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1、大学物理第二节 平面谐波的波动方程1、什么叫谐波？波源和媒质的振动都是谐振动。2、什么叫波动方程？描写任意时刻任意质点（质元）振动状态的函数方程叫波动方程，也叫波函数。3、平面谐波的波动方程：xyuxx0写平面谐波的波动方程的关键是利用波的特点。即在波传播方向上振动依次落后。设已知x0处质点的振动。)cos(0tAy则任意一点x处的时间落后为：uxxt0大学物理其相位落后为：uxxt0)(cos0uxxtAy则任意一点x处的振动方程，即波动方程为：)(cos, 0, 00uxtAyx则有：若：根据波动物理量之间的关系，波动方程还可以表示为：)(2cosxTtAy大学物理4、波动方程的几点讨论：
2、I、波沿x轴负向传播时，波动方程为：)(2cosxTtAyII、波动方程中，x取固定值则得到振动方程。)(2cos00 xTtAyIII、波动方程中，t取固定值则得到波形方程。)(2cos0 xTtAyty0 xyu0大学物理例 2 频率为kHz5 .12的平面余弦纵波沿细长的金属棒传播，棒的杨氏模量为211N/m109 . 1Y，棒的密度33kg/m106 . 7，如以棒上某点取为坐标原点，已知原点处质点振动的振幅为 A=0.1mm，试求：(1) 原点处质点的振动表式，(2) 波动表式，(3) 离原点 10cm 处质点的振动表式，(4) 离原点 20cm 和 30cm 两点处质点振动的相位差
3、，(5) 在原点振动 0.0021s 时的波形。 解 棒 中 的 波 速 m/s100.5mkg106.7mN109.1333211Yu 波 长m40.0mkg105.12sm100.53313u 周 期s10815T (1) 原 点 处 质 点 的 振 动 表 式 可 写 成 m1025cos100.1m)105.122cos(101.0cos33330tttAy 大学物理(2) 波 动 表 式 为 m)105(1025cos101.0)(cos333xtuxtAy 式 中 x 以 m 计 ， t 以 s 计 。 (3) 离 原 点 10cm 处 质 点 的 振 动 表 式 为 m)2102
4、5cos(100.1m)1051(1025cos101.033433tty 可 见 此 点 的 振 动 相 位 比 原 点 落 后 ， 相 位 差 为2， 或 落 后T41， 即s1025。 (4) 该 两 点 间 的 距 离410.10mcm10 x， 相 应 的 相 位 差 为 2 (5) t=0.0021s 时 的 波 形 为 m5sin100.1m)52cos(100.1m)55.52cos(100.1m)1050021.0(1025cos101.0333333xxxxy 其 中 以 x 以 m 计 。 大学物理例题3 有一平面简谐波沿Ox轴正方向传播，已知振幅为1m,周期为2s,波长
5、为2m.在t=0时,坐标原点处的质点位于平衡位置沿y轴正向运动.求(1)波动方程;(2)1s时波形方程并作图;(3)0.5m处的质点振动方程.xyu120解: (1)按题设条件,取波动方程形式如下:)(2cosxTtAy根据已知条件,初相为:22/)(cos1xty大学物理(2)按题设条件,t=1s时的波形方程为:xxysin2/)1 (cos1xyu120(3)按题设条件,x=0.5m处的质点振动方程为:)cos(2/)5 . 0(cos1tty大学物理例题4 在x=0处有一个波源,振动初相为0,向x轴正向发出谐波,波长为4m,振幅为0.01m,频率为50赫兹.现在x=10m处有一个反射装置
6、，将波反射.试求，反射波的波动方程.010 xx解 在x轴上任意x处取一点来讨论,波反射后到达x处的相位落后为:xx281022根据已知条件,x=0处的振动为:ty100cos01. 00所以波动方程为：)2/100cos(01. 0)2/8100cos(01. 0)100cos(01. 0 xtxtty特别注意半波损失-大学物理例题5 一列沿x轴负向传播的谐波,波长为4m,振幅为0.01m,频率为50赫兹,在x=0处的引起振动的初相为0.现在x=6m处有一个反射装置，将波反射.试求，反射波的波动方程.xyu06解 入射波在x=6m处引起振动的初相和振动方程分别为:362反射波反射到x处，引起的振动与入射波在x=6处引起的振动的相位差为:)3100cos(01. 06ty3262xx大学物理所以波动方程为：)2/100cos(01. 0)2/6100cos(01. 0)3100cos(01. 0 xtxtty特别注意半波损失-大学物理5 球面波的波动方程r0)cos(00tAyr)(cos000urrtrrAy球面波的波动方程为:rrA00振幅变小了.urr0振动时间落后.2cos:000rrtrrAy或02rr 振动相位落后
