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1、第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征4.1 4.1 数学期望数学期望4.2 4.2 方差方差4.3 4.3 协方差及相关系数协方差及相关系数4.4 4.4 矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵 4.1 4.1 数学期望数学期望例例1 1 设甲、乙两射手在同样条件下进行射击，其命中环数是一设甲、乙两射手在同样条件下进行射击，其命中环数是一 随机变量，分别记为随机变量，分别记为X、Y，并具有如下分布律，并具有如下分布律 X 10 9 8 7 Y 10 9 8 7 Pk 0.6 0.1 0.2 0.1 Pk 0.4 0.3 0.1 0.2 试问甲、乙两射手的射击水平哪个较高？试问甲、乙两射手的
2、射击水平哪个较高？)(2 . 91 . 072 . 081 . 096 . 010)1072081096010(1001环解解 由射手甲的分布律知，甲命中由射手甲的分布律知，甲命中1010环的概率为环的概率为0.60.6，即若射击，即若射击100100次，约有次，约有6060次命中次命中1010环，同理，约有环，同理，约有1010次命中次命中9 9环，环，2020次命次命中中8 8环，环，1010次命中次命中7 7环这样，环这样，甲平均每次命中环数约为甲平均每次命中环数约为由此可见，射手甲的射击水平略高于射手乙的射击水平。由此可见，射手甲的射击水平略高于射手乙的射击水平。)(9 . 82 .
3、071 . 083 . 094 . 010)2071083094010(1001环同理，射手乙平均每次命中同理，射手乙平均每次命中环数约为环数约为 若级数若级数 绝对收敛，则称此级数的绝对收敛，则称此级数的 和为随机变量和为随机变量X X的数学期望，记为的数学期望，记为E(X)E(X)即即, 2 , 1 ,PXkpxkk,1kkkpxkkkpxXE1)( 设离散型随机变量设离散型随机变量X X的分布律为的分布律为 设连续型随机变量的概率密度为设连续型随机变量的概率密度为f( (x),), 若积分若积分 绝对收敛，则称此积分值绝对收敛，则称此积分值 为随机变量为随机变量X X的数学期望，记为的数
4、学期望，记为E(X)E(X) 即即dxxfx)(dxxfxXE)()(2）数学期望数学期望 完全由随机变量完全由随机变量 的概率分布所确定的概率分布所确定. . 若若 服从某一分布也称服从某一分布也称 是这一分布的数学期望是这一分布的数学期望. .)(XEXX)(XE 设设 Xb(n,p), 求求 E(X). 1 1） 数学期望简称为期望，又称为均值数学期望简称为期望，又称为均值 设设X ( ), 求求 E(X). X的分布律为的分布律为!E(X)kekkk 0. , ,!PX0210 kkekk)!(111 kekk ee 设设XU(a, b), 求求 E(X). dxxxf)(E(X) 其
5、其它它 , 0 ,1)(bxaabxf2badxabxba X的概率密度为的概率密度为 设设X服从指数分布，其概率密度为服从指数分布，其概率密度为)0(00, 0,1)(xxexfx求求)(XE 设设 XN( , 2) ，求求)(XEdxexdxxfxXEx222)(21)()(dttedtedtetttt22222222)(21tx串联时系统寿命串联时系统寿命 )X,min(XN21. 0, 0, 0,2)(2minxxexfx22)()(20mindxexdxxfxNEx 设有设有2 2个相互独立的电子元件，其寿命个相互独立的电子元件，其寿命Xk k (k=1,2) (k=1,2) 均服从
6、同一指数分布，其概率密度为均服从同一指数分布，其概率密度为 )0(00, 0,1)(xxexfx 求将这求将这2 2个元件串联组成系统的平均寿命个元件串联组成系统的平均寿命00, 0,1)(Fxxexx Xk k的分布函数为的分布函数为. 0, 0, 0,1 )F(1 1)(F22minxxexxx其分布函数为其分布函数为 (1)X (1)X是离散型随机变量是离散型随机变量, ,分布律为：分布律为： 若级数若级数 绝对收敛，则绝对收敛，则, 2 , 1,kxXPpkk1)(kkkpxg,)()()(1kkkpxgXgEYE(2)X(2)X是连续型随机变量，其概率密度为是连续型随机变量，其概率密
7、度为f ( (x) ,) ,若若积分积分 绝对收敛，则绝对收敛，则dxxfxg)()(dxxfxgXgEYE)()()()( 设设Y Y是随机变量是随机变量X X的函数：的函数：Y= =g( (X) )（g g为连续函数）为连续函数）,)()()(1kkkpxgXgEYE （1 1）由离散型随机变量的函数的分布，有）由离散型随机变量的函数的分布，有kppp21)()()(21kxgxgxgY=g(X)kpdyyhyhyfdyyfyYEY| )(|)()()(（2 2）设）设X X是连续型随机变量且满足是连续型随机变量且满足2.52.5节的定理条件，节的定理条件，)()()()()()(xgyd
8、xxfxgdyyhyhyfYE令:0)( yhdxxfxgdxxfxgdyyhyhyfYE)()()()()()()(:0)( yh., 0|,)(|)()(Y其它yyhyhfyfY Y= =g g( (X X) )的概率密度为的概率密度为定理推广定理推广：设设Z Z是随机变量是随机变量X,YX,Y的函数：的函数：Z= =g( (X, ,Y) )（g为二元连续函数）为二元连续函数）(1)(1)若若(X,Y)(X,Y)是离散型随机变量，其分布律为是离散型随机变量，其分布律为 , 2 , 1,Y,PXjipyxijjiijijijpyxgYXgEZE 11),(),()(则则dxdyyxfyxgY
9、XgEZE),(),(),()( 则则(2)(2)若若( (X, ,Y) )是连续型随机变量，其概率密度为是连续型随机变量，其概率密度为f ( (x, ,y) )， 设风速设风速V在在( (0, ,a) )上服从均匀分布，飞机机翼受到的压上服从均匀分布，飞机机翼受到的压 力力W= =kV2, (k, (k为常数为常数),),求求W的数学期望的数学期望其它avavf0, 0,1)(20222311)()()(kadvakvdvvfkvkVEWEa 风速风速V的概率密度为的概率密度为 设组织货源为设组织货源为t t（吨）（吨）( (atb),tb),由题意国家收益由题意国家收益Y Y是是 X X的
10、函数：的函数：bXX,)X(X)X(Y ttastltsg其它其它bxaabxf , 0,1)( 国际市场每年对我国某种商品的需求量国际市场每年对我国某种商品的需求量X（吨）是（吨）是一随机变量，它服从一随机变量，它服从( (a, ,b) )上的均匀分布设每售出该上的均匀分布设每售出该商品一吨可以为国家创汇商品一吨可以为国家创汇s s万元，但若销不出去而压于万元，但若销不出去而压于仓库，则每吨亏损仓库，则每吨亏损 万元，问应组织多少货源才使国万元，问应组织多少货源才使国家收益的数学期望最大？家收益的数学期望最大？l0)()()(10E(Y)sblatslabdtdslsblat)()(2)()
11、(2111)(22asltsblatslabdxabstdxablxtxsbttadxxfxgXgEYEba)()()()(8 . 21 . 082 . 023 . 044 . 01)E(XY)E(Z217 . 21 . 042 . 033 . 034 . 02Y)E(X)E(Z2 (X,Y)的取值及对应的概率如下表的取值及对应的概率如下表: (X,Y) (1,1) (1,2) (2.1) (2,2) XY2 1 4 2 8 X+Y 2 3 3 4 pk 0.4 0.3 0.2 0.1 X X Y Y 1 2 1 2 1 0.4 1 0.4 0.2 0.2 2 0.3 0.1 2 0.3 0.
12、1YXZ,XYZ221 设设(X,Y)(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为求求的数学期望的数学期望 设设(X,Y)(X,Y)服从服从G G上的均匀分布（如图）上的均匀分布（如图） 求求X、Y及及XY的数学期望的数学期望012xyG12yx解法一：由已知得解法一：由已知得其它， , 0G)( 1),(x,yyxf其它 , 010 , )1 (2),()(xxdyyxfxf31)1 (2)()(10dxxxdxxxfXEX 10)1(201031)1 (2 ),()(dxxxxdydxdxdyyxxfXEx解法二：解法二：同理同理32 ),()()1(2010 xydydxdxdyyxyfYE6
13、1 ),()()1(2010 xxydydxdxdyyxxyfXYE假设以下随机变量的数学期望均存在假设以下随机变量的数学期望均存在1. E(C)=C, （C是常数）是常数） 2. E(CX)=CE(X), （C是常数）是常数） 3. E(X Y)=E(X) E(Y), 4. 设设X与与Y相互独立相互独立, 则则 E(XY)=E(X)E(Y)数学期望的性质: 注注 1 1）性质性质3 3、4 4可推广到有限个的情况可推广到有限个的情况. . 2 2）对于性质对于性质4 4来讲反之不成立来讲反之不成立. .E(Y)E(X) ),(),( ),()(Y)E(X dxdyyxfydxdyyxxfdx
14、dyyxfyx ( (仅对仅对(X,Y)(X,Y)为连续型随机变量证明性质为连续型随机变量证明性质3,4)3,4) 设设(X,Y)(X,Y)的概率密度为的概率密度为f（x, ,y），其边缘概率密度），其边缘概率密度 分别为分别为 fX（x），）， fY（y），则），则E(Y)E(X)()()()(),()(E(XY) dyyyfdxxfxdxdyyfxfxydxdyyxfyxYXYX又若又若X与与Y相互独立，则相互独立，则)()(),(yfxfyxfYX 一民航机场的送客车，载有一民航机场的送客车，载有2020名乘客自机场开出，旅客名乘客自机场开出，旅客有有1010个车站可以下车，如到达一站没
15、旅客下车就不停车假个车站可以下车，如到达一站没旅客下车就不停车假设每位旅客在各站下车是等可能的，且旅客之间在哪一站下设每位旅客在各站下车是等可能的，且旅客之间在哪一站下车相互独立以车相互独立以X X表示停车次数，求表示停车次数，求E(X)E(X) 由题意由题意 10,2,1 ,0.9-1)E(X20 ii784. 8)9 . 01(10)()(20101 XXEXE2020)109(1)1(,)109()0( iiXPXP 这种引进新的随机变量，将原随机变量分解成有限个随这种引进新的随机变量，将原随机变量分解成有限个随机变量之和机变量之和, ,再求数字特征的方法具有一定的普遍意义再求数字特征的
16、方法具有一定的普遍意义. .1021, 1,0，站站有有人人下下车车，第第站站无无人人下下车车，第第 iiiXi解解 引入随机变量引入随机变量1021XXXX 则则 由于由于X X与与Y Y相互独立，则相互独立，则 与与 也相互独立，也相互独立，）（ Yde)X(ce) 1)(1(111)E(E(E00X)YX(dcdyeedxeeeeeydyxcxdYcdc 设设X X、Y Y相互独立，分别服从参数为相互独立，分别服从参数为 , , 的指数分布：的指数分布： 试求试求 . 0, 0, 0,1)(. 0, 0, 0,1)(yyeyfxxexfyYxX).0, 0(,E)YX(dcedc)(的数学期望2-X3Z），则随机变量2（服从、设随机变量8）X（D）X（E则的样本，是来自,.,）n（服从X、设总体5）Y-X3（D则,5.0，9）Y（D，4）X（D、设3)分3小题，每题8共(一填空题)道大题10共(月考试题120161012xyZEXXXX -其期望和方差的概率密度函数，并求eY求随机变量上服从均匀分布，1 ,0分）设随机变量在区间9六（月考试题12016x七（七（9分）已知随机变量
