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1、建立函数模型解决实际问题探究梯子的长度亳州市第一中学赫娟本次实验教学选取了函数建模教学主题一一探究梯子的长度，作为基于图形计算器的高中数学建模教学案例.【课题】探究梯子的长度【教材分析】本节课选取人教版必修第一册，第4章指数函数与对数函数之后的一个专题一一数学建模，建立函数模型，解决实际问题.课程标准没有对数学建模的内容做具体安排，只是建议将数学建模穿插在相关模块的教学中.本节课选取生活中的建模实例，借助图形计算器，从实际问题出发，通过分析探究、交流合作、小组展示、总结归纳、深化反思等数学活动引导学生建立完整的数学模型解决实际问题，从而深化数学建模思想.【学情分析】本节课的授课对象是高一(23
2、)班学生有利因素：知识方面，学生在初中已经学习过平面几何特征、函数的基本性质、相似、勾股定理和简单最优化问题的求解，对后续的函数建模有一定的辅助作用；技术方面，通过探究书本给出的茶水最佳引用口感的实例，学生可初步操作Tl图形计算器进行图形绘制、添加数据与统计等，通过希沃投屏，可以实现师生、生生之间的有效互动与实时分享；能力方面，学生在义务教育阶段已获得一定的建立模型、数据处理的能力.不利因素：本节课以课题研究形式展开，形式新颖，学生难以适应；实际问题转化为数学问题时，需要获取数据、处理和分析数据，工作量重；高一新生思维简单，如何选择合适的变量建立函数、如何获得函数的最小值对于学生还是有一定难度
3、的.【实验器材】卷尺，TI图形计算器，希沃投屏等.【实验技术准备】(1)能利用图形计算器画出函数图像.(2)能在图形计算器中的“图形”页面中，画定点、画线段、测量线段的长度和动态观测线段长度变化.(3)能利用图形计算器的“图像分析”功能，判断函数取得最值时所处位置.(4)能利用图形计算器的afMax()iifMin)”功能,求方程的最值.【实验创新点】本次实验教学的过程中创新点，主要体现在以下方面：1、实验方式本次实验教学不是传统的课堂，而是让学生走出教室，亲自获取数据、进行数学实验，获得学习经验.2、实验技术本次实验教学借助Tl图形计算器等先进的教育技术，将课堂归还给学生.3、实验内容本次实
4、验教学内容的创新体现在以下三个方面：一、教学形式新，本节课以主题的形式展开建模教学，从选题到结题，使每个学生都经历完整的数学活动.二、教学内容新，本节课以探究梯子的长度为中心，在次基础上创设两个全新、但和情境一保持关联的数学情境，进行模型进阶，实现思维进阶.三、作业布置新，本节课的作业布置，不是做题巩固，而是让学生根据整个建模过程，完善实验报告，促进学生的语言表达能力的提升，和数学思维的进阶.【实验教学目标】知识与技能：能从现实情境中抽象出数学模型，再运用数学符号加以表征，设计出解决方案，利用图形计算器求出最小值.过程与方法：以Tl图形计算器为支撑，通过数学实验、建立数学模型、分析模型等一系列
5、过程，学生经历完整的建模过程，总结数学规律，提升信息技术应用能力.情感态度与价值观：动手操作实验激发数学学习兴趣、提升学习能力，同时渗透生活劳动教育.【实验学习目标】基础知识：将函数、平面几何知识等进行融合，学习数学建模的步骤.基本技能：学会数学建模的方式方法，逐步熟练操作图形计算器.基本思想：体会类比、特殊到一般等思想.基本活动经验：数学实验中，经历探究、猜想、验证、应用过程，增强学习经验.【实验教学重难点】重点：将实际问题抽象为数学问题，通过建模活动将梯子问题建立函数模型、分析函数最值；难点：不同情境下，如何选择合适的模型来求解梯子长度的最小值，并进行验证.【实验教学策略】本课利用TI图形
6、计算器的“图像分析”和“求最值”功能，学生经历由生活问题到数学思考的过程，从中体会数学建模的思想.所采用的策略如下：(1)创设“清理图书馆书柜顶层灰尘”这个高中生常见的生活情境，拉近生活与数学的距离，最大限度调动学生利用图形计算器去建立数学模型的积极性；(2)根据图形计算器的“图像分析”和“求最值”功能，设计出函数模型求最值的实验方案，通过图像分析，对梯子长度的最小值做出直观判断；(3)引入相关数学符号，选取适当的自变量，设梯子底端到柜子的距离为无梯子长度为建立/与X的函数模型，再按实验步骤动手操作图形计算器，画出图像，分析最小值，实现文字、图形、符号语言的相互转化.(4)在数学实验中进行动态
7、教学，体现在：本课共设置三个教学活动，在活动中进行小组探究，实现师生互动,开启头脑风暴，学生集思广益，得出更多的建模方法；教师同时利用图形计算器建立模型，再利用无线导航系统发送给学生，可实时共享教学资源，即时发现学生实验漏洞或错误；本课共有三个情境，并且是在情境一的基础上螺旋上升的，通过对模型进行变式，学生需要经历动态建模循环过程，实现模型进阶，发展高阶思维.【实验教学过程】背景材料清理角落灰尘是常见的生活问题，如何在进行清理工作时避免障碍物，更加高效工作，需要学生做出精准的数学分析与判断，这体现出数学的广泛性，而这种应用性问题常被应试教育中的逻辑推理和符号运算代替了，这种现象应加以重视与纠正
8、，这也是解决这一实际问题的现实意义.一、创设实验情境劳动创造智慧，智慧属于劳动人民.在劳动中我们发现很多数学问题，能不能用你们的数学知识去解决这些现实问题呢？数学实验情境一：某市图书馆有一靠墙书柜，如图IT所示，该书柜的尺寸为长3m,宽0.5m,高2m,其侧面图，如图2所示，由于书柜顶层积满灰尘，现清洁工人对其进行打扫，需用梯子越过书柜，使得梯子顶端靠在墙上，由于书柜不能承受梯子的压力，所以梯子不能太短，若清洁工人带有一架4m长的梯子，你认为他能顺利工作吗？若不能，请说出理由；若能，请你设计实验，求满足要求的梯子的最小长度是多少？图IT某市图书馆图1-2某市图书馆侧面问：如何对这个现实问题进行
9、数学抽象？答：首要任务是建立数学模型，搭建数学与现实的桥梁.问：你能否设计实验方窠，梳理实验过程呢？教学关注：关注学生是否能在现实情境中提出问题、发现问题.能不能想到构建数学模型？会构建什么样的数学模型？教学策略：多媒体展示现实情境，先整体分析现实模型的结构特点等，再有针对性地抓住关键信息，构建对应的整体框架，并尝试利用数学语言表达.设计意图：将现实情境与数学世界联系起来，设问激疑，顺利实现有“生活实例”到“数学问题”的过渡，同时对学生进行生活劳动教育.二、设计实验方案在现实情境中提取出数学信息之后，制定出如下探究方案：(1)图形计算器的“图形”页面中，建立平面直角坐标系，画出“梯子清理书柜灰
10、尘”的侧面图所对应的与尸点相关联的线段16的函数图像.(2)拖动点R初步直观判断梯子长度的最小值，并做出猜想.(3)引出数学符号，建立函数关系式，结合图形计算器中“图像分析”功能,求得准确值.三、建立实验模型师：先根据题意，建立初级几何模型.数学实验1：在“图形”页It计关联性模型，动态观测梯子长度变化.实验操作步骤：按开aE1TI图形计算器，在“图形”页面建立平面直角坐标系；按菜单键画出点P(1,3),在y正半轴上任取一点4多选小P,按菜单键菜单6到“测拖动点4动态观测线段45的长度变化，发现46的最小值是3.3,初步判断4m与X轴交于点反构建线段力昆表示梯子的长度，按菜单键量-长度”页面，
11、可测量线段46长度.的梯子可顺利工作，这仅是直观判断，得出严格结论，需经过进一步的逻辑论证.实验操作步骤：在“图形”页面，按菜单键菜单“图形输入-函数”，可画出材与X的函数图像；按菜单键菜单62到“图像分析-最小师：函数可以表示这种对应的变化关系，因此需要引入函数模型.分析：设梯子底端到柜子的距离为X,梯子长度为则需建立/与X的关系，再利用图形计算器画图像，分析最小值.根据题意，求得1与X的函数关系式为：/(x)=JX2+4+Jp+其中(0).数学实验2：结合“图像分析”功能，求最值.值”，可求出函数的最小值为5.41,因此4m的梯子可以保证顺利工作.用图形计算器找出函数最值，当R=L26时，
12、求得最小值为3.3,符合实际要求.教学关注：关注学生是否精确作图找到最小值，你需要构建一个什么样的数学模型？你的数学模型能否解决这个现实问题？教学策略：先分析实验原理，再借助Tl图形计算器精确做图功能，执行实验原理，按步骤操作，建立数学模型，在操作建模过程中，可以利用TI-nspiren,CASTCaChCr的无线导航系统功能，使学生和教师的操作页面及时呈现，及时找错因，随时纠错误.设计意图：师生探究，动手探索，独立操作，旨在让学生在动手操作中将动手操作的感性认知经过严密的逻辑推理得出理性分析的结论，教师促进学生知识的迁移和三种语言的互译，使学生感受到该定理体现的思想.四、实验模型进阶数学实验
13、情境二：现由于图书馆书籍量较多，须修建书柜，在顶层增加隔板，在保证4m的梯子可以顺利开展清洁工作的情况下，书柜最多可以修多高？数学实验3：建立新的函数表达式，结合“图像分析”功能，求最大值.分析：设梯子底端到柜子的距离为X,修建后书柜的高度为力，建立力与X的关系CLPMX)=J牌界I(QO).建立平面几JI何图形，找出数量关系，分析最值.O0.5DXB用图形计算器找出函数最值，求得最大值为2.6,此时x=1.5(实际情况X只取正值)，符合实际要求.因此，书柜最多可以修2.6m.教学关注：关注学生是否能清楚划分与无关变量的界限，改变条件后，类比上一个情境有哪些异同？画函数图像时注意什么？教学策略
14、：与以上解决过程作对比，比较两者的异同点，把握模型核心本质，情境二模型的建立要基于以上的活动经验，通过知识迁移，经验类比等获得解决方案.设计意图：小组合作，变式训练，把握模型本质，有助于建构新的认知结构.数学实验情境三：工人在图书馆完成清洁后，搬运梯子出去，在电梯口遇到一个十字通道，通道宽分别是Im和2m,他能否顺利保持梯子水平绕过这一拐角？若不能，说出理由，若能，请你设计实验步骤.分析：根据题意，建立如图所示平A面几何图形，找数量关系，列出函数关系式),C为y=,(x0).再绘制函数图像，求最大值，做出合理解释.结合以上活动经验，设计情境三的实验方案、步骤.本课题完成形式是，6人组成一个学习
15、小组，进行交流讨论、相互借鉴，每个小组都要选定代表展示本组的设计成果，师生分析交流，取长补短，汇报最终设计方案.教学关注：关注学生是否能合作探究，是否能准确而简洁地陈述理由？教学策略：自主思考，已有知识作铺垫，消除知识断层感，激发思考.设计意图：锻炼学生解决问题的能力.五、归纳总结实际结果请你们从知识、过程、方法、思想这四个关键词中任选两个谈谈自己的心得体会.教学关注：关注学生是否能梳理、内化知识，是否能体会建模教学蕴含的思想？教学策略：让学生自己选择关键词主动进行交流，有助于克服被动感，从具体的知识上升到思想方法，层层深入.设计意图：归纳总结对于老师和学生而言都是反思的好时机，有助于回顾知识，深入思考，培养学生归纳概括的能力.六、数学建模实验报告建立函数模型解决实际问题年级班完成时间：(1)课题名称(2)研究问题(3)主要仪器设备(4)课题组成员及分工数学求解：实验操作：模型检验：报告撰写：(5)选题的意义(6)研究计划(7)研究过程研究过程：难点及解决方案：(8)研究结果(9)收获与体会(
