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1、经济数学模型经济数学模型第二章第二章 微分方程与差分方程模型微分方程与差分方程模型经济数学模型经济数学模型模型一 利率模型经济数学模型经济数学模型一、单利模型设年利率为r,初始资金量为S0,n年后资金量为Sn01nSSnr（）n年后的本利和为经济数学模型经济数学模型二、复利模型01nSSrn（）1、离散型复利模型每年结算一次，n年后的本利和为每年结算m次，n年后的本利和为01mnnrSSm（）经济数学模型经济数学模型2、连续型复利模型连续结算（瞬时结算），n年后的本利和为00lim1mnrnnmrSSS em（）经济数学模型经济数学模型三、现值模型1、单利现值模型若n年后的资金量是Sn,则初期
2、的资金量为01nSSnr在现值模型中，年利率r也称为折现率经济数学模型经济数学模型-01nnSSr（）2、复利现值模型每年折现一次，若n年后的资金是Sn,则初期的资金为经济数学模型经济数学模型每年折现m次，若n年后的资金量是Sn,则初期的资金量为01mnnrSSm（）连续折现,若n年后的资金量是Sn,则初期的资金量为0rnnSS e经济数学模型经济数学模型 模型二模型二 生猪出售问题生猪出售问题经济数学模型经济数学模型饲养场每天投入饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设备，元资金，用于饲料、人力、设备，估计估计使当前使当前80千克重的生猪每天增加千克重的生猪每天增加2公斤。公斤。问问题题市
3、场价格目前为每千克市场价格目前为每千克8元，但是元，但是预测预测每天会降每天会降低低 0.1元，问生猪应何时出售。元，问生猪应何时出售。如果如果估计估计和和预测预测有误差，对结果有何影响。有误差，对结果有何影响。分分析析投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大经济数学模型经济数学模型trtgttQ4)80)(8()(求求 t 使使Q(t)最大最大rggrt240410天后出售，可多得利润天后出售，可多得利润20元元建模及求解建模及求解生猪体重生猪体重 w=80+rt出售价格出
4、售价格 p=8-gt销售收入销售收入 R=pw资金投入资金投入 C=4t利润利润 Q=R-C=pw -C生猪的增长速度生猪的增长速度r=2，若当前出售，利润为若当前出售，利润为808=640（元）（元）t 天天出售出售=10Q(10)=660 640收购价格降低速度收购价格降低速度g=0.1经济数学模型经济数学模型敏感性分析敏感性分析研究研究 r, g变化时对模型结果的影响变化时对模型结果的影响 估计估计r=2， g=0.1rggrt2404 设设g=0.1不变不变 5 . 1,6040rrrtt 对对r 的（相对）敏感度的（相对）敏感度 rrttrtS/),(trdrdt3604060),(
5、rrtS生猪每天体重增加量生猪每天体重增加量r 增加增加1%，出售时间推迟，出售时间推迟3%。 1.522.5305101520rt经济数学模型经济数学模型敏感性分析敏感性分析估计估计r=2， g=0.1rggrt2404研究研究 r, g变化时对模型结果的影响变化时对模型结果的影响 设设r=2不变不变 15. 00,203gggtt 对对g的（相对）敏感度的（相对）敏感度 tgdgdtggttgtS/),(32033),(ggtS生猪价格每天的降低量生猪价格每天的降低量g增加增加1%，出售时间提前，出售时间提前3%。 0.060.080.10.120.140.160102030gt经济数学模
6、型经济数学模型 模型三模型三 森林救火问题森林救火问题经济数学模型经济数学模型森林失火后，要确定派出消防队员的数量。森林失火后，要确定派出消防队员的数量。队员多，森林损失小，救援费用大；队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用可能更大。队员少，森林损失大，救援费用可能更大。综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。问题问题分析分析问题问题记队员人数记队员人数x, 失火时刻失火时刻t=0, 开始救火时刻开始救火时刻t1, 灭火时刻灭火时刻t2, 时刻时刻t森林烧毁面积森林烧毁面积B(t). 损失费损失费f1(x)是是x的减函数的减函数, 由烧
7、毁面积由烧毁面积B(t2)决定决定. 救援费救援费f2(x)是是x的增函数的增函数, 由队员人数和救火时间决定由队员人数和救火时间决定.存在恰当的存在恰当的x，使，使f1(x), f2(x)之和最小之和最小经济数学模型经济数学模型 关键是对关键是对B(t)作出合理的简化假设作出合理的简化假设.问题问题分析分析失火时刻失火时刻t=0, 开始救火时刻开始救火时刻t1, 灭火时刻灭火时刻t2, 画出时刻画出时刻 t 森林烧毁面积森林烧毁面积B(t)的大致图形的大致图形t1t20tBB(t2)分析分析B(t)比较困难比较困难,转而讨论森林烧毁转而讨论森林烧毁速度速度dB/dt.经济数学模型经济数学模型
8、模型假设模型假设 3）f1(x)与与B(t2)成正比，系数成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失费）烧毁单位面积损失费） 1）0 t t1, dB/dt 与与 t成正比，系数成正比，系数 (火势蔓延速度）火势蔓延速度） 2）t1 t t2, 降为降为 - x ( 为队员的平均灭火为队员的平均灭火速度）速度） 4）每个）每个队员的单位时间灭火费用队员的单位时间灭火费用c2, 一次性费用一次性费用c3假设假设1）的解释的解释 rB火势以失火点为中心，火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，均匀向四周呈圆形蔓延，半径半径 r与与 t 成正比成正比面积面积 B与与 t2成正比，成正比， dB/dt与与
9、 t成正比成正比.经济数学模型经济数学模型xbtt12202)()(tdttBtB模型建立模型建立dtdBb0t1tt2x假设假设1）,1tbxcttxcxftBcxf31222211)()(),()(目标函数目标函数总费用总费用)()()(21xfxfxC假设假设3）4）xttt112假设假设2）)(222212212xttbt经济数学模型经济数学模型模型模型应用应用c1,c2,c3已知已知, t1可估计可估计, c3 , x 结果结果解释解释231221122ctctcxc1烧毁单位面积损失费烧毁单位面积损失费, c2每个每个队员单位时间灭火费队员单位时间灭火费, c3每个每个队员一次性费
10、用队员一次性费用, t1开始救火时刻开始救火时刻, 火火势蔓延速度势蔓延速度, 每个每个队员平均灭火队员平均灭火速度速度. , 可可设置一系列数值设置一系列数值由模型决定队员数量由模型决定队员数量x c1, t1, x 2c经济数学模型经济数学模型 模型四模型四 产品销售问题（扩展）产品销售问题（扩展）经济数学模型经济数学模型一、独家耐用产品销售模型一、独家耐用产品销售模型 一种耐用新产品进入市场后，一般会经过一种耐用新产品进入市场后，一般会经过一个销售量先增加，然后下降的过程，称为产一个销售量先增加，然后下降的过程，称为产品的生命周期，简记为品的生命周期，简记为PLCPLC。PLCPLC曲线
11、可能有若曲线可能有若干种情况，其中有一种为钟型，建立数学模型干种情况，其中有一种为钟型，建立数学模型分析此现象。分析此现象。经济数学模型经济数学模型问题分析问题分析商品信息传播一般有两个途径：商品信息传播一般有两个途径：w消费者外部信息消费者外部信息: :广告、亲眼看到商品等。广告、亲眼看到商品等。w消费者内部信息消费者内部信息: :部分人使用并有所评价部分人使用并有所评价, ,使周围使周围人了解到有关产品信息。人了解到有关产品信息。 由于是耐用消费品，所以一般不会重复购买，由于是耐用消费品，所以一般不会重复购买，故产品累计销售量可以认为是购买者人数。故产品累计销售量可以认为是购买者人数。经济
12、数学模型经济数学模型建模与求解建模与求解 设设K K为潜在的消费者总数。为潜在的消费者总数。 n(t)n(t)为为t t 时刻购买该产品的人数，在时刻购买该产品的人数，在 t , t+t t , t+t 中，中，nn由两部分组成，由两部分组成，nn1 1是由来自消费者外部的是由来自消费者外部的产品信息导致的购买者增量；产品信息导致的购买者增量；nn2 2 是由来自消费者是由来自消费者内部传播的产品信息导致的购买者增量。内部传播的产品信息导致的购买者增量。 n n1 1应与未购买者人数成正比，即应与未购买者人数成正比，即 ttnKan1经济数学模型经济数学模型n n2 2应与已购买者人数、未购买
13、者人数之积成正比，应与已购买者人数、未购买者人数之积成正比，即即 2( )( )nbn tKn tt（a，b 0 0为比例系数为比例系数） ( )( )( )( )n ta Kn ttbn tKn tt 21nnn 在在 t ,t+t t ,t+t 中，中，n n 总数为总数为经济数学模型经济数学模型所以销售量的数学模型为所以销售量的数学模型为: :( )( )(0)0dnKn tabn tdtn ()()1 1a bK ta bK ten tKbKea其曲线即为其曲线即为PLC PLC 曲线，它的图形为钟型。曲线，它的图形为钟型。 经济数学模型经济数学模型二、两家竞争的销售模型二、两家竞争的
14、销售模型假设假设1、两家企业销售同一种商品，而市场容量是两家企业销售同一种商品，而市场容量是 有限的，设有限的，设t t时刻的市场容量为时刻的市场容量为M(t)M(t). .2、设设N(t)N(t) 是是t t时刻市场的潜在销量，时刻市场的潜在销量， 分别是甲厂和乙厂的销量。分别是甲厂和乙厂的销量。)( )(21tStS、3、甲、乙两厂销量的变化率都与潜在的市场甲、乙两厂销量的变化率都与潜在的市场 销量销量N(t)N(t)成正比。成正比。经济数学模型经济数学模型建立模型建立模型(3) )()()()(2) (1) 212211tStStMtNNCdtdSNCdtdS将将（1 1）、（）、（2
15、2）两式相除并两端积分两式相除并两端积分：4132CSCS经济数学模型经济数学模型CBeASdtdSt 11将上式代入（3），再代入（1），得不妨假设市场容量函数为不妨假设市场容量函数为 ( )(1) tM te,0 为常数tt0M(t) 经济数学模型经济数学模型解得3 t211)(KeKeKtSAt3 t212)(MeMeMtSAt其中 都是常数。321321,MMMKKK由此可见，甲、乙两厂的销售模型是同一类型。同理经济数学模型经济数学模型 模型五模型五 最优价格问题最优价格问题经济数学模型经济数学模型 设某电视机厂生产一台电视机的成本为c, 每台电视机的销售价格为 p, 销售量为 x。假
16、设该厂的生产处于平衡状态 ，即电视机的生产量等于销售量。根据市场预测, 销售量 x与销售价格 p 之间有如下关系： ) 1 ()0, 0(aMMexap其中M 为市场最大需求量，a 是价格系数。同时，生产部门根据对生产环节的分析，对每台电视机的生产成本 c 有如下测算：)2() 1, 0(ln0 xkxkcc经济数学模型经济数学模型其中c0 是只生产一台电视机的成本, k 是规模系数。根据上述条件，应该如何确定电视机的销售价格 p, 才能使该厂获得最大利润？分析分析：在生产和销售商品过程中，商品销售量、生产成本与销售价格 是相互影响的。厂商只有选择合理的销售价格最优价格最优价格,才能获得最大利润。经济数学模型经济数学模型设厂家获得的利润为u, 每台电视机的生产成本为c,销售价格为p,销售量为x, 则利润函数为 u = (p - c) x (3)问题变化为在条件(1)(2)下求解利润函数的最大值。 构造拉格朗日函数( , , , , )L x p c ()pc x()apxMe0(ln )(4)cckx经济数学模型经济数学模型()0(5)xLpckx令0(6)appLxaM0(7)cLx
