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1、1 一个半径为一个半径为R的球体内，分布着电荷体密度的球体内，分布着电荷体密度=kr，式，式中中r是径向距离，是径向距离，k是常量。求空间的场强分布，并画出是常量。求空间的场强分布，并画出E-r图图. 补充题补充题球内时球内时,qdV据高斯通量定理，得据高斯通量定理，得22001,()44qkrErRr内解：4kr204rkrr drRdr球外时，球外时，204RqdVkrr dr422001,()44qkRErRrr外4kROErR204kRE2rE E21rRr例例：*图为一球对称电荷分布的静电场的图为一球对称电荷分布的静电场的 曲线曲线 请指出它是下面哪一种带电体产生的？请指出它是下面哪
2、一种带电体产生的？ArrA1.半径为半径为R的均匀带电球面的均匀带电球面2.半径为半径为R的均匀带电球体的均匀带电球体4.4.半径为半径为R,R,电荷体密度电荷体密度 (A(A为常数）为常数）的非均匀带电球体的非均匀带电球体3.3.半径为半径为R,R,电荷体密度电荷体密度 (A(A为常数）为常数）的非均匀带电球体的非均匀带电球体 Rr 0E解：解：(1)Rr rE03（2）2014iSE dSErq 内（3）rdrdV24rdrrAdVdq24rdrAdqqr0344Ar40214ArrE204rAE()rROrdrr（4）2014iSE dSErq 内rdrdV24rdrArdrrAdVdq
3、44222 Ar202214ArrErdrAdqqr0402AE （常数）（常数）()rR3 半径为半径为R的无限长圆柱体，柱内电荷体密度的无限长圆柱体，柱内电荷体密度=ar-br, r为某点到圆柱轴线的距离，为某点到圆柱轴线的距离，a、b为常量。试求带电圆柱体内外电为常量。试求带电圆柱体内外电场分布。场分布。解解: :选取长为选取长为l，半径为，半径为r，与带电圆柱同轴的柱形高斯，与带电圆柱同轴的柱形高斯面面S.2SSEd(d dd柱 面 ）上 底 ）下 底 ）sssE SE SE S02 qrl E补充题补充题 Rlr因此可用高斯定理求解。因此可用高斯定理求解。由高斯定理可知由高斯定理可知
4、: :当rR时，高斯面S内所包围电荷的代数和为:qVdV2340()22()34Rabarbrrl drlRR代入(1)可得:34043()12aRbRErRr因为电荷相对轴线呈对称分布，所以距轴线为因为电荷相对轴线呈对称分布，所以距轴线为r的场点的的场点的场强数值相等，场强方向沿圆柱径向场强数值相等，场强方向沿圆柱径向.S4 实验发现实验发现,在地球大气层的一个广大区域中存在地球大气层的一个广大区域中存在着电场在着电场,其方向是竖直向下的其方向是竖直向下的.在在2.0102米高度米高度,场强为场强为1.0102伏特伏特/米米;而在而在3.0102米高度米高度, 场强为场强为0.60102伏特
5、伏特/米米. 求从离地求从离地200米至米至300米之间大气中电荷的平均体密度米之间大气中电荷的平均体密度解：选取厚为选取厚为h，半径为，半径为r的园的园柱形高斯面柱形高斯面S.由高斯定理由高斯定理: :qsdEs0101E SE Ssh下上0()EEh下上311105 . 3mC得hrEE下E上补充题补充题5补充题补充题 如图所示，一半径为R的半球面，其上均匀地带有正电荷，电荷面密度为，试求球心处的电场强度E。解解:取坐标轴取坐标轴OX，将带电半球面分成许多宽度，将带电半球面分成许多宽度极窄的半径不同的带电圆环，其上任意一个极窄的半径不同的带电圆环，其上任意一个圆环上的带电量为圆环上的带电量
6、为:为便于计算，可采用角量描述。为便于计算，可采用角量描述。 因为:dqdS2sindSRRddqdS2sinRRd 据带电圆环在轴线上一点的场强公式，201cos4qdEr223 2014()qxR可得该带电圆环在P点产生场强dE的大小为201cos4dqdER注意:斜边斜边由于dq为正，故dE方向沿X轴正方向。将dq带入上式，可得:2012sincos4RRddER 0sincos2d则整个半球面在球心P点处产生的场强的大小为: EdE200sincos2d04方向沿X轴正方向6补充题补充题 如图所示，一无限大均匀带电平面，电荷面密度为+，其上挖去一半径为R的圆孔。通过圆孔中心O，并垂直于
7、平面的X轴上有一点P，OP=x。试求P点处的场强。解解: :本题可用取圆环带本题可用取圆环带的方法求解，的方法求解，也可用补偿法求解也可用补偿法求解。解法一 取一细圆环带，取一细圆环带，其半径为其半径为r r（rRrR），），带宽为带宽为drdr，则圆环带的面积为则圆环带的面积为dS=2rdr,dS=2rdr,其上带电量为其上带电量为dq=dS=2rdr;dq=dS=2rdr;应用已知带电细圆环在轴线上的场强公式，可得应用已知带电细圆环在轴线上的场强公式，可得该圆环带在轴线上该圆环带在轴线上 7P点产生电场的大小: 因此，该系统在P点产生总场强的大小为:方向沿X轴正方向。223/20dd4()
8、x qExr223/202d4()xr rxr223/202d4()Rxr rEdExr221/202()xxR8解法二解法二 半径为半径为R R的圆孔可以看成是其上均匀地分布的圆孔可以看成是其上均匀地分布着电荷面密度为着电荷面密度为+和和-的两种电荷。的两种电荷。 若在圆孔上补一个半径为若在圆孔上补一个半径为R、电荷面密度为、电荷面密度为-的圆的圆盘，则盘，则P点处的场强可以看成是电荷面密度为点处的场强可以看成是电荷面密度为+的无限的无限大均匀带电平面在大均匀带电平面在P点产生的场强点产生的场强E1和电荷面密度为和电荷面密度为-、半径为半径为R的带电圆盘在的带电圆盘在P点产生的场强点产生的场
9、强E2的矢量和，由的矢量和，由于于E1和和E2方向均沿方向均沿X轴方向，轴方向，P点的总场强点的总场强E的大小为的大小为:方向沿X轴正方向。 12PEEE221/202()xxR221/200(1)22()xxR9 均匀带电球面的半径为均匀带电球面的半径为R,总电荷量为总电荷量为q.求电场中任求电场中任一点一点p处的电势处的电势,并作出并作出V-r图图.补充题补充题解：据高斯通量定理，得据高斯通量定理，得01240qrE当rR时，2014PrqVdrr当rR时，RrE dr0()rR()rRqROERr014qr014qRRE drrE drrEdrprVE dl.p.pprVE dr2014
10、Rqdrr014qR10 电荷电荷q均匀分布在半径为均匀分布在半径为R的球体内。求距离球的球体内。求距离球心心r处（处（r小于小于R）的电势。）的电势。 0q (rR)24rEpVE dl30228)3(RrRqV据高斯通量定理据高斯通量定理,得得.p解：.p0qr (r2. 当当0) , 求球上的感应电荷求球上的感应电荷q 有多少有多少? 静电平衡时, 导体为一等势体, 即为电势为零的等势体, 从而球心处的电势零。而感应电荷相距球心是等距的, 从而我们有/002qqUKKRR/2qq 补充题补充题解：37 解解:令无限长直线如图放置，电荷线密度为令无限长直线如图放置，电荷线密度为 。计。计算
11、在算在x轴上距直线为轴上距直线为r的任一点的任一点P处的电势。处的电势。yrOPP1xr1因为无限长带电直线的电荷分布延伸到无限远的，因为无限长带电直线的电荷分布延伸到无限远的，所以在这种情况下不能用连续分布电荷的电势公式所以在这种情况下不能用连续分布电荷的电势公式来计算电势来计算电势V V，否则必得出无限大的结果，显然是没，否则必得出无限大的结果，显然是没有意义的。同样也不能直接用公式来计算电势，不有意义的。同样也不能直接用公式来计算电势，不然也将得出电场任一点的电势值为无限大的结果。然也将得出电场任一点的电势值为无限大的结果。 计算无限长均匀带电直线电场的电势分布。计算无限长均匀带电直线电
12、场的电势分布。为了能求得为了能求得P点的电势，可先应用电势差和场强的关系式，点的电势，可先应用电势差和场强的关系式，求出轴上求出轴上P点与参考点点与参考点P1的电势差。无限长均匀带电的电势差。无限长均匀带电直线在直线在X轴上的场强为轴上的场强为rE02 过过P点沿点沿X轴积分可算得轴积分可算得P点与参考点点与参考点P1的电势差的电势差11drPPrVVEr 由于由于ln1=0，所以本题中若选离直线为，所以本题中若选离直线为r1=1 m处作为电势零点，则很方便地可得处作为电势零点，则很方便地可得P点点的电势为的电势为 mPrVln20 这个例题的结果再次表明，在静电场中只有两点的电势差有绝对的意
13、义，而各点的电势这个例题的结果再次表明，在静电场中只有两点的电势差有绝对的意义，而各点的电势值却只有相对的意义。值却只有相对的意义。补充题补充题10d2rrrr10ln2rr38 均匀带电圆环，带电量为均匀带电圆环，带电量为q，半径为，半径为R，求轴线，求轴线上任意一点的上任意一点的P电势。电势。解：解：ddd2qqllRrqV04ddPxxRrrqrqVVLP0044dd2204qxR法一法一) )法二法二) )22 3 2014()qxExR22 3 20dd4()Pxxqx xVElxR2204qxRPxxRr补充题补充题39解：解：220dd4qVrx0dRVV 已知均匀带电圆盘，半径
14、为已知均匀带电圆盘，半径为R,面电荷密度为面电荷密度为 ,求圆盘轴线上任一点求圆盘轴线上任一点P的电势，并从电势出发计算的电势，并从电势出发计算E。oxrdrPdx取圆环取圆环rr+dr)(2220 xxRVxVEx 220()2Rxxx 2222002dd42r rr rrxrx 2200d2Rr rrx220()2Rxx0, 0zyEE补充题补充题EV 40解：解： 采用采用补偿法补偿法来求解，来求解， 电荷密度均匀为电荷密度均匀为 的球体内，有一球形空腔，的球体内，有一球形空腔，将坐标原点建立在球心将坐标原点建立在球心o上，空腔球心的位置矢量为上，空腔球心的位置矢量为 ， 试求空试求空腔
15、内任意点的场强。腔内任意点的场强。利用高斯定理可求均匀带电（没有空腔的）球体利用高斯定理可求均匀带电（没有空腔的）球体内的任意点的场强：内的任意点的场强：302434rrErE03R2R1aPoo1rraa同理负电荷均匀带电球体产生的场强：同理负电荷均匀带电球体产生的场强：rE03在空腔内任意点处的场强：在空腔内任意点处的场强：arrEEE003)(3腔内为均匀电场。腔内为均匀电场。补充题补充题41例例7-20 金属球金属球A与金属球壳与金属球壳B同心放置。同心放置。已知球已知球A半径半径为为R1，带电为，带电为q，金属壳，金属壳B内外半径分别为内外半径分别为R2，R3，带，带电为电为Q。求。
16、求：(1)系统的电荷分布系统的电荷分布(2)空间电势分布及球空间电势分布及球A和壳和壳B的电势。的电势。(3)若若B接地，结果又如何？接地，结果又如何？ABqQ解：解： （1）静电平衡时，）静电平衡时，导体（净）电导体（净）电荷只能分布在导体表面上。荷只能分布在导体表面上。球球A的电量只可能在球的表面。的电量只可能在球的表面。壳壳B有两个表面，电量分布在内、外有两个表面，电量分布在内、外两个表面。两个表面。由于由于A、B对称中心重合，电荷及场对称中心重合，电荷及场分布应该对该中心是球分布应该对该中心是球对称。对称。 电荷在导体表面均匀分布电荷在导体表面均匀分布42qQqq按照高斯定理和电荷守恒定律，按照高斯定理和电荷守恒定律，电荷分布如图所示。电荷分布如图所示。可以等效为：真空中三个中心可以等效为：真空中三个中心相互重合的均匀带电球面。相互重合的均匀带电球面。（2）利用叠加原理求电势）利用叠加原理求电势rqVI04rq04rqQ04rqQ04qqqQ O1R2R3RIIIAB43rqVII0423RrIIRrIBVVV204Rq304RqQ1RrIIAVV304RqQ302010444
