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1、 数学问题解决数学问题解决 一一 、什么是问题、什么是问题 二、什么是问题解决二、什么是问题解决 三、数学问题解决的过程三、数学问题解决的过程一一 、什么是问题、什么是问题1.1.问题是一个不稳定系统问题是一个不稳定系统 2.2.问题是一种刺激情景问题是一种刺激情景 3.3.问题的含义问题的含义 1.1.问题是一个不稳定系统问题是一个不稳定系统 如果对某人来说，一个系统的全部元如果对某人来说，一个系统的全部元素、元素的性质和元素间的关系都是他所素、元素的性质和元素间的关系都是他所知道的，那么这个系统对于他来说就是一知道的，那么这个系统对于他来说就是一个稳定系统个稳定系统. . 如果这个系统中的
2、某些内容是他所不如果这个系统中的某些内容是他所不知的，那么该系统对于他来说就是一个问知的，那么该系统对于他来说就是一个问题系统，即问题题系统，即问题. .如果这个问题系统的元如果这个问题系统的元素、性质和关系都是有关数学的，那么它素、性质和关系都是有关数学的，那么它就是一个数学问题就是一个数学问题. . 问题具有主观性问题具有主观性. .一个系统能否成为一个问一个系统能否成为一个问题，取决于认识该系统的主体题，取决于认识该系统的主体. .它对于有些人而它对于有些人而言是问题，但对于另一些人而言则不是问题言是问题，但对于另一些人而言则不是问题. . 例如：例如：“已知直角三角形的两条直角边的长度
3、，求其已知直角三角形的两条直角边的长度，求其直直角边的长度角边的长度. .” 对于绝大多数小学生而言是一个问题，对于绝大多数小学生而言是一个问题，但对于高中生而言则不成为问题但对于高中生而言则不成为问题. . 2.2.问题是一种刺激情景问题是一种刺激情景信息加工理论从两个角度来认识问题：信息加工理论从两个角度来认识问题： 一是问题的客观方面；一是问题的客观方面； 二是问题的主观方面二是问题的主观方面. .问题的客观方面是课题（问题的客观方面是课题（tasktask）的客观陈述）的客观陈述称为课题范围（称为课题范围（task domaintask domain任务领域）任务领域）. . 问题的主
4、观方面是解题者对问题的客观陈问题的主观方面是解题者对问题的客观陈述的理解，称为问题空间（述的理解，称为问题空间（problem spaceproblem space）. . 问题空间由任务的问题空间由任务的初始状态初始状态（即任务的给（即任务的给定条件）、定条件）、目标状态目标状态（即任务最终要达到的（即任务最终要达到的目标）和目标）和中间状态中间状态（即任务从初始状态向目（即任务从初始状态向目标状态转化的若干可能途径，每一个途径又标状态转化的若干可能途径，每一个途径又由若干步骤构成）组成由若干步骤构成）组成. .如果我们把使问题从如果我们把使问题从初始状态向目标状态转化的操作称为算子初始状态
5、向目标状态转化的操作称为算子（operatoroperator），那么），那么问题空间是由问题的初问题空间是由问题的初始状态、目标状态和一些算子构成的始状态、目标状态和一些算子构成的. . 例如：试求出例如：试求出8 8与与5 5的和的和. . 问题空间的初始状态是已知数字问题空间的初始状态是已知数字8 8与数字与数字5 5，目标是求它们的和目标是求它们的和. . 儿童的算子可能是：儿童的算子可能是： 先将先将8 8个实物与个实物与5 5个实物放在一起，然后由个实物放在一起，然后由1 1数到数到1313； “8 8！”，伸出，伸出5 5个手指，逐个数手指，个手指，逐个数手指，“9 9、1010
6、、1111、1212、1313， 等于等于1313！”； 8 + 5 = 8 +8 + 5 = 8 +（2 + 32 + 3）= =（8 + 28 + 2）+ 3 + 3 = 10 + 3 = 13 = 10 + 3 = 13； 8 + 5 =8 + 5 =（3 + 53 + 5）+ 5 = 3+ 5 = 3+（5 + 55 + 5） = 3 + 10 = 13. = 3 + 10 = 13.综上所述，我们可以把问题定义为：综上所述，我们可以把问题定义为： 给定信息和目标之间有某些障碍需要克服给定信息和目标之间有某些障碍需要克服的刺激情景的刺激情景. . 对解题者而言，一个刺激情景能否成为问对
7、解题者而言，一个刺激情景能否成为问题，关键是给定信息与目标之间是否有障碍题，关键是给定信息与目标之间是否有障碍. . 因此，同一个课题范围对有的被试可能成因此，同一个课题范围对有的被试可能成为问题，但对另一些被试则不是问题为问题，但对另一些被试则不是问题. .3.3.问题的含义问题的含义 问题是一种状态，在这种状态中，主体要去问题是一种状态，在这种状态中，主体要去完成一个任务，而对于这个任务，主体没有完完成一个任务，而对于这个任务，主体没有完全确定的法则，没有易于理解的方法全确定的法则，没有易于理解的方法. . 问题对于主体而言表现出两个基本特性：问题对于主体而言表现出两个基本特性： 认同性；
8、障碍性认同性；障碍性. .（1 1）认同性）认同性 即主体接受并试图去解决这个问题即主体接受并试图去解决这个问题. .例例3 3 一个不懂英文的作家看到下面的材料：一个不懂英文的作家看到下面的材料： Let be a polynomial of degree n such that for each . Find . (Singapore 1988) 这个材料对他而言并没有成为一个问题，这个材料对他而言并没有成为一个问题，因为他一点不知道这些符号的意义因为他一点不知道这些符号的意义. . 即使是一个英文很好的作家，如果他没有即使是一个英文很好的作家，如果他没有解决这个问题的倾向，那么这个材料也
9、不会成解决这个问题的倾向，那么这个材料也不会成为他的一个问题为他的一个问题. .)(xf1)(kkkfnk,2, 1 ,0) 1( nf（2 2）障碍性）障碍性. .即是说，主体最初的尝试是无效的，或者说主即是说，主体最初的尝试是无效的，或者说主体利用已有的模式解决不了，没有旧模式体利用已有的模式解决不了，没有旧模式可以利用可以利用. .一个问题一旦可以轻易地用先前一个问题一旦可以轻易地用先前的经验模式来解决，那么它就不再是一个的经验模式来解决，那么它就不再是一个问题（问题（ProblemProblem）. .教科书上的很多习题（教科书上的很多习题（questionquestion），尤其是课
10、），尤其是课堂练习，都可以直接用教师提供的模式去堂练习，都可以直接用教师提供的模式去解答，这些习题不是真正意义上的问题解答，这些习题不是真正意义上的问题. .那些用来训练和巩固教师所讲的基础知识和基那些用来训练和巩固教师所讲的基础知识和基本技能的练习（本技能的练习（exercisesexercises）, ,一般来说也一般来说也不是问题不是问题. .“真正真正”的问题则是可以用于培养学生的科学发的问题则是可以用于培养学生的科学发现的能力和创新的意识现的能力和创新的意识. .我们可以从以下四个方面来理解问题我们可以从以下四个方面来理解问题: : A A它是非常规的，无现成的模式可套它是非常规的，
11、无现成的模式可套; ;有一支探险队急需过河，虽然每个人都会划船，有一支探险队急需过河，虽然每个人都会划船，可是河边只有一条能载一个大人或两个小可是河边只有一条能载一个大人或两个小孩的小船，怎么办呢？探险队中仅有的两孩的小船，怎么办呢？探险队中仅有的两个小孩想出了一个办法，使全体队员都过个小孩想出了一个办法，使全体队员都过了河了河. .请问他们是怎样过河的？请问他们是怎样过河的？ 这是一个非常规问题，因为学生的数学认知结这是一个非常规问题，因为学生的数学认知结构里没有什么现成的法则、原理可以直接构里没有什么现成的法则、原理可以直接利用利用. .它需要创造性思维才能解决它需要创造性思维才能解决.
12、. B B问题提供的仅仅是一种情景，被试可以从不问题提供的仅仅是一种情景，被试可以从不同的角度去理解同的角度去理解下面四个图形中，哪一个具有其它三个不具有下面四个图形中，哪一个具有其它三个不具有的属性？的属性？第第2 2个也具备其它三个不具备的属性：个也具备其它三个不具备的属性： 它是唯一一个不具备所述属性的图形它是唯一一个不具备所述属性的图形. .C C问题具有新奇性和可探索性，能激发学生的问题具有新奇性和可探索性，能激发学生的兴趣兴趣 “五羊五羊”足球队举行庆功晚宴，出席者两两足球队举行庆功晚宴，出席者两两碰杯一次，总共碰杯碰杯一次，总共碰杯990990次，问共有多少来宾出次，问共有多少来
13、宾出席晚宴？席晚宴？D D它是开放性问题它是开放性问题. . 封闭性问题（封闭性问题（closed problem） : :问题给出的问题给出的条件往往都是用得着的，而且只用一次条件往往都是用得着的，而且只用一次;问题的问题的答案只有正确与不正确（包括不完整）两种，答案只有正确与不正确（包括不完整）两种，并且正确的答案是唯一的并且正确的答案是唯一的. 以封闭性问题为基础的数学教学是有缺陷的以封闭性问题为基础的数学教学是有缺陷的.例如，记忆性较多，思考性较少；程序化的技例如，记忆性较多，思考性较少；程序化的技能性思维较多，开放性的创造性思维较少；能性思维较多，开放性的创造性思维较少；教学倾向于结
14、果，忽视思维过程；重模仿，教学倾向于结果，忽视思维过程；重模仿，轻创造轻创造.因此，只要学生记忆力好，勤学苦因此，只要学生记忆力好，勤学苦练，再加上细心，就能在考试中取得好成练，再加上细心，就能在考试中取得好成绩，高分低能的现象便应运而生绩，高分低能的现象便应运而生.数学教学需要数学教学需要 开放性问题（开放性问题（open-ended questionopen-ended question），），又称构造性反应（又称构造性反应（constructed responseconstructed response），）， 它要求被试创造一个反应它要求被试创造一个反应. . 而封闭性问题则要求被试回
15、忆、选择一个反应而封闭性问题则要求被试回忆、选择一个反应. .开放性问题的特点是：开放性问题的特点是：结论开放结论开放: :即同一个问题可以有不同的结论；即同一个问题可以有不同的结论；条件开放条件开放: :即条件可以不充分，可以多余，也可即条件可以不充分，可以多余，也可 以不够；以不够；思路开放思路开放: :即强调解决问题的不同思路，被试可即强调解决问题的不同思路，被试可以按自己的思路、方法去解答，不必套用以按自己的思路、方法去解答，不必套用固定的解题程序固定的解题程序. . 问题：如果你今天将问题：如果你今天将200元存入银行，元存入银行， 那么那么6年后的今天，这笔钱的本息是多少？年后的今
16、天，这笔钱的本息是多少？ 二、什么是问题解决二、什么是问题解决 什么是问题解决，由于理解的层面不同，至什么是问题解决，由于理解的层面不同，至今仍然没有统一的认识今仍然没有统一的认识. . 1. 1.桑代克认为问题解决是由刺激情境与适当桑代克认为问题解决是由刺激情境与适当反应之间形成的联结构成的，这种联结是通过试反应之间形成的联结构成的，这种联结是通过试误逐渐形成的误逐渐形成的. . 2.2.加涅把问题解决学习看成是八种学习类型中加涅把问题解决学习看成是八种学习类型中最高级和最复杂的一种类型，即以独特的方式选最高级和最复杂的一种类型，即以独特的方式选择多组规则，并且把它们综合起来运用，它将导择多组规则，并且把它们综合起来运用，它将导致建立起学习者先前不知道的更高级的一组规则致建立起学习者先前不知道的更高级的一组规则. . 3. 3.顿悟学习理论认为问题解决就是顿悟，即知顿悟学习理论认为问题解决就是顿悟，即知觉重组觉重组. .它是通过被试重新组织构建有关事物的形它是通过被试重新组织构建有关事物的形式而实现的式而实现的. . 4. 4.现代信息加工心理学认为问题解决是一种以目现代信息加工心理
