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1、 数学建模 模糊数学方法模糊数学方法 模糊数学方法 模糊集的基本概念 模糊综合评判 模糊聚类分析模糊集的基本概念 模糊子集与隶属函数模糊子集与隶属函数 隶属函数的确定隶属函数的确定 模糊矩阵及运算与性质模糊矩阵及运算与性质 模糊子集与隶属函数模糊子集与隶属函数 设设U是论域，称映射是论域，称映射A(x)：U0,1确定了一个确定了一个U上的上的模糊子集模糊子集A，映射，映射A(x)称为称为A的的隶属函数隶属函数，它表示，它表示x对对A的隶属程度的隶属程度. 使使A(x) = 0.5的点的点x称为称为A的过渡点，此点最具的过渡点，此点最具模糊性模糊性. 当映射当映射A(x)只取只取0或或1时，模糊
2、子集时，模糊子集A就是经典就是经典子集，而子集，而A(x)就是它的特征函数就是它的特征函数. 可见经典子集可见经典子集就是模糊子集的特殊情形就是模糊子集的特殊情形.例例 设论域1234,Exxxx12340.50.30.40.2Axxxx，12340.200.61Bxxxx 例例 设论域设论域U = x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)(单位：单位：cm)表示人的身高，表示人的身高，那么那么U上的一个模糊集上的一个模糊集“高个子高个子”(A)的隶属函数的隶属函数A(x)可定义为可定义为140190140)(xxA也
3、可用也可用Zadeh表示法：表示法：65432118 . 06 . 04 . 02 . 00 xxxxxxA还可用向量表示法还可用向量表示法 A=(0,0.2,0.4,0.6,0.8,1)模糊集的运算模糊集的运算相等相等：A = B A(x) = B(x)；包含包含：A B A(x)B(x)；并并：AB的隶属函数为的隶属函数为 (AB)(x)=A(x)B(x)；交交：AB的隶属函数为的隶属函数为 (AB)(x)=A(x)B(x)；余余：Ac的隶属函数为的隶属函数为Ac (x) = 1- A(x). 例例 设论域设论域U = x1, x2, x3, x4, x5(商品集商品集)，在，在U上定义两
4、个模糊集：上定义两个模糊集： A =“商品质量好商品质量好” B =“商商品质量坏品质量坏”，并设，并设A = (0.8, 0.55, 0, 0.3, 1).B = (0.1, 0.21, 0.86, 0.6, 0).则则Ac=“商品质量不好商品质量不好”, Bc=“商品质量不坏商品质量不坏”.Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0).Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1).可见可见Ac B, Bc A. 又又 AAc = (0.8, 0.55, 1, 0.7, 1) U, AAc = (0.2, 0.45, 0, 0.3, 0) . 隶属函数的确定隶属函数的确
5、定1.1.模糊统计方法模糊统计方法 与概率统计类似，但有区别：若把概率统计与概率统计类似，但有区别：若把概率统计比喻为比喻为“变动的点变动的点”是否落在是否落在“不动的圈不动的圈”内，内，则把模糊统计比喻为则把模糊统计比喻为“变动的圈变动的圈”是否盖住是否盖住“不不动的点动的点”. .2. 指派方法指派方法 一种主观方法，一般给出隶属函数的解析表一种主观方法，一般给出隶属函数的解析表达式。达式。3. 借用已有的借用已有的“客观客观”尺度尺度 模糊矩阵模糊矩阵 设设R = (rij)mn，若，若0rij1，则称，则称R为模糊矩阵为模糊矩阵. 当当rij只取只取0或或1时，称时，称R为布尔为布尔(
6、Boole)矩阵矩阵. 当模糊当模糊方阵方阵R = (rij)nn的对角线上的元素的对角线上的元素rii都为都为1时，称时，称R为模糊自反矩阵为模糊自反矩阵.模糊矩阵及运算与性质模糊矩阵及运算与性质 模糊矩阵间的关系及并、交、余运算 设设A=(aij)mn,B=(bij)mn都是模糊矩阵，定义都是模糊矩阵，定义相等：相等：A = B aij = bij；包含：包含：AB aijbij；并：并：AB = (aijbij)mn；交：交：AB = (aijbij)mn；余：余：Ac = (1- aij)mn.0.10.30.20.1,0.20.10.30.20.20.30.10.10.90.7,0.
7、30.20.20.10.80.9cABABABA例 设，则 设设A = (aik)ms，B = (bkj)sn，称模糊矩阵，称模糊矩阵A B = (cij)mn，为为A 与与B 的合成，其中的合成，其中cij = (aikbkj) | 1ks . 模糊矩阵的合成则设,3 . 006 . 04 . 07 . 01,5 . 08 . 0107 . 04 . 0BA3 . 03 . 03 . 05 . 06 . 06 . 05 . 07 . 07 . 0,7 . 016 . 04 . 0ABBA模糊方阵的幂模糊方阵的幂 定义：若定义：若A为为 n 阶方阵，定义阶方阵，定义A2 = A A，A3 =
8、A2 A，Ak = Ak-1 A.7 . 04 . 03 . 03 . 07 . 04 . 03 . 01 . 07 . 04 . 03 . 03 . 07 . 04 . 03 . 01 . 03 模糊矩阵的转置 定义定义 设设A = (aij)mn, 称称AT = (aijT )nm为为A的转置的转置矩阵，其中矩阵，其中aijT = aji.转置运算的性质：转置运算的性质：性质性质1：( AT )T = A；性质性质2：( AB )T = ATBT， ( AB )T = ATBT；性质性质3：( A B )T = BT AT；( An )T =( AT )n ；性质性质4：( Ac )T =
9、 ( AT )c ；性质性质5：AB AT BT . 模糊矩阵的截矩阵 设设A = (aij)mn,对任意的对任意的 0, 1，称，称A = (aij( )mn,为模糊矩阵为模糊矩阵A的的 - 截矩阵截矩阵, 其中其中 当当aij 时，时，aij( ) =1； 当当aij 时，时，aij( ) =0. 显然，显然，A的的 - 截矩阵为布尔矩阵截矩阵为布尔矩阵. 1110110010110011,18 . 03 . 008 . 011 . 02 . 03 . 01 . 015 . 002 . 05 . 013 . 0AA模糊综合评价模型 对方案、人才、成果的评价，人们的考虑对方案、人才、成果的评
10、价，人们的考虑的因素很多，而且有些描述很难给出确切的因素很多，而且有些描述很难给出确切的表达，这时可采用模糊评价方法。它可的表达，这时可采用模糊评价方法。它可对人、事、物进行比较全面而又定量化的对人、事、物进行比较全面而又定量化的评价，是提高领导决策能力和管理水平的评价，是提高领导决策能力和管理水平的一种有效方法。一种有效方法。模糊综合评价的基本步骤：模糊综合评价的基本步骤：（1 1） 首先要求出模糊评价矩阵首先要求出模糊评价矩阵P P，其中，其中P P表示方案表示方案X X在第在第i i个目标处于第个目标处于第j j级评语的隶级评语的隶属度，当对多个目标进行综合评价时，还属度，当对多个目标进
11、行综合评价时，还要对各个目标分别加权，设第要对各个目标分别加权，设第i i个目标权系个目标权系数为数为W W，则可得权系数向量：，则可得权系数向量：A A（W W1 1，W W2 2，WW）（2 2）综合评判）综合评判 利用矩阵的模糊乘法得到综合模糊评价向量利用矩阵的模糊乘法得到综合模糊评价向量B BB BAPAP（其中（其中为模糊乘法），根据运算为模糊乘法），根据运算的的不同定义，可得到不同的模型不同定义，可得到不同的模型模型模型1 M（，V）主因素决定型主因素决定型), 2 , 1(1 | )max(njnipabijij模型模型2 M（?，）主因素突出型主因素突出型), 2 , 1(1
12、)max(mjnipabjiij模型模型3 M（?，+）加权平均型加权平均型)2 , 1)(mjpabijij例例1：对某品牌电视机进行综合模糊评价：对某品牌电视机进行综合模糊评价 设评价指标集合：设评价指标集合：U U图像，声音，价格；图像，声音，价格； 评语集合：评语集合：V V很好，较好，一般，不好；很好，较好，一般，不好；首先对图像进行评价：首先对图像进行评价：假设有假设有30%30%的人认为很好，的人认为很好，50%50%的人认为较好，的人认为较好，20%20%的人认为一般，没有人认为不好，这样得的人认为一般，没有人认为不好，这样得到图像的评价结果为到图像的评价结果为 （0.3, 0
13、.5, 0.2 , 0)0.3, 0.5, 0.2 , 0) 同样对声音有：同样对声音有：0.4, 0.3, 0.2 , 0.1)0.4, 0.3, 0.2 , 0.1)对价格为：（对价格为：（0.1, 0.1, 0.3 , 0.5)0.1, 0.1, 0.3 , 0.5)所以有模糊评价矩阵：所以有模糊评价矩阵：5 . 01 . 003 . 02 . 02 . 01 . 03 . 05 . 01 . 04 . 03 . 0P设三个指标的权系数向量：设三个指标的权系数向量：A A 图像评价，声音评价，价格评价图像评价，声音评价，价格评价（0.5, 0.3, 0.2)0.5, 0.3, 0.2)应
14、用模型应用模型1 1，bj=max(airij)有综合评价结果为：有综合评价结果为：B BAPAP（0.3, 0.5, 0.2, 0.2)0.3, 0.5, 0.2, 0.2)归一化处理：归一化处理：B B（0.25, 0.42, 0.17, 0.17)0.25, 0.42, 0.17, 0.17)所以综合而言，电视机还是比较好的比重大。所以综合而言，电视机还是比较好的比重大。例例2：对科技成果项目的综合评价：对科技成果项目的综合评价 有甲、乙、丙三项科研成果，现要从中有甲、乙、丙三项科研成果，现要从中评选出优秀项目。评选出优秀项目。 设评价指标集合：设评价指标集合：U U科技水平，实现可能性
15、，经济效益科技水平，实现可能性，经济效益评语集合：评语集合：V V高，中，低高，中，低评价指标权系数向量：评价指标权系数向量：A A（0.20.2，0.30.3，0.50.5）专家评价结果表专家评价结果表由上表，可得甲、乙、丙三个项目各自由上表，可得甲、乙、丙三个项目各自的评价矩阵的评价矩阵P P、Q Q、R R：1 . 06 . 03 . 07 . 02 . 01 . 01 . 02 . 07 . 0P03 . 07 . 00011 . 06 . 03 . 0Q6 . 03 . 01 . 00015 . 04 . 01 . 0R求得：求得：) 3 . 05 . 03 . 0(1， APB)
16、1 . 03 . 05 . 0(2， AQB)5 . 03 . 03 . 0(R3， AB)27. 046. 027. 0(1，B) 11 . 033. 056. 0(2，B)46. 027. 027. 0(3，B因素集：因素集： U=政治表现及工作态度，教学水平，科政治表现及工作态度，教学水平，科研水平，外语水平研水平，外语水平；评判集：评判集： V=好，较好，一般，较差，差好，较好，一般，较差，差；例例3 3：“晋升晋升”的数学模型，以高校教师晋的数学模型，以高校教师晋升教授为例升教授为例（1）建立模糊综合评判矩阵）建立模糊综合评判矩阵 当学科评审组的每个成员对评判的对象进行评价，假定学科评审组由7人组成，用打分或投票的方法表明各自的评价 例如对王，学科评审组中有4人认为政治表现及工作态度好，2人认为较好，1人认为一般，对其他因素作类似评价。评判集评判集因素集因素集 好好 较好较好 一般一般 较差较差 差差政治表现及政治表现及 工作态度工作态度 4 4 2 2 1 1 0 0 0 0教学水平教学水平 6 6 1 1 0 0 0 0 0 0科研水平科研水平 0 0 0 0 5 5 1
