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1、振动是一种普遍的运动形式。如：振动是一种普遍的运动形式。如：机械振动机械振动 电磁振动电磁振动 广义振动：任一物理量广义振动：任一物理量(如位移、电如位移、电 流等流等) 振动分类振动分类受迫振动受迫振动自由振动自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由非谐振动无阻尼自由非谐振动( (简谐振动简谐振动) )无阻尼自由无阻尼自由谐振动谐振动在某一数值附近反复变化。在某一数值附近反复变化。 其特点是：其特点是： (1)有平衡点；有平衡点；(2)具有重复性具有重复性(周期性周期性) 简谐振动是最简单、最基本简谐振动是最简单、最基本的振动形式，一切复杂的振动的振动形式，一切
2、复杂的振动都可由简谐振动合成。都可由简谐振动合成。4.14.1 简谐振动简谐振动1 1简谐振动简谐振动 表达式表达式 x(t)=Acos( t+ ) 特点特点 (1)等幅振动等幅振动 (2)周期振动周期振动 x(t)=x(t+T )一物理量随时间的变一物理量随时间的变化规律遵从余弦函数化规律遵从余弦函数关系，则称该物理量关系，则称该物理量作简谐振动。作简谐振动。XAA0 表达式表达式 x(t)=Acos( t+ )二二. 描述描述简谐振动简谐振动的特征量的特征量 1. 振幅振幅 A： 即最大位移：即最大位移：xA3. 周期周期T 和频率和频率 v2. 角频率角频率 （圆频率）（圆频率） （弧度
3、（弧度/秒：秒：rad/s）而而 v = 1/T /2 （Hz） T2 T2/ （s）（完成一次全振动所需的时间）（完成一次全振动所需的时间）（单位时间内完成全振动的次数）（单位时间内完成全振动的次数）4. 相位相位(1) ( t + + 0 0 )是是 t 时刻的时刻的相位相位 (2) 0 0 是是t =0时刻的相位时刻的相位 初相初相三三. 简谐振动简谐振动的描述方法的描述方法1. 解析法解析法由由 x = Acos( t+ 0 )已知表达式已知表达式 A、T、 0 已知已知A、T、 0 表达式表达式2. 曲线法曲线法0 xmx0 = 00A-Atx 0 = /2T 已知曲线已知曲线 A、
4、T、 0 已知已知 A、T、 0 曲线曲线3. 3. 旋转矢量法旋转矢量法 0 t+ 00 xxt = tt = 0 x = A cos( t + 0) 四四. 相位差相位差 =( 2 t+ 2)-( 1 t+ 1)对两对两同频率同频率的谐振动的谐振动 = 2- 1初相差初相差 同相和反相：同相和反相：当当 = 2k , ( k =0,1,2,), 两振动步调相同两振动步调相同, ,称称同相同相AA当当 = (2k+1) , ( k =0,1,2,), 两振动步调相反两振动步调相反 , 称称反相反相 。x2Tx0A1-A1A2- A2x1t反相反相tx0A1-A1A2- A2x1x2T同相同相
5、 超 前 和 落超 前 和 落后后若若 = 2- 10, 则则 x2比比x1较早达到正最大较早达到正最大, 称称 x2 比比 x1 超前超前 (或或 x1 比比 x2 落后落后)。超前、落后以超前、落后以 0 0 0a 0 0 0减速减速加速加速减速减速加速加速 AA-A- A- 2A va由由初始条件初始条件求解振幅和初位相求解振幅和初位相：设设 t =0 时，振动位移：时，振动位移：x = x0 振动速度：振动速度：v = v0）（ tcosAxcosAxo）（ tsinAvsinAvocosAxosinAvo2222222AcossinAvxoo ）（ cosAxosinAvo22222
6、22AcossinAvxoo ）（ 一质点沿一质点沿X轴作简谐振动，振幅为轴作简谐振动，振幅为1212cmcm，周期，周期为为2s2s。当。当t t=0=0时时, , 位移为位移为6 6cmcm，且向，且向X X轴正方向运动。求轴正方向运动。求1 1、振动方程；、振动方程；2 2、t t=0.5s=0.5s 时，质点的位置、速度和加时，质点的位置、速度和加速度速度；3 3、如果在某时刻质点位于、如果在某时刻质点位于x=-0.6=-0.6cmcm，且向，且向X 轴轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需的时间。负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需的时间。解：解： 设简谐振动表达式为设简谐振动表
7、达式为已知已知： A=12cm , T=2s ，x = A cos (t+ )12sTx=0.12 cos (t + )初始条件：初始条件： t = 0 时， x0 = 0.06m , v0 00.06 =0.12 cos321 cos00 sinAv0 sin3 振动方程：振动方程： ）（3120 tcos.xYX33当当t=0时时, 位移为位移为6cm，且向且向X轴正方向运动。轴正方向运动。s/m.tsin.dtdxv.t.t.t18903120505050 ）（ 2502505010303120S/m.tcos.dtdva.t.t.t ）（ 2、t=0.5s时，质点的位置、速度和加速度时
8、，质点的位置、速度和加速度振动方程：振动方程： ）（3120 tcos.x设在某一时刻设在某一时刻 t1， x = 0.06 m）（31200601 tcos.代入振动方程：代入振动方程：2131 ）（ tcos323231 或或 tstt132311yx32323、如果在某时刻质点位于、如果在某时刻质点位于x=0.6cm，且向，且向X 轴负方轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需的时间。向运动，求从该位置回到平衡位置所需的时间。振动方程：振动方程： ）（3120 tcos.xstt61123322sttt65161112YX323/2 t23、如果在某时刻质点位于、如果在某时刻质点位于x=
9、0.6cm，且向，且向X 轴负轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需的时间。方向运动，求从该位置回到平衡位置所需的时间。stt132311 两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点相等。当质点1 1在在 x1 1=A/2 =A/2 处，处，且向左运动时，另一个且向左运动时，另一个质点质点2 2在在 x2 2= -A/2 = -A/2 处，且向右运动。求这两个质点的处，且向右运动。求这两个质点的位相差。位相差。）（11 tcosAx）（12 tcosAA31t01 ）（ tsin011 ）（ tsinAv31tA A-A-Ao oA/2A/2-A
10、/2-A/2YX33322t）（22 tcosAA02）（ tsin022 ）（ tsinAv322t)()(21tt)32(3YX3232A A-A-Ao oA/2A/2-A/2-A/2例题例题3 3 一轻弹簧，一端固定，另一端连一定质量的物一轻弹簧，一端固定，另一端连一定质量的物体。整个系统位于水平面内。今将物体沿平面向右拉体。整个系统位于水平面内。今将物体沿平面向右拉长到长到x0=0.04m处释放，已知处释放，已知6.0 rad/s。试求：。试求：1、 简谐振动方程；简谐振动方程；2、 物体从初始位置运动到第一次经物体从初始位置运动到第一次经过过A/2处时的速度。处时的速度。s/rad.
11、,v,m.x06004000 m.xvxA040022020 振振幅幅：mt.cos.x）（得得：06040 000 xvarctan所以：所以： 0 rad/s A0.04 mmt.cos.x）（得：得：06040 s/rad0 . 6,0v,m04. 0 x00t0 时：时：xAcos（t）v A sin（t）把初始条件代入方程组：把初始条件代入方程组：0.04 Acos 0 6 A sin得：得：AxarccosttcosAx ）（）（306040 sin.tsinAv ）（或或33212 arccosAAarccost32 t,AxAx:按按题题意意12080 sm.yx332、 物体
12、从初始位置运动到第一次经过物体从初始位置运动到第一次经过A/2处时的速度。处时的速度。 振动系统振动系统：参与振动的一个或参与振动的一个或几物几物 体所构成的一体所构成的一个系统。个系统。谐振系统谐振系统：作简谐振动的振动系统作简谐振动的振动系统谐振子谐振子： 作简谐振动的系统作简谐振动的系统弹簧振子：弹簧振子： 一根轻弹簧和一个刚体构成的一个一根轻弹簧和一个刚体构成的一个 振动系统振动系统F根据胡克定律：根据胡克定律：（k为劲度系数或倔强系数）xkF（1） 在弹性限度内，弹性力在弹性限度内，弹性力 F 和位移和位移 x成正比。成正比。（2） 弹性力弹性力F和位移和位移x 恒反向，始终指向平衡
13、位置。恒反向，始终指向平衡位置。回复力：回复力： 始终指向平衡位置的作用力始终指向平衡位置的作用力xXo振动的条件振动的条件: :（1 1）存在回复力；（）存在回复力；（2 2）物体具有惯性）物体具有惯性振动过程：振动过程：X0A A-A-AF F由牛顿第一定律得：由牛顿第一定律得：xkdtxdmF22xmkdtxd 22得得:xmkdtxd22xdtxd222比较比较 （1）弹簧振子的振动为弹簧振子的振动为简谐振动简谐振动 。 （2）周期：周期：角频率：角频率： 周期周期T与振子的本身性质（与振子的本身性质（k和和m）有关，而与其）有关，而与其它因素无关。它因素无关。例：例：T在地球和月球上
14、一样。在地球和月球上一样。1 1、振动系统的能量、振动系统的能量)(sin21212222tAmmvEk)(cos2121222tkAkxEpkm2振子动能：振子动能：振子势能：振子势能：xX0v)(sin21212222tAmmvEk)(cos2121222tkAkxEpXtAxcosXEpEk221kAE pkEEE2222212121mmvAmkAE)(cos21)(sin2122222tkAtAm谐振系统的总机械能：谐振系统的总机械能：（1 1）振子在振动过程中，动能和势能分别随时间变）振子在振动过程中，动能和势能分别随时间变 化，但任一时刻总机械能保持不变。化，但任一时刻总机械能保持
15、不变。（2 2）动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频率的两倍。）动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频率的两倍。（3 3）频率一定时，谐振动的总能量与振幅的平方成正比。）频率一定时，谐振动的总能量与振幅的平方成正比。 （适合于任何谐振系统）（适合于任何谐振系统）结论结论：XEpEk221kAE XtAxcosdttATxT0cos1tdtkATETp220cos2112 2、平均值、平均值tAxcos0sin10TtTAEkA21412 平均意义上说，简谐振动系统的能量中一平均意义上说，简谐振动系统的能量中一半是动能，另一半是势能。半是动能，另一半是势能。dttkATETk)(sin211220
16、 EkA21412Ol mgT22sindtsdmmgls 很小又22sindtdmlmg sinlgtdd22 单摆的振动是单摆的振动是简谐振动简谐振动 。lg glT 2 ）（tlgAcos设振子最大摆角为设振子最大摆角为m，若考虑，若考虑m的影响：的影响：）（ 26992411242mmsinsinglT6422sindtdmlmg sinm真周期真周期 /01.00005 1.000510 1.001920 1.007730 1.017445 1.039760 1.0719g/l2设振子最大摆角为设振子最大摆角为m，若考虑，若考虑m的影响：的影响：）（ 26992411242mmsinsinglT641、概念、概念2、运动方程、运动方程 重力矩重力矩 mglmglM sin转动定律转动定律22dtdJJmgl Jmgl 2 0222 dtd3、周期与频率、周期与频率JmglmglJT 24、应用：、应用：1）测重力加速度；测重力加速度； 2）测转动惯量）测转动惯量四、复摆四、复摆电磁振荡：电磁振荡： 电荷和电流、电场和磁场随电荷和电流、电场和磁场随时间作周期性变化的现象。时间作
