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1、第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽3.2 无阻尼自由振动实例无阻尼自由振动实例mgook以挂上以挂上m后新平衡位置为坐标后新平衡位置为坐标原点原点O,向下为正方向向下为正方向3.2.1 竖直弹簧振子竖直弹簧振子在在x处处22)(dtxdmmaxookmg化简得化简得022xmkdtxd满足简谐振动的动力学方程满足简谐振动的动力学方程O O x x m m x 在在o x 系中，微分方程为：系中，微分方程为：gxmkdtxd22第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽3.2.2 单摆单摆则在角位
2、移很小的时候，单摆的振则在角位移很小的时候，单摆的振动是简谐振动。角频率动是简谐振动。角频率,振动的周振动的周期分别为：期分别为：glTlg2200022lgdtd当当 时时sinsin222mgldtdmlgmflm+-第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽22sindtdJJmghJ为为m绕绕O点转动的转动惯量。点转动的转动惯量。3.2.3 复摆（物理摆）复摆（物理摆）Compound pendulum （Physics Pendulum）可见，复摆的运动也满足谐振动可见，复摆的运动也满足谐振动方程。且其圆频率与周期为方程。且其圆频率与周期
3、为 COmghOC mghJT2Jmgh0022Jmghdtd当当 时时sin第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽将弹簧振子放在斜面上振动将弹簧振子放在斜面上振动,其频率是否变化其频率是否变化?将单摆放在月球上摆动将单摆放在月球上摆动,其频率是否变化其频率是否变化?第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽简谐振动的判断式简谐振动的判断式平动平动 转动转动BMkxF合合2222dtdJJMdtxdmmaF合合00222222dtdxdtxdJBmk22)cos()cos(00ttAx第三章第三章
4、机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽例例1 倔强系数分别为倔强系数分别为k1、k2的两根弹簧的两根弹簧 和质量为和质量为m的物体相连（如图），求该系统的振动周期。的物体相连（如图），求该系统的振动周期。 k1 m k2 x1 x2第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽解：解： 设在平衡状态下，两弹簧的伸长量分别设在平衡状态下，两弹簧的伸长量分别 为为x1和和x2，则则 k1x1=k2x2 。 以平衡位置为原点，向右为以平衡位置为原点，向右为x轴正方向，得轴正方向，得 k1 m k2 x1 x x2 x O2
5、22211)()(dtxdmmaxxkxxk第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽化简得化简得02122xmkkdtxd则该系统的固有角频率为则该系统的固有角频率为mkk210振动周期为振动周期为21022kkmT第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽讨论：讨论：（1）弹簧的串联）弹簧的串联the springs in series connection k1k2Oxx设振子的位移为设振子的位移为x ,k1伸长为伸长为l1 ,k2伸长为伸长为l2 ,则则21llxFFFF21等等效效而而2211
6、kFlkFlkFx等等效效所所以以21111kkk等等效效即即：第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽（2）弹簧的并联）弹簧的并联the springs in parallel connectionk1k2Oxx21llx21FFF等等效效而而222111lkFlkFxkF等等效效所所以以21kkk等等效效即即：如：如：第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽3.3 简谐振动的能量简谐振动的能量)(sin21212222ktAmmEv)(cos2121222ptkAkxE线性回复力是线性回复力是保
7、守力保守力，作，作简谐简谐运动的系统运动的系统机械能守恒机械能守恒 以弹簧振子为例以弹簧振子为例)sin()cos(tAtAxvkxF22pk21AkAEEEmk /2（振幅的动力学意义）（振幅的动力学意义）第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽简简 谐谐 运运 动动 能能 量量 图图txtv221kAE 0tAxcostAsinvv, xtoT4T2T43T能量能量oTttkAE22pcos21tAmE222ksin21第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽能量守恒能量守恒简谐运动方程简谐运动
8、方程推导推导常量222121kxmEv0)2121(dd22kxmtv0ddddtxkxtmvv0dd22xmktx第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽3.4 简谐振动的合成简谐振动的合成Superposition of Simple Harmonic Motion 若某一质点同时参加了两个简谐振动，且二振动方若某一质点同时参加了两个简谐振动，且二振动方向沿同一直线，且具有相同频率，振幅和初相位分向沿同一直线，且具有相同频率，振幅和初相位分别为别为A1、A2、 1、 2，则二振动方程为则二振动方程为3.4.1 同方向、同频率的简谐振动的合成同
9、方向、同频率的简谐振动的合成same direction and same frequency )cos()(111tAtx)cos()(222tAtx第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽11A1xx021xxx22112211coscossinsintanAAAA)cos(212212221AAAAA)cos(tAx)cos(111tAx)cos(222tAxAx2x2A2两个两个同同方向方向同同频频率简谐运动率简谐运动合成合成后仍为后仍为简谐简谐运动运动1、旋转矢量法、旋转矢量法Method of reference circle第三章第
10、三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽tAtAtAtxsinsincoscos)cos()(1111111tAtAtAtxsinsincoscos)cos()(2222222）（tAtAtAtAAtAAtxtxtxcossinsincoscossin)sinsin(cos)coscos()()()(2211221121合运动方程合运动方程2、解析法、解析法Analytical method第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽)cos(212212221AAAAA式中：式中：22112211coscos
11、sinsinAAAAtg第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽xxtoo212k)cos()(21tAAxA21AAA1A2AT1 1）相位差相位差212k), 2 1 0( ，k)cos(212212221AAAAA 讨论讨论第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽xxtoo21AAA2)cos()(12tAAx)cos(212212221AAAAAT2A21AA2 2）相位差相位差) 12(12k) , 1 0( ，ktAxcos11)cos(22tAx第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动
12、的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽3 3）一般情况一般情况2121AAAAA21AAA2 2）相位差相位差1 1）相位差相位差21AAA212k)10( ， k相互加强相互加强相互削弱相互削弱) 12(12k)10( ， k第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽11Axo二二 多个同方向同频率简谐运动多个同方向同频率简谐运动的的合成合成2A23A3)cos(tAxnxxxx21)cos(111tAx)cos(222tAx)cos(nnntAxA多多个个同同方向方向同同频率简谐运动频率简谐运动合成合成仍为仍为简谐简谐运动运动第三章第
13、三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽1A2A3A4Axo5A0NAAAiiAtAxcos01)cos(02tAx) 1(cos0NtAxN)2cos(03tAx1A2A3A4AxO5A6A0A),2, 1,(kkNk2 2） 2kN1 1）2 k),2, 1,0(k 个矢量依次相接构个矢量依次相接构成一个成一个闭合闭合的多边形的多边形 . .N讨讨论论第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽 1、图中所示为两个简谐振动的振动曲线若以余弦函数图中所示为两个简谐振动的振动曲线若以余弦函数表示这两个振动的合成
14、结果，则合振动的方程为表示这两个振动的合成结果，则合振动的方程为21xxx_(SI) x (m) t (s) O x1 x2 1 2 0.08 -0.04 )21cos(04. 0t第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽 2、两个同方向的简谐振动，周期相同，振幅分别为、两个同方向的简谐振动，周期相同，振幅分别为A1 = 0.05 m和和A2 = 0.07 m，它们合成为一个振幅为，它们合成为一个振幅为A = 0.09 m的简谐振动则这两个分振动的相位差的简谐振动则这两个分振动的相位差为为_rad 1.47 21103、两个同方向同频率的简谐振动
15、，其合振动的振幅为、两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20 cm，与第一个简谐振动的相位差为，与第一个简谐振动的相位差为f f f f1 = /6若第若第一个简谐振动的振幅为一个简谐振动的振幅为 cm，则第二个简谐振动的，则第二个简谐振动的振幅为振幅为_ cm，第一、二两个简谐振动的，第一、二两个简谐振动的相位差相位差f1 - f2为为_ 310第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽 频率频率较大较大而频率之而频率之差很小差很小的两个的两个同方向同方向简谐运动的简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫合成，其合振动的振幅
16、时而加强时而减弱的现象叫拍拍. . 3.4.2 同方向不同频率简谐振动的合成同方向不同频率简谐振动的合成the same direction but different frequencies第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽合振动频率合振动频率Frequency * 振幅部分振幅部分Amplitude tAtAxxx2010212cos2cos21AA 2112讨论讨论 , , 的情况的情况 ttAx22cos)22cos2(12120tAtAx111112coscostAtAx222222coscos21xxx 方法一方法一第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽2212T121TtAA22cos2120122)(210max2AA0minA合振动频率合振动频率振幅部分振幅部分ttAx22cos)22cos2(12120振幅振幅 振动频率振动频率拍频拍频（振幅变化的频率）（振幅变化的频率）第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽xoc
