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1、 传染病模型传染病模型 传染病是人类的大敌，通过疾病传播过程中若干重要因传染病是人类的大敌，通过疾病传播过程中若干重要因素之间的联系建立微分方程加以讨论，研究传染病流行的规素之间的联系建立微分方程加以讨论，研究传染病流行的规律并找出控制疾病流行的方法显然是一件十分有意义的工作。律并找出控制疾病流行的方法显然是一件十分有意义的工作。在本节中，我们将主要用多房室系统的观点来看待传染病的在本节中，我们将主要用多房室系统的观点来看待传染病的流行，并建立起相应的多房室模型。流行，并建立起相应的多房室模型。 医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时
2、，波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。 问题的提出：问题的提出： 设某地区共有设某地区共有n+1人，最初时刻共有人，最初时刻共有i人得病，人得病，t时刻已时刻已感染（感染（infective）的病人数为）的病人数为i(t)，假定每一已感染者在单位，假定每一已感染者在单位时间内将疾病传播给时间内将疾病传播给k个人（个人（
3、k称为该疾病的传染强度），且称为该疾病的传染强度），且设此疾病既不导致死亡也不会康复设此疾病既不导致死亡也不会康复模型模型1 此模型即此模型即MalthusMalthus模型，它大体上反映了传染病流行初期模型，它大体上反映了传染病流行初期的病人增长情况，在医学上有一定的参考价值，但随着时间的的病人增长情况，在医学上有一定的参考价值，但随着时间的推移，将越来越偏离实际情况。推移，将越来越偏离实际情况。 已感染者与尚未感染者之间存在着明显的区别，有必要将已感染者与尚未感染者之间存在着明显的区别，有必要将人群划分成已感染者与尚未感染的易感染，对每一类中的个体人群划分成已感染者与尚未感染的易感染，对每
4、一类中的个体则不加任何区分，来建立两房室系统。则不加任何区分，来建立两房室系统。 ( )odikidti oi则可导出：则可导出：故可得：故可得： ( )ktoi ti e（3.15） 模型模型2 记记t时刻的病人数与易感染人数时刻的病人数与易感染人数（susceptible）分别为分别为i(t)与与s(t)，初始时刻的病人数为，初始时刻的病人数为 i。根据病人不死也不会康。根据病人不死也不会康复的假设及（竞争项）统计筹算律，复的假设及（竞争项）统计筹算律， 1oooicni 其中：其中：(1)(1)(1)( )1k ntok ntoc nei tc e解得：解得：（3.17）( )( )1(
5、 )odikisdti ts tni oi可得：可得：（3.16） 统计结果显示，统计结果显示，( (3.173.17) )预报结果比预报结果比( (3.153.15) )更接近实际情况。医学上称曲线更接近实际情况。医学上称曲线 为传染病为传染病曲线，并称曲线，并称 最大值时刻最大值时刻t1为此传染病的流行为此传染病的流行高峰。高峰。ditdtdidt220d idt令：令：1ln(1)octk n 得：得：此值与传染病的实际高峰期非常接近，可用作医学上的预报公式。 模型模型2 2仍有不足之处，它仍有不足之处，它无法解释医生们发现的现无法解释医生们发现的现象，且当时间趋与无穷时，象，且当时间趋
6、与无穷时，模型预测最终所有人都得模型预测最终所有人都得病，与实际情况不符。病，与实际情况不符。 为了使模型更精为了使模型更精确，有必要再将确，有必要再将人群细分，建立人群细分，建立多房室系统多房室系统infectiverecoveredsusceptiblekl (1) (2)( )( )( )1 (3), ( )0odiksilidtdrlidts ti tr tni(o)i r o（3.18） l 称为传染病恢复系数 求解过程如下：求解过程如下： 对（对（3）式求导，由（）式求导，由（1）、（）、（2）得：）得： dskdrksisdtldt ( )( )kr tlos ts e解得：解得
7、：记：记： lk则：则：1( )( )r tos ts e 将人群划分为三类（见右图）：易感染者、已感染将人群划分为三类（见右图）：易感染者、已感染者和已恢复者（者和已恢复者（recovered）。分别记）。分别记t时刻的三类人数为时刻的三类人数为s(t)、i(t)和和r(t)，则可建立下面的三房室模型：，则可建立下面的三房室模型： 模型模型3infectiverecoveredsusceptiblekl 由由(1)(1)式可得：式可得： didsdsdslidtdtdts dt 从而解得：从而解得：1( )( )( )( )ln( )( )1( )( )ooor tos ti tiss ts
8、s ts er tni ts t 积分得：积分得：( )( )( )lnooos ti tiss ts（3.19） 不难验证，当t+时，r(t)趋向于一个常数，从而可以解释医生们发现的现象。 为揭示产生上述现象的原因（为揭示产生上述现象的原因（3.183.18）中）中的第（的第（1 1）式改写成：）式改写成： ()diki sdt 其中其中 通常是一个与疾病种类有关的通常是一个与疾病种类有关的较大的常数。较大的常数。kl下面对下面对 进行讨论，请参见右图进行讨论，请参见右图0didt如果如果 ，则有则有 ，此疾病在该地区根本流行不起来。，此疾病在该地区根本流行不起来。os如果如果 ，则开始时，
9、则开始时 ，i(t)单增。但在单增。但在i(t)增加的同时，增加的同时，伴随地有伴随地有s(t)单减。当单减。当s(t)减少到小于等于减少到小于等于 时，时， i(t)开始减开始减小，直至此疾病在该地区消失。小，直至此疾病在该地区消失。os0didt鉴于在本模型中的作用，鉴于在本模型中的作用， 被被医生们称为此疾病在该地区医生们称为此疾病在该地区的阀值。的阀值。 的引入解释了为什的引入解释了为什么此疾病没有波及到该地区么此疾病没有波及到该地区的所有人。的所有人。图3-14 综上所述，模型综上所述，模型3 3指出了传染病的以下特征：指出了传染病的以下特征： （1 1）当人群中有人得了某种传染病时
10、，此疾病并不一定流）当人群中有人得了某种传染病时，此疾病并不一定流传，仅当易受感染的人数与超过阀值时，疾病才会流传起来。传，仅当易受感染的人数与超过阀值时，疾病才会流传起来。 （2 2）疾病并非因缺少易感染者而停止传播，相反，是因为）疾病并非因缺少易感染者而停止传播，相反，是因为缺少传播者才停止传播的，否则将导致所有人得病。缺少传播者才停止传播的，否则将导致所有人得病。 （3 3）种群不可能因为某种传染病而绝灭。）种群不可能因为某种传染病而绝灭。 模型检验：模型检验： 医疗机构一般依据医疗机构一般依据r(t)来统计疾病的波及人数来统计疾病的波及人数 ，从广义上，从广义上理解，理解，r(t)为为
11、t时刻已就医而被隔离的人数，是康复还是死亡对时刻已就医而被隔离的人数，是康复还是死亡对模型并无影响。模型并无影响。(1)drlinrsdt rloSS e及：及：注意到：注意到：可得可得：(1)rodrl nrs edt （3.20） 通常情况下，传染病波及的人数占总人数的百分比不会通常情况下，传染病波及的人数占总人数的百分比不会太大，故太大，故 一般是小量。利用泰勒公式展开取前三项，有：一般是小量。利用泰勒公式展开取前三项，有： r211()2rrre 代入（代入（3.203.20）得近似方程：）得近似方程：2112oooSSdrrl nSrdt 积分得：积分得：21( )1tanh()2o
12、oSr tmmltS 其中：其中：1222(1)1oooSS nSm 11tanh1oSm这里双曲正切函数这里双曲正切函数 ：tanhuuuueeuee2222()()4tanh()()uuuuuuuudeeeeudueeee而：而：对对r(t)求导求导 ：2221sec22odrlmhmltdtS（3.21）曲线曲线 2221sec22odrlmhmltdtS在医学上被称为疾病传染曲线。在医学上被称为疾病传染曲线。图图3-14（a）给出了（）给出了（3.21）式曲线的图形，可用医疗单位式曲线的图形，可用医疗单位每天实际登录数进行比较拟合得最优曲线。每天实际登录数进行比较拟合得最优曲线。 图3-14（a）图图3-14（b）记录了）记录了1905年下半年至年下半年至1906年上半年印度孟买瘟年上半年印度孟买瘟疫大流行期间每周死亡人数，不难看出两者有较好的一致性。疫大流行期间每周死亡人数，不难看出两者有较好的一致性。
