAxFABFmmxRAyFSCFFRBFSCMBAalF 弯曲构件内力弯曲构件内力剪力剪力弯矩弯矩弯矩弯矩(Bending moment) (Bending moment) M M 构件受弯时，横截面上其作用面垂直构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩于截面的内力偶矩. .剪力剪力
7、(Shear force) (Shear force) F FS S 构件受弯时，横截面上其作用线平构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力行于截面的内力. .4-3 剪力和弯矩剪力和弯矩:符号符号规则规则剪力符号：剪力符号：使该微段有顺时使该微段有顺时针转动趋势的为正；反之为针转动趋势的为正；反之为负。负。作用左侧截面，使得截开部分作用左侧截面，使得截开部分逆时针转为正；逆时针转为正；作用右侧截面作用右侧截面，使得截开部分顺时针转为正，使得截开部分顺时针转为正；反之为负；反之为负使该微段有下凸变使该微段有下凸变形趋势的为正（底部受拉）；形趋势的为正（底部受拉）； 反之为负。反之为负。la
8、lFFA取左侧分离体分析任一横截面取左侧分离体分析任一横截面m-m上的内力上的内力lalFFFASlFaFBxlalFxFMAmmxaABF FBFAFAFSyAmmxxCM 0yF 0CM例例1：求：求m-m截面的内力。截面的内力。对截面形心求矩对截面形心求矩由其右边分离体的平衡条件同样可得由其右边分离体的平衡条件同样可得 0yF 0CMlalFFFFBS0SBFFF0 xlFxaFMBxlalFxaFxlFMBMFSmF mBCFBmmxaABF FBFAAF laFlBFaFllalFFFASxlalFxFMA左侧例例2: 求图示外伸梁在截面求图示外伸梁在截面11、22、 33和和44横
9、截面上的剪力和弯矩。横截面上的剪力和弯矩。解：支反力为解：支反力为 0yF 0AM032aFFaaFB)(2FFBFFFAB)(3 FFA xyAF Baa2a11224433Me =3FaFBFA截面截面11 0yF 01CM01aFM) (1顺顺FaMFF1S截面截面22 0yF 02CM02aFM) (2顺顺FaM02SFFFAFFFFA22SM1FS1F C111FAM2FS2F C222 xyAF Baa2a11224433Me =3FaFBFA)(3 FFA)(2FFB截面截面3303aFaFMA) (3逆逆FaMFFFB24S截面截面4404aFMB) (24顺顺FaM03SFF
10、FAFFFFA23S xyAF Baa2a11224433Me =3FaFBFA33C3M3F FS3FAFS4M44C4FB4)(3 FFA)(2FFB在集中力作用处，剪力值发生突变，在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值突变值=集中力大小集中力大小；在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值突变值=集中力偶矩大小集中力偶矩大小。内力内力11223344FS-F2F2F2FM-Fa-FaFa-2Fa xAF B11224433Me =3FaFA=3FFB =-2F规律总结：规律总结：4-34-3 剪力和弯矩剪力和弯矩求指定截面上的内力时，既可取梁的左段为脱离体
11、，也可取右段为脱离体，求指定截面上的内力时，既可取梁的左段为脱离体，也可取右段为脱离体，两者计算结果一致。一般取外力比较简单的一段进行分析。两者计算结果一致。一般取外力比较简单的一段进行分析。在解题时，一般在需要内力的截面上把内力（在解题时，一般在需要内力的截面上把内力（Q Q、M M）假设为正号。最后计算）假设为正号。最后计算结果是正，则表示假设的内力方向是正确的。若计算结果为负，则表示该截面上结果是正，则表示假设的内力方向是正确的。若计算结果为负，则表示该截面上的剪力和弯矩均是负的，其方向应与所假设的相反。的剪力和弯矩均是负的，其方向应与所假设的相反。梁内任一截面上的剪力梁内任一截面上的剪
12、力Q的大小，等于这截面左边（或右边）所有与截面平的大小，等于这截面左边（或右边）所有与截面平行的各外力的代数和。行的各外力的代数和。 梁内任一截面上的弯矩的大小，等于这截面左边（或右边）所有外力（包括力梁内任一截面上的弯矩的大小，等于这截面左边（或右边）所有外力（包括力偶）对于这个截面形心的力矩的代数和。偶）对于这个截面形心的力矩的代数和。 在集中力作用处，剪力值发生突变，在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值突变值=集中力大小集中力大小；在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值突变值=集中力偶矩大小集中力偶矩大小。画画剪力图剪力图和和弯矩图的三定：弯矩图的三
13、定：1.1.定坐标原点及正向定坐标原点及正向原点：一般在梁的左端；正向：自左向右原点：一般在梁的左端；正向：自左向右纵坐标：按比例表示梁的内力（弯矩和剪力）纵坐标：按比例表示梁的内力（弯矩和剪力）2.2.定方程区间，即找分段点定方程区间，即找分段点原则：载荷有突变处即为分段点原则：载荷有突变处即为分段点( (集中力作用点、集中力作用点、集中力偶作用点、分布力的起点、终点集中力偶作用点、分布力的起点、终点) )3.3.定内力正负号定内力正负号分析时，总是先设正号的剪力和弯矩分析时，总是先设正号的剪力和弯矩4-4 4-4 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 . .剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图)(
14、SSxFF )(xMM 剪力方程剪力方程弯矩方程弯矩方程反映梁的横截面上的剪力和弯矩随反映梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数式截面位置变化的函数式显示剪力和弯矩随截面位置的变化规律的图形则分别称为显示剪力和弯矩随截面位置的变化规律的图形则分别称为剪力图剪力图和和弯矩图弯矩图。注意：注意： a.a.正的剪力和负的弯矩画正的剪力和负的弯矩画在横坐标的上边在横坐标的上边 b.b.负的剪力和正的弯矩负的剪力和正的弯矩画在横坐标的下边画在横坐标的下边 弯矩图与教材相反！弯矩图与教材相反！例例1: 图示悬臂梁受集度为图示悬臂梁受集度为q的满布均布荷载作用。的满布均布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩
15、图。试作梁的剪力图和弯矩图。解：解：1 1、以自由端为坐标原点，则可不求反力、以自由端为坐标原点，则可不求反力列剪力方程和弯矩方程：列剪力方程和弯矩方程： lxqxxF0S lxqxxqxxM0222AxFS(x)M(x)LqABx2、 作剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图 qxxFS 22qxxMqlFmax,S22maxqlMsFx( (- -) )xM(-)LqAB在梁的自由端点处，如果没有集中力偶的作用，则端点弯矩为零；在梁的自由端点处，如果没有集中力偶的作用，则端点弯矩为零；如果没有集中力作用，则剪力为零。如果没有集中力作用，则剪力为零。固定端处剪力和固定端处剪力和弯矩分布等于约弯矩分布
16、等于约束反力和约束力束反力和约束力偶矩。偶矩。例例2: 图示简支梁受集度为图示简支梁受集度为q的满布荷载作用。的满布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。试作梁的剪力图和弯矩图。解：解：1 1、求支反力、求支反力2qlFFBA2 2、列剪力方程和弯矩方程、列剪力方程和弯矩方程 qxqlqxFxFA2S 2222qxqlxxqxxFxMAxFBFABlAqFAM(x)FS(x)xAqql 2FS BlAq3 3、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图2max,SqlF82maxqlM 222qxqlxxM qxqlxF2Sql28l/2M * 载荷对称、结构对称则剪力图反对称，弯矩图对称* 剪力为零的截面弯矩有极值（极大或者极小）。在梁的铰支座上，剪力等于该支座的约束反力！如果在端点的铰支座上没有集中力偶作用，则铰支座上弯矩等于零！(留意后面的集中力和集中力偶的例题)ql 2FS BlAqql28l/2M 例例3: 图示简支梁受集中荷载图示简支梁受集中荷载F作用。作用。试作梁的剪力图和弯矩图。试作梁的剪力图和弯矩图。解：解：1 1、求支反力、求支反力lFbFAlFaFB2 2、列剪力方程和弯矩方
