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1、数学与思维发展的关系 人类的思维是后天形成的，思维受到各种因素的影响，并表现出多面性。但符合逻辑的、精密的、深刻的、聪慧的思维是每个人希望达到的最高境界之一。 数学与数学教育如此受重视，不完全是因为其广泛的用途，也不能完全从应用的角度来看待数学。在上一讲中我们说明了数学能提供观察世界的一般观念和方法外，实际上数学对人的其他发展，尤其是对人的思维发展有不可或缺的作用和价值，数学是为人的更完美发展提供了良好训练。数学与思维发展的关系 人们常把数学形容为思维的体操。培根说过，哲理使人深刻，诗歌使人聪慧，演算使人精密。其实数学不单单使人精密，数学同样也使人深刻，使人聪慧！ 哲学、诗歌不要求每人都会 数
2、学每人必须会 1、归纳与完全归纳 思维的一种形式是归纳。那么归纳性质的表征是什么呢？所谓归纳，是指通过对有限多个同类对象的观察分析，猜测一种共性或规律，并证明这种共性的确是正确的一种思维方法。 当“同类对象”为有限多个时，我们将对象一一验证就可获得结论（对或错）；但当“同类对象”无法穷举或实际上就是无限多时，我们原有的思维方法就无法具有说服力了。因此必须寻找一种处理无限的思维方法.即在数学上所要求的完全归纳,确保其正确性.1、归纳与完全归纳 我们熟悉的完全归纳法数学归纳法。 我们来看一些（非完全归纳）例子。 2( )11(1)13,(2)17,(3)23(,(4)31(1)0)1211111n
3、ffxxxffffnf二 项 式满 足 ：都 是 素 数 ，对那 么 是 否 可 以 下 结 语 ：显 然 不所 有 的 ，是 素 数 ？能 。 实 际 上就 不 是 素 数 。1、归纳与完全归纳 2222( )72491( )72490(72490)72490724907249172490272490172491( )fxxxfnnnfnf对 所 有 的 ，是 素 数有 趣 的 是 二 项 式满 足 ：当时 都 是 素 数？， 那 么 是 否可 以 下 结 语 ：也 不 能 。 实 际 上就 不 是 素 数 。1、归纳与完全归纳23242543211(1)(1)1(1)(1)1(1)(1)(
4、1)1(1)(1)10,1, 1nnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 在来看关于的分解式：是否可以下结论：的整系数分解式中，的系数只可能是呢？回答是否定的。1、归纳与完全归纳484746434241407221.xxxxxxxx105有一位老兄发现了x -1中有如下的一项：这说明，考察一组对象的性质或规律时，可能出错。究其原因在于对于“无穷多”的思维方式不能按照“有限多”方式来处理，否则容易出现问题。这种方法通常成为不完全归纳。1、归纳与完全归纳 数学对归纳的完全性是要求十分严格，其意义不仅对所有的自然科学是重要的，而且对人文社会科学也是重要的。借鉴数学思维的严格性，可以大大提高社会科
5、学学科的科学性。以例带证的方法属于不完全归纳，显然不能令人信服。目前许多社会科学学科还是按照这种方式来解释其命题，科学性显然要遭到质疑。 社会科学； 实验学科；2、逻辑思维的代表：演绎 当归纳具有完全性时，其方法可以说属于逻辑的范畴了。逻辑思维的代表之一是演绎思维。 演义思维最早来自几何学，其影响之广泛使得人们特别看重演绎科学的地位。实际上，一门学科是否为成熟的是以它是否已形成一套演绎体系（公理体系）为标志的。 数学的这一特点是与它极强的逻辑性和抽象性紧密联系在一起的。2、逻辑思维的代表：演绎抽象：强抽象 弱抽象。任意四边形凸四边形梯形平行四边形矩形菱形正方形2、逻辑思维的代表：演绎例子：函数
6、概念的演变过程。17世纪：幂函数（多项式）的代名词。18世纪：表达式（初等函数）。欧拉给出了y=f(x)的表示。初等函数非初等函数（级数、积分表示）解析表达式（一个式子）分段函数（伪函数，柯西引入了“对应”术语，但还是解析式子）Dirichlet函数： Dirichlet函数不但从表达式上突破了解析式的限制，而且还对“凡函数至少在一点连续”提出了挑战。0( )xD xx当 为无理数时1当 为无理数时2、逻辑思维的代表：演绎虽然这个表达式是认为构造的，带有主观性质，但它却推动了人们对函数本质的客观认识。这也反映了认识论中的基本内涵。主观判断主观事物一定要小心，不要把主观臆相混同于主观构想。科学需
7、要主观构想的。2( )lim(lim(cos!) ).nmnD xmx但是2、逻辑思维的代表：演绎Dirichlet函数对应规则（何为对应？）有序对（x,y） （新概念）集合函数（泛函）广义函数（函数）.上述过程实际上就是演绎思维弱抽象的例子.2、逻辑思维的代表：演绎再以函数为例给出强抽象的例子.连续性问题解决后,出现了可微性问题.f(x)=|x|是连续但在0点不可微的例子. 问题:连续函数至少有一个可微点? Weiestrauss构造了一个处处连续但处处不可微的例子, 这个例子让数学家惊叹:直观似乎告诉我们不可能有这种函数,直观欺骗了我们.03( )cos(), 01,1.2nnnf xbaxabab 是奇数，2、逻辑思维的代表：演绎函数连续函数不可微函数处处连续处处不可微函数。 强抽象过程。但抽象性依然很强。 数学的抽象方法很多，需要学习和实践逐步加深了解，在你领会的同时，抽象思维能力就得到了加强和提高。需要说明的是，逻辑思维是抽象思维，但抽象思维不一定是逻辑的。数学的逻辑性特点使得数学训练直接有利于发展人的逻辑思维，其作用特别突出。
