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1、8.3 非线性振动非线性振动 一、非线性振动系统一、非线性振动系统由非线性微分方程所描述的振动由非线性微分方程所描述的振动，称其为，称其为非线性振动非线性振动。下面以单摆做自由振动为例进行分析下面以单摆做自由振动为例进行分析单摆的线性振动单摆的线性振动sindd22mgtmLsindd22Lgt将将sin按按泰勒级数泰勒级数展开可得展开可得mmg)! 5! 3(dd5322Lgt单摆单摆很小时，很小时，3 3以上可忽略不计，以上可忽略不计，同时令同时令2=g/L可得可得222ddt由上式可知，由上式可知，小角度小角度下单摆的运动是简谐振动下单摆的运动是简谐振动，其其周期周期为为gLT2单摆的非
2、线性振动单摆的非线性振动随着随着的增大，摆球的运动方程为一个非线性微分方程。的增大，摆球的运动方程为一个非线性微分方程。可以证明单摆的周期变为可以证明单摆的周期变为)2sin6492sin411 (242mmglT式中式中m是最大角位移，即单摆振动的角摆幅。是最大角位移，即单摆振动的角摆幅。当当 时时，T，T/T随摆幅随摆幅m变化变化关系如图所示。关系如图所示。m可见可见单摆的周期是一个单摆的周期是一个向无向无穷大发展的非线性变化。穷大发展的非线性变化。两边积分得两边积分得1222)dd(Ct单摆线性振动的相图单摆线性振动的相图sindd22Lgt6323265012mTT1/)dd(2121
3、2CCt即即T/T随摆幅随摆幅m变化关系变化关系可见，线性振动的相轨迹为可见，线性振动的相轨迹为椭圆椭圆, ,中心点是稳定的中心点是稳定的奇点奇点. .初始条件确定后，单摆运动过程就初始条件确定后，单摆运动过程就对应于其中一个椭圆，对应于其中一个椭圆，单摆的运动单摆的运动是一系列的同周期运动，且运动状是一系列的同周期运动，且运动状态完全确定。态完全确定。单摆非线性振动的相图单摆非线性振动的相图如果对摆角不加限制，微分方程变成非线性微分方程，对方如果对摆角不加限制，微分方程变成非线性微分方程，对方程两边积分可得程两边积分可得tddo22cos)dd(21CLgt单摆无阻尼线性振动的相图单摆无阻尼
4、线性振动的相图当当t=0时，时，=00ddt02cos/LgC)cos(cos2dd0Lgt可见，其相图不再是一椭圆，可见，其相图不再是一椭圆，相轨迹两端凸出略呈尖角状，相轨迹两端凸出略呈尖角状，但仍是封闭曲线，但仍是封闭曲线，表示运动表示运动仍是周期性往复摆动仍是周期性往复摆动。当摆幅增大当摆幅增大到时，相迹线上出现了两个分支点，我们称到时，相迹线上出现了两个分支点，我们称之为之为鞍点鞍点, ,如上图如上图. .tddo单摆无阻尼非线性振动的相图单摆无阻尼非线性振动的相图鞍点鞍点和中心点一样也是一个和中心点一样也是一个奇点奇点，但是在鞍点上但是在鞍点上 m0ddt0dd22t说明说明鞍点鞍点
5、是不稳定的平衡点，是不稳定的平衡点，因为与之相连的四条相轨迹中因为与之相连的四条相轨迹中两条指向它，两条背离它，而两条指向它，两条背离它，而附近相轨迹呈双曲线状附近相轨迹呈双曲线状tddopEo从势能曲线和相图上可知从势能曲线和相图上可知处势能最大，处势能最大，势能曲线、相图、鞍点势能曲线、相图、鞍点双曲点的存在，预示着混沌运动的可能双曲点的存在，预示着混沌运动的可能假定存在阻尼和驱动力，让摆作受迫振动这样一来，假定存在阻尼和驱动力，让摆作受迫振动这样一来，双曲点就成了双曲点就成了敏感区敏感区能量稍大，单摆就会越过势垒的能量稍大，单摆就会越过势垒的顶峰，跨到它的另一侧；能量稍小，则为势垒所阻，
6、滑顶峰，跨到它的另一侧；能量稍小，则为势垒所阻，滑回原来的一侧单摆向回摆动。回原来的一侧单摆向回摆动。二、二、非线性振动系统的混沌行为非线性振动系统的混沌行为仍以单摆为例仍以单摆为例, 前面已经讨论过它的自由振动前面已经讨论过它的自由振动,下面分析下面分析其阻尼振动和受迫振动其阻尼振动和受迫振动有阻尼、无策动力的振动有阻尼、无策动力的振动小摆幅时运动方程为小摆幅时运动方程为小摆幅时小摆幅时,按阻尼的大小其运动状态可分为按阻尼的大小其运动状态可分为过阻尼过阻尼、临界临界阻尼阻尼、和、和阻尼振动阻尼振动.从相图可知从相图可知,无论单摆从什么初始状态无论单摆从什么初始状态出发出发,最后都要静下来最后
7、都要静下来.其状态最终要落到中央其状态最终要落到中央焦点焦点处处,这一这一点好象能把相空间的点逐渐地吸引起来点好象能把相空间的点逐渐地吸引起来,称为称为“吸引子吸引子”0sindd2dd2022ttyxo单摆阻尼振动的相图单摆阻尼振动的相图(小摆幅小摆幅)有阻尼、并有策动力的振动有阻尼、并有策动力的振动大摆幅时运动方程是非线性的大摆幅时运动方程是非线性的yxo单摆阻尼振动的相图单摆阻尼振动的相图(大摆幅大摆幅)此时此时,从其相图上可以看出从其相图上可以看出,相平面被分成不同的区域相平面被分成不同的区域,相轨迹都收敛与该区域中心相轨迹都收敛与该区域中心的的吸引子吸引子.振动方程为振动方程为tft
8、tDcossindd2dd2022这是非线性微分方程这是非线性微分方程,此时单摆的运动情况变得非常复杂此时单摆的运动情况变得非常复杂,可以对三个参量在不同组合情况下进行数值计算可以对三个参量在不同组合情况下进行数值计算,画出相画出相图来分析图来分析.o123321o123213o123321o123213有策动力、有阻尼时单摆的相图有策动力、有阻尼时单摆的相图025. 1,32,25. 0fD保持其他两个参量不变保持其他两个参量不变, f 逐渐增加时逐渐增加时,单摆的相图会产生如下单摆的相图会产生如下变化变化:f=1.07,出现出现2倍的周期倍的周期, f 变化两个周期后单摆才恢复原状变化两个
9、周期后单摆才恢复原状;f=1.15,相轨迹分布看似没有规律相轨迹分布看似没有规律,反映了某种内在的结构特征反映了某种内在的结构特征;f =1.45,单摆运动出现单摆运动出现2倍的周期倍的周期,作单向旋转作单向旋转;f=1.35,相轨迹又呈现比较简单分布相轨迹又呈现比较简单分布, 恢复单倍周期状态恢复单倍周期状态,但此但此时单摆并非作来回振动时单摆并非作来回振动,而是作单向的旋转而是作单向的旋转;f=1.47,单摆出现单摆出现4倍的周期倍的周期,作单向旋转作单向旋转;f=1.50, 又出现貌似无规则的运动又出现貌似无规则的运动,但比但比 f=1.15,时更为混乱时更为混乱.由此可见由此可见,在受
10、迫阻尼振动中在受迫阻尼振动中,单摆的运动反映出如下特征单摆的运动反映出如下特征:描述运动特征的动力学方程是非线性的描述运动特征的动力学方程是非线性的; 这些非线性方程是确定性的这些非线性方程是确定性的,不包含任何随时间变化的不包含任何随时间变化的 随随机项机项;在某些情况下在某些情况下,单摆出现了貌似无规则的运动单摆出现了貌似无规则的运动.此时系统对此时系统对初始条件特别敏感初始条件特别敏感,初始条件的微小差异可能导致面目全初始条件的微小差异可能导致面目全非的结果非的结果.这就是单摆的这就是单摆的混沌行为混沌行为.系统出现的一种貌似随机的运动系统出现的一种貌似随机的运动。混沌混沌:一般无法用解
11、析的方法求解，只能在给定参量和初值条一般无法用解析的方法求解，只能在给定参量和初值条件下用计算机进行数值计算件下用计算机进行数值计算。混沌现象具有如下特征混沌现象具有如下特征:对对初值敏感依赖初值敏感依赖最初的微小差别会随时间逐渐放大最初的微小差别会随时间逐渐放大而导致明显的巨大差别。而导致明显的巨大差别。运动不可重现运动不可重现,不可预报不可预报;相轨迹显示混沌运动收敛于相轨迹显示混沌运动收敛于“奇怪吸引子奇怪吸引子”;混沌现象混沌现象研究表明，研究表明，混沌仅出现在非线性系统中，是非线性引起混沌仅出现在非线性系统中，是非线性引起的随机性。的随机性。而自然界中绝大多数实际过程都是非线性而自然
12、界中绝大多数实际过程都是非线性的，的，因此，因此，混沌是一种普遍存在而又极其复杂的现象混沌是一种普遍存在而又极其复杂的现象。自自7070年代以来，许多科学家都在各自的领域内发现了混年代以来，许多科学家都在各自的领域内发现了混沌现象，沌现象，如如湍流、非线性振荡电路、激光运行系统、超湍流、非线性振荡电路、激光运行系统、超导中的约瑟夫逊结系统等都存在混沌现象。导中的约瑟夫逊结系统等都存在混沌现象。混沌不仅是数理学科的理论混沌不仅是数理学科的理论,而是遍布各个领域而是遍布各个领域.如化学反如化学反应中的混沌行为、股票市场的混沌现象、生态学中的应中的混沌行为、股票市场的混沌现象、生态学中的“虫虫口模型
13、口模型” 等等等等比如天气预报中存在混沌现象，虽然不能准确预报几年后的比如天气预报中存在混沌现象，虽然不能准确预报几年后的天气情况，但可以很好地预报明后几天的天气情况；天气情况，但可以很好地预报明后几天的天气情况；这说明，这说明，混沌现象的内在随机性与随机系统中的随机性有混沌现象的内在随机性与随机系统中的随机性有着本质区别。着本质区别。总之，总之，混沌的随机性是一种混沌的随机性是一种内在的随机性内在的随机性，它将使我们永它将使我们永远不能对系统的长期行为进行准确的预报和预测。远不能对系统的长期行为进行准确的预报和预测。混沌并不是完全无序，而是混沌并不是完全无序，而是无序中隐含着有序无序中隐含着有序；
