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1、1Chapter 4: Sampling of Continuous-Time Signals4.0 Introduction4.1 Periodic Sampling4.2 Frequency-Domain Representation of Sampling4.3 Reconstruction of a Bandlimited Signal from its Samples4.4 Discrete-Time Processing of Continuous-Time signals4.5 Continuous-time Processing of Discrete-Time Signal
2、and the subsequent reconstruction of a continuous-time signal.24.0 IntroductionContinuous-time signal processing can be implemented through a process of sampling, f=1/T: sampling frequency ,cx nxnTn sradTs/,2T: sampling perioddiscrete-time processing,3()ntnT4.1 Periodic SamplingContinuous-time signa
3、l Sampling sequenceUnit impulse train cnt nTx nT csnx tt nTx t()cxx nnTimpulse train samplingtT: sampling periodn冲激串序列冲激串序列4T：sample period; fs=1/T:sample rate;s=2/T:sample rate ns ttnT2skS jkT 2skS jkT sjktkka es(t)为冲激串序列，可展开傅立叶级数为冲激串序列，可展开傅立叶级数1sjktkeT2()sjktFsek -T1tT0( )s t/2/211( )sTjktkTat edt
4、TT0()S j2T2T2T冲激串的傅立叶变换：冲激串的傅立叶变换： 1*2scXjXjS j ccnnxttnTxnTtnT54.2 Frequency-Domain Representation of Sampling x n ,ns ttnT scx tx t s t2skS jkT 1cskXjkT Representation of in terms of sXj12()2sckkXjdT 1()sckkXjdT 1()2cS jXjdjwX e1*2scXjXjS j ccnnxttnTxnTtnT64.2 Frequency-Domain Representation of Sa
5、mpling x n ,ns ttnT scx tx t s t2skS jkT 1cskXjkT Representation of in terms of sXj12()2sckkXjdT 1()sckkXjdT 1()2cS jXjdjwX e() jnj nnexXe7 sccnxtxntTxt sTtncnj TnxnTe ()cnsjtx nTtXdtnT ej ()cx nx nTDTFT Representation of in terms of ,jweXjXscXjT数字角频率数字角频率，rad模拟角频率模拟角频率, rad/s2sT 1scskXjXjkT 采样角频率采样
6、角频率, rad/s()jTX e() ,njj nXx nee连续时间傅里叶变换和离散时间傅里叶变换间的联系连续时间傅里叶变换和离散时间傅里叶变换间的联系u在奥本海姆的在奥本海姆的信号与系统信号与系统教材里教材里, 在在 “第第7章章 采样采样”内容之前内容之前，连续时间傅里叶变换连续时间傅里叶变换X(j), 和离散时间傅里和离散时间傅里叶变换叶变换X(ej)中涉及的频率都用相同的中涉及的频率都用相同的频率符号频率符号表示表示, 没有加以区分没有加以区分, 各说各话。各说各话。8 (),j tX jx t edt但要注意频率的单位但要注意频率的单位, 一个是一个是rad/s, 另一个无单位另
7、一个无单位; 另另外外, 频率高低与频率高低与取值范围的关系：取值范围的关系：连续时间傅里叶变换连续时间傅里叶变换X(j)中的中的值越大值越大, 频率越高频率越高；但是离散时间傅里叶变；但是离散时间傅里叶变换换X(ej)中的中的值越大值越大, 频率却未必越高：频率却未必越高：X(ej)中的中的的的值是值是的奇数倍的时候的奇数倍的时候, 表示频率最高表示频率最高; 的值是的值是的偶数的偶数倍的时候倍的时候, 表示频率最低。表示频率最低。另外注意连续时间和离散时间的傅里叶变换是否具有另外注意连续时间和离散时间的傅里叶变换是否具有周期性周期性: X(ej)具有周期性具有周期性, 周期周期2。X(j)
8、不具有周期性不具有周期性。() ,ddnjj nXx nee 9 (),j tccXjx t edtu奥本海姆奥本海姆 信号与系统信号与系统在在 “第第7章章 采样采样”的的“7.4 Discrete-Time Processing of Continuous-time Signals”一一节中节中, 因对连续时间信号因对连续时间信号xc(t)进行采样进行采样(得到得到xdn), 在分在分析频谱时需要析频谱时需要同时涉及同时涉及到到连续时间信号的傅里叶变换连续时间信号的傅里叶变换和和离散时间序列的傅里叶变换。离散时间序列的傅里叶变换。u这是两种不同的傅里叶变换这是两种不同的傅里叶变换, 需加以
9、区分需加以区分(如下所示如下所示: 是数字频率是数字频率, 是模拟频率是模拟频率)。因为两种傅里叶变换的频因为两种傅里叶变换的频谱特性谱特性, 特别是随频率变化而变化的特性特别是随频率变化而变化的特性, 如上页所述如上页所述, 表现各有特点表现各有特点, 有相似的地方有相似的地方, 也有截然不同之处。也有截然不同之处。连续时间傅里叶变换和离散时间傅里叶变换间的联系连续时间傅里叶变换和离散时间傅里叶变换间的联系u(在在535页的最后一段中开始页的最后一段中开始)特别将两种傅里叶变换中特别将两种傅里叶变换中的频率符号的频率符号加以区分加以区分(仅仅7.4一节一节, 其他章节没有区分其他章节没有区分
10、):10u因为采样因为采样, 两种不同的傅里叶变换联系起来了两种不同的傅里叶变换联系起来了,不但两种不但两种变换的变换结果可建立起表达式关系变换的变换结果可建立起表达式关系, 而且其各自变换而且其各自变换的自变量频率之间也有表达式关系的自变量频率之间也有表达式关系: =T, 是数字频是数字频率率, 是模拟频率。是模拟频率。连续时间傅里叶变换和离散时间傅里叶变换间的联系连续时间傅里叶变换和离散时间傅里叶变换间的联系() ,ddnjj nXx nee (),j tccXjx t edtu也就是说两种变换的频率含义并非完全相同也就是说两种变换的频率含义并非完全相同, 而是既区而是既区别又有联系。别又
11、有联系。也恰恰是因为采样的缘故也恰恰是因为采样的缘故, 建立起了两种建立起了两种变换的频率之间的表达式关系变换的频率之间的表达式关系: =T。 1()jdcskXeXjkT 信号与系统信号与系统第第7章章7.4节节中的中的538页最上面一段中解页最上面一段中解释了释了=T的比例关系的比例关系: 用用“4.3-5 Time and Frequency Scaling” 性质解释。性质解释。11奥本海姆奥本海姆 信号与系统信号与系统在在 “第第7章章 采样采样”的的“7.4 Discrete-Time Processing of Continuous-time Signals”一一节中节中, 两种
12、傅里叶变换的表示方法两种傅里叶变换的表示方法: 这与奥本海姆这与奥本海姆离散时间信号处理离散时间信号处理教材中用的频率符教材中用的频率符号正好相反号正好相反(该教材中该教材中数字频率数字频率=T, 是模拟频率是模拟频率):() ,njj nXx nee (),jtX jx t edt () ,ddnjj nXx nee (),j tccXjx t edt连续时间傅里叶变换和离散时间傅里叶变换间的联系连续时间傅里叶变换和离散时间傅里叶变换间的联系12()jXe Representation of in terms of jweXcXj1sckXjkT12ckkXjTTTsContinuous F
13、T of Sampling-TcXjT-T()jXeT1T-s, 0=ci XTjfT 1(,)cjXXjTeT DTFT(),1cjXXjTTeDTFTwithout Aliasing13()()jj TX eX e12(),ckjkXXjTTTe0,=cif XjTT 1(),cjthen XXjTTe1scksXjXjkTDTFT Representation of in terms of ,jweXjXscXjContinuous FT/T T T 2sT 14Representation of X(ej) in terms of Xc(j)2T2TAliasing ()jXe12ck
14、kXjTTTT ，1sckXjkT(),1cjXXjTTe, 0=ci XTjfT TT15()jXeDTFT Representation of in terms of jweXcXj2sT 1sckXjkTT ，12ckkXjTTTs-s-2s2s3sContinuous FT of Sampling16Nyquist Sampling Theorem Let be a bandlimited signal with . The frequency is commonly referred as the Nyquist frequency.NThe frequency is called
15、the Nyquist rate,2N cXt0,cNXjfor which is the minimum sampling rate (frequency). Then is uniquely determined by its samples , if . ,0, 1, 2,cx nxnTn K22sNT cXtwithout Aliasing17No aliasing1()( ()scskX jX jkT ()()|jsTX eXj2skS jkT 1(2 )()ckjkXTT1,cXjTTT sNN T2T cF xt =ntnTs t csxtx tt s Fs t SF xt cx
16、nTx n=2sT2sN 满足采样定理条件, 无频率混叠182sT2T1()( ()scskX jX jkT 2skS jkT 1(2 )()ckjkXTT1,cXjTTT aliasing cF xt =ntnTs t csxtx tt s Fs t SF xt cxnTx nsNN = s2sN 不满足采样定理条件()()|jsTX eXjaliasing frequency19NNsaliasing frequency2sT2TNo aliasing1()( ()scskX jX jkT ()()|jsTX eXj2skS jkT 1(2 )()ckjkXTT1,cXjTTT aliasingTNNsT2T cF xt =ntnTs t csxtx tt s Fs t SF xt cxnTx n20Example 4.1: Sampling and Reconstruction of a sinusoidal signal 02cos 4000coscos3cnTTx nxnnw n02120002ssampling frequencyT 0:4000The highest fr
