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1、第一章第一章质点的运动质点的运动第一篇力第一篇力 学学经典（牛顿）力学研究在弱力场中宏观物体的经典（牛顿）力学研究在弱力场中宏观物体的低速运动。低速运动。 力学力学（mechanics)的研究对象是的研究对象是机械运动机械运动-物物体之间（或内部各部分之间）的相对位置变动。体之间（或内部各部分之间）的相对位置变动。运动学运动学（kinematics)-描述运动描述运动动力学动力学（dynamics)-研究物体的运动与物体研究物体的运动与物体 间相互作用的内在联系间相互作用的内在联系静力学静力学（statics)-研究物体在相互作用下研究物体在相互作用下 的平衡问题的平衡问题力力学学第一节第一节
2、 质点质点 运动方程运动方程第一章质点的运动第一章质点的运动第一节质点运动方程第一节质点运动方程一、质点一、质点 Partical 几何线度趋于无限小的物体。几何线度趋于无限小的物体。 任何物体可看成一大群质点的集合任何物体可看成一大群质点的集合 。 可以将物体简化为质点的两种情况：可以将物体简化为质点的两种情况： 、物体不变形，不作转动时（即物体、物体不变形，不作转动时（即物体只作平动，此时物体上各点的速度及加速只作平动，此时物体上各点的速度及加速度都相同，物体上任一点可以代表所有点度都相同，物体上任一点可以代表所有点的运动）。的运动）。 、物体本身线度和它活动范围相比小得很、物体本身线度和
3、它活动范围相比小得很多（此时物体的变形及转动显得并不重要）多（此时物体的变形及转动显得并不重要） 二、参考系和坐标系二、参考系和坐标系、参考系、参考系 Frame of reference用以描写物体运动所选用的另一物体。用以描写物体运动所选用的另一物体。日心系日心系ZXY地心系地心系o地面系地面系、坐标系、坐标系 Coordinate system 固定在参考系上以确定物体相对于参固定在参考系上以确定物体相对于参考系的位置。考系的位置。常用的坐标系：常用的坐标系：直角坐标系、自然坐标系直角坐标系、自然坐标系 三、时间和空间三、时间和空间 、时间、时间 Time ：牛顿的绝对时间观：牛顿的绝对
4、时间观 、空间、空间 Space ：欧几里德空间：欧几里德空间四、运动方程四、运动方程、位置矢量（位矢）、位置矢量（位矢） Position vecter 用以确定质点位置的矢量用以确定质点位置的矢量 r= rk kr=x i+ y jz222=xyz+coscoscoscoscoscos=rrrxzyak kri ij jPxyzOa 分量形式：分量形式：x = x(t), y = y(t), z = z(t).、轨道方程：坐标、轨道方程：坐标 x,y,z 之间的关系式之间的关系式 运动方程是轨道的参数方程，消去运动方程是轨道的参数方程，消去 t 可可 得轨道方程得轨道方程k kr (t )
5、=x(t) i+y(t ) jz(t )、运动方程：质点位矢随时间的变化、运动方程：质点位矢随时间的变化 矢量形式：矢量形式： 轨道方程轨道方程 x2 + y2 = 9 : 圆柱面圆柱面 z = 0 : Oxy平面平面 轨道是两者交线轨道是两者交线, 为圆为圆, 运动是圆周运动运动是圆周运动例例1-1 运动方程运动方程 分量式分量式: x = 3sin5t y = 3cos5t z = 0 矢量式矢量式: r(t) = 3sin5t i+3cos5t j +0 k 第二节第二节位位 移移 速速 度度加加 速速 度度第二节第二节 位移、速度、加速度位移、速度、加速度为了描述物体的运动状态，物理学
6、家引为了描述物体的运动状态，物理学家引入了入了位移、速度位移、速度和和加速度加速度等概念。通过这些等概念。通过这些概念的建立要加深对运动的概念的建立要加深对运动的相对性相对性、瞬时性瞬时性矢量性矢量性和和迭加性迭加性等等基本性质基本性质的认识。的认识。 附注附注： 如何描述物体的运动状态是如何描述物体的运动状态是运动学运动学问问 题。而从物体的相互作用出发，研究物体运题。而从物体的相互作用出发，研究物体运 动状态的变化和周围物体对它所施作用力之动状态的变化和周围物体对它所施作用力之 间的关系是间的关系是动力学动力学问题。问题。一、一、位移和路程位移和路程 r = r (t+ t)r(t)在直角
7、坐标系中在直角坐标系中: : r = x i+ y j+ z kr(t)xzyr(t+t)t)ABsor、位移、位移 DisplacementDisplacement 设在时刻设在时刻 t 质点在质点在A处，它的位矢为处，它的位矢为r(t)，经过，经过t时间该质点在时间该质点在B处，此时位矢为处，此时位矢为r(t+t)，则质点在，则质点在t时间内位时间内位置矢量的变化量置矢量的变化量r 称为质点称为质点的位移矢量、简称位移。的位移矢量、简称位移。问题：问题：rr=？、路程、路程 DistanceDistance 图中所示曲线图中所示曲线 AB 的的 长度称为质点经过的路长度称为质点经过的路 程
8、程 s，它是标量。在，它是标量。在 SI 中位移和路程的单中位移和路程的单 位都为米位都为米 ( m )。r(t)xzyr(t+t)t)ABsor 二、速度和速率二、速度和速率、平均速度、平均速度 AverageAverage velocityvelocity平均速度平均速度 v = r/ / t = r(t + t)r(t)/ t = = x / t i+ y/ t j+ z/ t k = vx i + vy j + vz k 因为因为 t 是标量，故平均速度是标量，故平均速度 v 的方的方向与向与 r 的方向相同。的方向相同。平均速度的大小：平均速度的大小： | v | = ( vx2 +
9、 vy2 + vz2 )1/2 平均速度的方向和位移平均速度的方向和位移 r的方向相同，大小等于的方向相同，大小等于在这段时间在这段时间 t 内每单位时间完成的位移。内每单位时间完成的位移。 、速度、速度 VelocityVelocity 瞬时速度、简称速度：瞬时速度、简称速度： v = lim t0 r/ / t = dr/ /dt 速度方向为所在点轨迹的切线方向，并速度方向为所在点轨迹的切线方向，并指向质点前进的一方指向质点前进的一方 在直角坐标系中在直角坐标系中 v = dx/dt i + dy/dt j + dz/dt k 速度分量速度分量 vx = dx/dt , vy = dy/d
10、t , vz = dz/dt 速度的大小：速度的大小： | v | = ( vx2 + vy2 + vz2 )1/2 、速率速率 SpeedSpeed 平均速率：平均速率：v v = = s / t 速率：速率：v = limv = lim t0 s / t = ds/dt = ds/dt 平均速率和速率是标量，而平均速度和平均速率和速率是标量，而平均速度和速度是矢量，它们是两个不同的概念。速度是矢量，它们是两个不同的概念。 但在但在 t 趋于趋于 0 极限情况下，因路程极限情况下，因路程 s 和位移大小和位移大小| r| 相等，所以速度的大相等，所以速度的大小和速率相等，即小和速率相等，即
11、v =lim t0 s s / t = lim t0 | r| / t =| v | 通常：通常：v 不等于不等于| r| / t ,也即不等于也即不等于 | v |在在SI中，速度和速率的单位均为米中，速度和速率的单位均为米/秒秒(m/s). . 例例1-2 1-2 质点沿半径为质点沿半径为 R R 的圆周作匀速率运的圆周作匀速率运动，每动，每 t t 秒转一圈，求在秒转一圈，求在 2t 2t 时间间隔时间间隔中，其平均速度的大小与平均速率。中，其平均速度的大小与平均速率。解：解： 因质点在因质点在 t =2t 2t 间隔中转了二圈，间隔中转了二圈， 路程路程 s = 4R， 位移位移 r
12、= 0 ，所以，所以 | v | = = | r / t | = 0 v = s / t = 4R / 2t = 2R / t 三、三、加速度加速度 AccelerationAcceleration1.1.平均加速度平均加速度: :a = v/ t =(v(t+ t)-v(t)/ t 它是平行于它是平行于 v的矢量。的矢量。2.2.加速度加速度: :a=lim t0 v/ / t=dv/ /dt= d2 2r/ /dt2 2 加速度与速度的瞬时变化的方向相同。加速度与速度的瞬时变化的方向相同。由于速度是顺轨迹曲线弯曲的方向而改变由于速度是顺轨迹曲线弯曲的方向而改变的，故加速度永远指向曲线凹的方
13、向的，故加速度永远指向曲线凹的方向. .在直角坐标中在直角坐标中: :a a=d=dvx/d/dt i+ d dvy/d/dt j+ d dvz/d/dt k = a ax x i+ a ay y j+ a az z k 加速度的大小：加速度的大小：a = a = |a a| =(a(ax x2 2 + a+ ay y2 2 +a +az z2 2 ) )1/21/2 在在SI中加速度的单位为米中加速度的单位为米/秒秒2 2 ( m/s2 2 ) 例例1-3 1-3 有一质点沿有一质点沿x x轴作直线运动，运动方轴作直线运动，运动方 程为程为 x(t) =4.5tx(t) =4.5t2 2 2
14、t2t3 3 (m)(m)，试求，试求: : (1) (1)第第2 2秒内的平均速度秒内的平均速度 v v， (2)(2)第第2 2秒末的速度秒末的速度 v v， (3)(3)第第2 2秒内经过的路程秒内经过的路程 s s 及平均速率及平均速率 v v， (4)(4)第第2 2秒末的加速度秒末的加速度 a a 。解解:(1) :(1) 矢量式：矢量式：r r(t)=x(t)(t)=x(t)i i=(4.5t=(4.5t2 2-2t-2t3 3) )i i v vx x = = x/x/ t = x(2)t = x(2)x(1)/(2-1)x(1)/(2-1) =(4.5=(4.52 22 22
15、 22 23 3) )(4.5(4.52)=2)=0.5m/s 0.5m/s v v = - 0.5 = - 0.5 i i m /s m /s (2)(2)第第2 2秒末的速度秒末的速度 v v， v vx x = dx/dt= dx/dt ( (要先求导再代数值要先求导再代数值 !) = 9t = 9t6t6t2 2t=2t=2 = 9 = 92 26 62 22 2 = =6 m/s6 m/s v v = =6 6 i i m/s m/s(3)第第2 2秒内经过的路程秒内经过的路程 s s 及平均速率及平均速率 v v x(t)=4.5t2-2t3 第二秒内第二秒内位移位移:x=x(2)
16、 - x(1)= - 0.5 m 但但路程路程不能不能这样求这样求，当质点在直线上来回运动时，当质点在直线上来回运动时，必须先求出质点反向时的时刻，即必须先求出质点反向时的时刻，即 vx x = 0 的的时刻，这样时刻，这样分段考虑才能正确求得一段时间内质点经过的分段考虑才能正确求得一段时间内质点经过的路程路程。根据根据 vx x = 9t6t2 2 = 0，可求出，可求出 t1 1 = 0 或或 t2 2 = 1.5 s s由此可求得质点在第由此可求得质点在第2秒内经过的秒内经过的路程路程为：为： s = | x(1.5)x(1)| + | x(2.0)x(1.5) | = 2.25 (m)平均速率为平均速率为: :v = s/ t = 2.25 /1 = 2.25 (m/s) (4)第第2 2秒末的加速度秒末的加速度 a a 加速度加速度 ax = dvx/dt ( (要先求导再代数值要先求导再代数值 !) = 912t |t=2 = 9122 = -15 = -15 ( m/s2 2 ) a a = -15 = -15 i i ( m/s2 2 ) 因为此时加速度因为此时加速度与
