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1、11. 刚体运动学刚体运动学1.1 1.1 刚体的平动和转动刚体的平动和转动(1)(1) 刚体、刚体的平动刚体、刚体的平动刚体：无论在多大的外力作用下，总是保持其形状、大小刚体：无论在多大的外力作用下，总是保持其形状、大小不变，理想化的模型。不变，理想化的模型。(2)(2) 刚体的平动刚体的平动刚体内任何一条给定的直线刚体内任何一条给定的直线, ,在运在运动中始终保持它的方向不变。动中始终保持它的方向不变。 各质点具有相同的速度和各质点具有相同的速度和加速度，所以刚体平动时任何加速度，所以刚体平动时任何一点的运动都可代表整个刚体一点的运动都可代表整个刚体的运动。的运动。刚体的平动时可看成质点。
2、刚体的平动时可看成质点。2(3)(3)刚体的转动刚体的转动刚体中各点都绕同一直线刚体中各点都绕同一直线( (转轴转轴) )作圆周运动作圆周运动. .转轴固定不动转轴固定不动, ,称为定轴转动称为定轴转动. .P为刚体上一质点，在转动平面为刚体上一质点，在转动平面内绕内绕0点作圆周运动。点作圆周运动。转轴转轴参考方向参考方向0 d PdtKd 转动平面：转动平面：任取一垂直于转轴的平面任取一垂直于转轴的平面(4)(4)转动运动学的物理量转动运动学的物理量 .,d角加速度角速度具有角位移再任取一点再任取一点K，在同一个，在同一个dt内，内，也转过同样的也转过同样的d 角。角。，因为：ttdddd所
3、以：刚体中任何其它质点都具有相同的所以：刚体中任何其它质点都具有相同的 ， ， 3即即( ， ， ) )三量具有普遍性。知一点三量具有普遍性。知一点的的( ， ， )，可知整个刚体的运动。，可知整个刚体的运动。故用故用( ( , , , , ）描写刚体的转动。描写刚体的转动。所以：定轴转动刚体中任何其它质点所以：定轴转动刚体中任何其它质点都具有相同的都具有相同的 ， ， 40转轴转轴Pvr确定。的方向由右手螺旋定则 之间的矢量关系：与vrv）（圆周运动：rv1.2 角速度矢量角速度矢量5),s(rad21：单位kjikjikr68)54(32v例：一刚体以每分钟例：一刚体以每分钟60转绕转绕z
4、轴做匀速运动轴做匀速运动, ( 沿沿z轴正方向轴正方向)，设某时刻刚体上一点设某时刻刚体上一点P 的位置矢量为：的位置矢量为：（单位为（单位为“10-2m”），若以），若以“10-2m s-1”为单位，则该时刻为单位，则该时刻P点点的速度为：的速度为：kjir543解：解：ijikj86543200还可解行列式还可解行列式6(1)(1)求角加速度求角加速度 和飞轮从制动开始到静止所转过的转数和飞轮从制动开始到静止所转过的转数N；(2)(2)求制动开始后求制动开始后t = 25s 时飞轮的角速度时飞轮的角速度 ； 0rO解解(1)(1)初角速度为初角速度为 0 0 =21500/60=50 ra
5、d/s，方向如图方向如图刚体运动学刚体运动学综合例题综合例题: : 一飞轮转速一飞轮转速n =1500r/min，受到制动后均匀，受到制动后均匀地减速，经地减速，经t =50 s后静止。后静止。220srad14. 3srad5050t从开始制动到静止，飞轮的角位移从开始制动到静止，飞轮的角位移 及转数及转数N分别为分别为20021ttrad125050215050转 625212502N对于对于匀变速转动匀变速转动，应用，应用以角量表示的运动方程以角量表示的运动方程，在在t=50s 时刻时刻 =0=0，代入方程，代入方程 = = 0+ t 得得 (2)(2)t=25=25s 时飞轮的角速度为
6、时飞轮的角速度为)s(rad5 .7825255010t 的方向与的方向与 0 0相同；相同；7对轴的角动量和对轴的力矩对轴的角动量和对轴的力矩, , 矢量代数的一般处理方式：矢量代数的一般处理方式：在具体的坐标系中，角动量（或在具体的坐标系中，角动量（或力矩）在各坐标轴的分量，就叫力矩）在各坐标轴的分量，就叫对轴对轴的角动量（或力矩）。的角动量（或力矩）。讨论讨论kLjLiLPrLzyxLz ：质点对：质点对z轴的角动量轴的角动量kMjMiMFrMzyxMz ：质点对：质点对z 轴的力矩轴的力矩P63)()(kFjFiFkzj yi xFrMzyxkyFxFjxFzFizFyFxyzxyz)
7、()()()(xyzyFxFM8o转动平面转动平面轴FFrkMz求力对求力对z 轴的力矩轴的力矩Mz的的( (教材教材) )简化步骤：简化步骤：结论：结论：z轴转动平面内的分量的运算就是对轴转动平面内的分量的运算就是对z轴的力矩轴的力矩第第2步，认定位矢和力在转动平面内的分量步，认定位矢和力在转动平面内的分量,第第3步，算出力对步，算出力对z轴的力矩轴的力矩.轴r第第1步，通过质点画步，通过质点画z轴轴转动平面转动平面（过质点垂直转轴的平面，即（过质点垂直转轴的平面，即过质点的过质点的xy平面）平面）Fz转轴转轴or)()(jFiFj yi xFryxkyFxFxy)()(xyzyFxFM92
8、.12.1力对转轴的力矩力对转轴的力矩. .(1)(1)外力在垂直于转轴的平面内。外力在垂直于转轴的平面内。的作用点。力FpFrM,方向sinrFM ，大小方向如果：如果：加速转动。同向)( ,M阻力矩。反向）减速( ,M2 2 转动定理转动定理 转动惯量转动惯量（刚体动力学）（刚体动力学）0rMFp 100(2) (2) 外力不在垂直于转轴的平面内外力不在垂直于转轴的平面内FPr1F2F在转动平面内。与转轴平行，21FF（有效力矩）。，对转动无贡献，仅考虑221FrMFF。和分解成将21FFFP63 结论：结论：z轴转动平面内的分量轴转动平面内的分量的运算就是对的运算就是对z轴的力矩。轴的力
9、矩。o转动平面转动平面轴F轴rFz转轴转轴orFrkMz对转动无贡献。、 ,1 MF112.2 转动定理转动定理）：运动方程（按牛顿定律写出法、切向质点现对imP2coscosrmamfFiiiniiiiiiiiiiiiirmamfFsinsinir式两边乘以将第22sinsiniiiiiiiirmrfrF质点求和：对刚体中所有i2iiiiiiiiiirmrfrF)(sinsin合外力矩合外力矩M合内力矩合内力矩=0=0转动惯量IOiriFifi i)(imP )(imP 取质点、受外力iF，内力if都在转动平面内。并设iif、F12i2iiiiiiiiiirmrfrF)(sinsin合外力矩
10、合外力矩M合内力矩合内力矩=0转动惯量IM=I 转动定理转动定理22ddddtt2iiisinsiniiiiirmrfrF定轴转动定理（律）在转动问题中的地位定轴转动定理（律）在转动问题中的地位相当于平动时的牛顿第二定律相当于平动时的牛顿第二定律13例例:几个力同时作用在一个具有光滑固定转轴的刚体上，几个力同时作用在一个具有光滑固定转轴的刚体上，如果这几个力的矢量和为零，则此刚体如果这几个力的矢量和为零，则此刚体 (A) 必然不会转动必然不会转动 (B) 转速必然不变转速必然不变 (C) 转速必然改变转速必然改变 (D) 转速可能不变，也可能改变转速可能不变，也可能改变 答案：答案：( )D参
11、考解答：参考解答：在应用转动定律在应用转动定律M=I 时应注意时应注意M是是合外力矩合外力矩，是外力是外力力矩之和，而不是合外力的力矩。力矩之和，而不是合外力的力矩。几个力的矢量和为零，有合外力几个力的矢量和为零，有合外力矩也为零或不为零的两种情况，所以定轴转动的刚体其转速可能不矩也为零或不为零的两种情况，所以定轴转动的刚体其转速可能不变，也可能改变。变，也可能改变。例例:一个有固定轴的刚体，受到两个力的作用。当这两个力的合力为零时，一个有固定轴的刚体，受到两个力的作用。当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定为零吗？举例说明之。它们对轴的合力矩也一定为零吗？举例说明之。答答: 并不是一
12、定为零。并不是一定为零。 如汽车的方向盘可绕垂直于转盘且过盘中心的定轴转动。当驾驶员用如汽车的方向盘可绕垂直于转盘且过盘中心的定轴转动。当驾驶员用两手操纵方向盘时，就可在盘的左右两侧加上方向相反、大小相等的两个两手操纵方向盘时，就可在盘的左右两侧加上方向相反、大小相等的两个力。对转盘而言，合外力为零，但这两个力的力矩大小相等，方向一致，力。对转盘而言，合外力为零，但这两个力的力矩大小相等，方向一致，故合力矩不为零。故合力矩不为零。讨论讨论14mrId2dm质元的质量质元的质量r 质元到转轴的距离质元到转轴的距离刚体的质量可认为是连续分布的，所以上式可写成刚体的质量可认为是连续分布的，所以上式可
13、写成积分形式积分形式按转动惯量的定义有按转动惯量的定义有iimrI22.3 转动惯量的计算转动惯量的计算转动惯量是转动中惯性大小的量度转动惯量是转动中惯性大小的量度。质量是平动中惯性大小的量度。质量是平动中惯性大小的量度。类比类比：平动：一维直线运动平动：一维直线运动 转动：定轴转动转动：定轴转动 22ddddtxmtmmaFv22ddddtItIIM15注意：注意：转动惯量转动惯量与质量有关，与运动速度无关。与质量有关，与运动速度无关。质量一定时质量一定时, ,与质量的分布有关，并且与转轴的位置有关。与质量的分布有关，并且与转轴的位置有关。转动惯量计算：转动惯量计算：,rmIiii2例：例：
14、mmmdddA0三个质点三个质点m组成一个正三角形组成一个正三角形刚体结构。刚体结构。求求IA 、I0 。222A2mdmdmdI叠加原理叠加原理).3(，320damaI与转轴的位置有关。与转轴的位置有关。16(2) (2) 转轴过顶端转轴过顶端, ,与棒垂直与棒垂直x取取dx：222231ddmlxxlmmxIl0得：转动惯量与转轴转动惯量与转轴的位置有关的位置有关0例：细棒质量例：细棒质量m,均匀分布均匀分布,长长l(1) (1) 转轴过中心转轴过中心, ,与棒垂直与棒垂直. .x0dxx取取dx：xlmmdd222221121ddmlxlxmxImll得：质量连续分布：质量连续分布：m
15、rId2dxx17平行轴定理：平行轴定理：222131121mlImlI、21221lmII2mdIIcd 两平行轴之间的距离。两平行轴之间的距离。122l例：均匀薄圆盘，转轴过中心与盘面垂直，求例：均匀薄圆盘，转轴过中心与盘面垂直，求I0 。m，Rr0rdr取半径为取半径为r，宽为宽为dr的圆环的圆环rrmsmRddd22rrmrmrIRR02dd2220221Rm质心质心 C18).21(2mRI 1m2m（ m2 m1 ）gm2T2)1(2222)(：amTgmmaT1m1g)2( )(1111amgmTm ：?21TT ,方向为正方向对滑轮：取 22TT 11TT a ）（321122
16、mRRTRT,TT0,21个方程。个未知数，共34 )(21,Ta,T又，绳与轮间无滑动，滑轮边缘的切向又，绳与轮间无滑动，滑轮边缘的切向加速度加速度R , ,和物体的加速度相等和物体的加速度相等. .）（4aRIM 由例：如图所示例：如图所示, ,滑轮质量滑轮质量m,半径半径R ( (注意注意: :在中学里在中学里一般滑轮质量一般滑轮质量略去不计略去不计）求：物体的加速度和绳的张力。求：物体的加速度和绳的张力。19例例: : 一半径为一半径为R，质量为，质量为m匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为面上。设盘与桌面间摩擦系数为 ，令圆盘最初以角速度，令圆盘最初以角速度 0 0 绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它经过多少时间才停止绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？转动？解：由于摩擦力不是集中作用于解：由于摩擦力不是集中作用于某某一点，而是分布在整个圆盘与一点，而是分布在整个圆盘与桌子的接触面上，其力矩的计算桌子的接触面上，其力矩的计算要用要用积分法积分法。dddrrS errSeVdddd质元质元圆盘所受阻力矩圆盘所
