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1、 现代数学与应用现代数学与应用v数学的作用日趋广泛数学的作用日趋广泛v数学是解决各种现实问题的工具数学是解决各种现实问题的工具v数学已成为自然科学、技术发展的重要数学已成为自然科学、技术发展的重要思想方法思想方法一种科学只有成功地运用数学时，才算达到完善的地步（马克思）一种科学只有成功地运用数学时，才算达到完善的地步（马克思）v哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡七桥问题v伏尔泰拉原理伏尔泰拉原理( (捕鱼问题捕鱼问题) )v人口增长数学模型人口增长数学模型v杨杨米尔斯方程与现代微分几何米尔斯方程与现代微分几何v折叠与突变理论折叠与突变理论v平衡点与对策论平衡点与对策论v隶属函数与模糊数学隶属函数与模糊数
2、学v黄金分割与斐波那契数列黄金分割与斐波那契数列v编码技术与密钥体制编码技术与密钥体制v社会的数学化社会的数学化（格罗皮厄斯：平行街区造房的设计方案；格罗皮厄斯：平行街区造房的设计方案； 红楼梦红楼梦研究研究；长沙马王堆一号墓（长沙马王堆一号墓（19721972年年8 8月出土）建造的年代测定月出土）建造的年代测定；抽样调查、统计推断在民意测验中的应用抽样调查、统计推断在民意测验中的应用）1 201 20世纪数学应用的发展概况世纪数学应用的发展概况随着二次世界大战的爆发，大量的实际问题吸引着随着二次世界大战的爆发，大量的实际问题吸引着无数的数学家投入到应用数学的研究。无数的数学家投入到应用数学
3、的研究。 “数学家不能无视客观世界，必须运用数学而且承数学家不能无视客观世界，必须运用数学而且承担担解决应用问题的道义责任。解决应用问题的道义责任。”（维纳语）。（维纳语）。数理逻辑、运筹学、控制论等应用数学，都从战争数理逻辑、运筹学、控制论等应用数学，都从战争 的需要中找到了自己生长发育的土壤的需要中找到了自己生长发育的土壤 2020世纪最初的二、三十年中，崇尚纯粹世纪最初的二、三十年中，崇尚纯粹数学，忽视数学应用，成为数学研究的数学，忽视数学应用，成为数学研究的主要思想倾向主要思想倾向 2020世纪下半叶，是应用数学发展的高峰期世纪下半叶，是应用数学发展的高峰期: : 突变理论、模糊数学以
4、及计算机数学应突变理论、模糊数学以及计算机数学应运而生运而生. . 数学应用受到社会的关注并取得前所未数学应用受到社会的关注并取得前所未有的发展有的发展 数学与其它领域相结合而形成一系列交数学与其它领域相结合而形成一系列交叉学科叉学科 2 2 数学模型方法数学模型方法哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡七桥问题 是将实际问题转化为数学问题，并借助数学是将实际问题转化为数学问题，并借助数学理论来解释现实问题的方法理论来解释现实问题的方法 用数学模型方法解决实际问题，主要经历以下用数学模型方法解决实际问题，主要经历以下的几个步骤的几个步骤： 建构数学模型的过程是不断地实践检验、重构的过建构数学模型的过程是不断
5、地实践检验、重构的过程程。为建模提供必要的观测数据和经验性的结论为建模提供必要的观测数据和经验性的结论 区分现实问题中的主次因素，简化现实问题的结构关系，区分现实问题中的主次因素，简化现实问题的结构关系，给出这些因素、关系的数学概念和数学结构，数学模型给出这些因素、关系的数学概念和数学结构，数学模型的解常常需要与计算机有关的算法设计的解常常需要与计算机有关的算法设计 p 构建数学模型构建数学模型 p 求解数学问题求解数学问题 p 回到实际中解释结果回到实际中解释结果生态学中应用的范例生态学中应用的范例: : 意大利数学家伏尔泰拉建立了一个数学模型，用微分方程意大利数学家伏尔泰拉建立了一个数学模
6、型，用微分方程 描描 述捕食者与猎物之间的相互消长，得到的解为：述捕食者与猎物之间的相互消长，得到的解为： 猎物（小鱼）和捕食者（大鱼）的平均数分别为猎物（小鱼）和捕食者（大鱼）的平均数分别为 ( (a a2 2+ +c c)/)/b b1 1, (, (a a1 1c c)/)/b b2 2. .（其中（其中a a1 1，a a2 2，b b1 1，b b2 2都是参数，都是参数，c c是是捕鱼量）捕鱼量） 当捕鱼量当捕鱼量c c增加时，捕食者减少，猎物增加；增加时，捕食者减少，猎物增加； 当当c c减小时，捕食者增加减小时，捕食者增加 而猎物减小而猎物减小2020世纪世纪2020年代，意大
7、利生物学家迪安康纳在研究地中海各年代，意大利生物学家迪安康纳在研究地中海各 种鱼群的变化及其相互影响时发现，鲨鱼及其它凶猛大鱼种鱼群的变化及其相互影响时发现，鲨鱼及其它凶猛大鱼的捕获量在全部捕鱼量中的比例有戏剧性的变化的捕获量在全部捕鱼量中的比例有戏剧性的变化: :在第一次世界大战期间凶猛大鱼的捕获量成倍增长在第一次世界大战期间凶猛大鱼的捕获量成倍增长 数学模型给出的结果，可以给这一现象解释如下：数学模型给出的结果，可以给这一现象解释如下：v 因战争捕鱼量下降，凶猛大鱼因战争捕鱼量下降，凶猛大鱼 的数量增加的数量增加v 战战 后捕鱼量逐渐增加，凶猛大鱼的数量便逐后捕鱼量逐渐增加，凶猛大鱼的数量
8、便逐渐下降。渐下降。这一模型所揭示的规律现在称为伏尔泰拉原理这一模型所揭示的规律现在称为伏尔泰拉原理 3 3 非线性数学非线性数学 对现实世界中的各类问题的线性处理：对现实世界中的各类问题的线性处理： 譬如，牛顿用动力学定律描述物体的确定性现象：譬如，牛顿用动力学定律描述物体的确定性现象： 当物体在外力作用下，如果已知当物体在外力作用下，如果已知 在初始时刻在初始时刻t t0, 0, ，物物体位于初始位置体位于初始位置x x0 0，就可以推知物体在未来时刻，就可以推知物体在未来时刻t t的的位置。位置。 在这里，一个基本的假设是运动关于初始值是稳在这里，一个基本的假设是运动关于初始值是稳定的，
9、即初值的微小误差，不会影响物体未来的运动定的，即初值的微小误差，不会影响物体未来的运动轨迹。轨迹。 v世界本质上是非线性的：绝大多数的事物并非是稳定的、有世界本质上是非线性的：绝大多数的事物并非是稳定的、有序的和平衡的。序的和平衡的。 譬如，蝴蝶效应（对初始条件的敏感依赖性），描述这譬如，蝴蝶效应（对初始条件的敏感依赖性），描述这类系统的数学模型不同于牛顿力学的原理，而是更为复杂的类系统的数学模型不同于牛顿力学的原理，而是更为复杂的非线性系统的原理和模型。非线性系统的原理和模型。v非线性问题没有一般的求解方法。往往很难求得准确解，常非线性问题没有一般的求解方法。往往很难求得准确解，常采用线性逼
10、近的方法求得非线性问题的近似解。采用线性逼近的方法求得非线性问题的近似解。例如：例如： “拟线性拟线性”的方法的方法 。人口增长数学模型：从线性方程到非线性方程人口增长数学模型：从线性方程到非线性方程 马尔萨斯的线性方程数学模型：马尔萨斯的线性方程数学模型： 人口的增长率与现有的人口数成正比，即人口的增长率与现有的人口数成正比，即 axx .v按照这个模型考察短期人口的增长情况，基本是正确的。 但是用它未预见更长一段时期的情况，就很难奏效。比如， 1965年1月的世界人口是33.4亿，由于1960年至1970年世界人口的平均增长率为2%。按马尔萨斯的模型计算，到2660年，世界人口将达到3.6
11、107亿。这样，即使我们把占地球面积80%的水面也住上人，届时每个人的肩上也得站两个人。逻辑斯蒂模型，一个非线性方程及其解逻辑斯蒂模型，一个非线性方程及其解: 2 xxx)(0ttcex 其中其中c c0 0是常数，它由是常数，它由t t0 0时的人口数时的人口数x x0 0= =/(/(+ +c c) )确定。确定。当当t t趋于无穷大时，趋于无穷大时，x x 趋于趋于/ /。这表示在资源有限的区。这表示在资源有限的区域内，人口不能无限制地增长，它要趋于一个饱和值域内，人口不能无限制地增长，它要趋于一个饱和值（/ /）。）。 按照逻辑斯蒂模型计算，地球总人数的饱和值估计将是按照逻辑斯蒂模型计
12、算，地球总人数的饱和值估计将是107.6107.6亿，而按照这一模型曲线，在人口达到这个饱和值亿，而按照这一模型曲线，在人口达到这个饱和值的一半之前，是人口加速增长时期；达到其一半之后，人的一半之前，是人口加速增长时期；达到其一半之后，人口增长率就降低，进入减速增长时期，最终的增长率趋于口增长率就降低，进入减速增长时期，最终的增长率趋于零。零。量子场理论量子场理论 _麦克斯韦方程麦克斯韦方程 _杨杨米尔斯方程米尔斯方程整体微分几何整体微分几何 _陈示性类与纤维丛理论陈示性类与纤维丛理论 数学与物理的内在和谐性数学与物理的内在和谐性 4 4 杨杨米尔斯方程与现代微分几何米尔斯方程与现代微分几何现
13、代理论物理学和核心数学的所有子学科间紧密现代理论物理学和核心数学的所有子学科间紧密联系的漂亮的范例联系的漂亮的范例 v19671967年，杨振宁在研究规范场理论的推广问题时，发现了黎年，杨振宁在研究规范场理论的推广问题时，发现了黎曼几何中的公式规范场公式的特例。曼几何中的公式规范场公式的特例。19751975年初杨振宁听了一系列数学讲座，开始使用纤维丛理论年初杨振宁听了一系列数学讲座，开始使用纤维丛理论解释物理现象，并于当年发表了论文解释物理现象，并于当年发表了论文, ,明确指出了明确指出了 纤维丛理纤维丛理论和规范场理论的联系，将这两个领域的概念建立了一一对论和规范场理论的联系，将这两个领域
14、的概念建立了一一对应的关系应的关系 。v杨杨米尔斯理论乃是吸引未来越来越多数学家的一门年轻米尔斯理论乃是吸引未来越来越多数学家的一门年轻的学科。的学科。 5 5 折叠与突变理论折叠与突变理论 经典的系统稳定性的理论：稳定性系统是一经典的系统稳定性的理论：稳定性系统是一种当影响系统的因素连续变化时，其系统的行种当影响系统的因素连续变化时，其系统的行为也连续变化的系统，而且当因素发生微小变为也连续变化的系统，而且当因素发生微小变化，系统的行为也只发生微小的变化。化，系统的行为也只发生微小的变化。 突变现象则是自然界和社会中普遍存在的另突变现象则是自然界和社会中普遍存在的另一类不具有稳定状态的客观现
15、象，一类不具有稳定状态的客观现象， 1972 1972年，法国拓扑学家托姆创立了突变年，法国拓扑学家托姆创立了突变理论的数学模型。突变理论就是运用一些典理论的数学模型。突变理论就是运用一些典型函数在一些临界点（即能使系统状态在微型函数在一些临界点（即能使系统状态在微小小“扰动扰动”下产生巨变的自变量值）的性态下产生巨变的自变量值）的性态来刻划突变现象。来刻划突变现象。 最简单的突变模型：最简单的突变模型： f f ( (x x)=(1/3) )=(1/3) x x3 3 ，在，在x x=0=0处，给出一个微扰，形成了一个函数族处，给出一个微扰，形成了一个函数族f fa a( (x x)= )=
16、 (1/3) (1/3) x x3 3+ +axax 系统系统V V（x x, 1/3, 1/3,a a），对），对于参数于参数a a的某些值，的某些值，使使x x = 0= 0这个点（或这个点（或附近）有影响系统突附近）有影响系统突变的两个临界点。即变的两个临界点。即正是参数正是参数a a的微扰而的微扰而产生系统出现突变。产生系统出现突变。尖角型模型尖角型模型 的实例的实例气液相变中的突变现气液相变中的突变现象水的密度象水的密度是温度是温度 T T 和压力和压力 P P 的函数的函数 用用、T T、P P三个变量组成三个变量组成三维行为空间如图，其中三维行为空间如图，其中两个水平轴表示相变条件：两个水平轴表示相变条件：温度与压力，称为控制平温度与压力，称为控制平面；垂直于控制平面的第面；垂直于控制平面的第三轴表示水的状态：密度；三轴表示水的状态：密度；水的密度变化可用一个特水的密度变化可用一个特殊曲面表示，称为行为曲殊曲面表示，称为行为曲面。面。 整个行为曲面由液态的整个行为曲面由液态的 高密度区向气态的低密度倾高密度区向气态的低密度倾斜，说明随温度上升和压力下降，密度变小斜，说明随
