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1、第九章第一部分第一部分 二重积分的概念及性质二重积分的概念及性质第二部分第二部分 二重积分的计算方法二重积分的计算方法二重积分第二部分第二部分 二重积分的计算方法二重积分的计算方法大纲要求：大纲要求：掌握二重积分在直角坐标系及极坐标系下的掌握二重积分在直角坐标系及极坐标系下的计算方法计算方法目录 上页 下页 返回 结束 Oy)(1yx)(2yxxdc且在D上连续时, 0),(yxf当被积函数bxaxyxD)()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd若D为 X - 型区域 则O)(1xy)(2xyxbyDax若D为Y - 型区域dycyxyD)()(:21yxyx
2、fyyd),()()(21dcydDyxyxfdd),(则一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分目录 上页 下页 返回 结束 xyOxyDO说明说明: (1) 若积分区域既是 X - 型区域又是Y - 型区域 , Dyxyxfdd),(为计算方便,可选择积分序选择积分序, 必要时还可以交换积分序交换积分序.)(2xyba)(1yx)(2yxdc则有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干2D1D3DX - 型域或Y - 型域 , 321DDDD则 目录 上页 下页 返回 结束 二、利用
3、极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分 sincosd),(yxDyxf Df)sin,cos( dd *)sin,cos( dfd目录 上页 下页 返回 结束 二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图极点在区域之外极点在区域之外ADo)(1 r)(2 r , ).()(21 r Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()()(21 rdrrrfd目录 上页 下页 返回 结束 二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图（极点在区域特征如图（极点在D的边界上）的边界上）AoD)(r, ).(0 r D
4、rdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(0 rdrrrfd注意内下限未必全为注意内下限未必全为0目录 上页 下页 返回 结束 二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图（极点在（极点在D的内部）的内部）DoA)(r,2 0).(0 r Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积. Drdrd 目录 上页 下页 返回 结束 121221d y例例1. 计算,dDyxI其中D 是直线 y1, x2, 及yx 所围的闭区域. 解法解法1. 将D看作X - 型区域
5、, 则:DI21d xyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2. 将D看作Y - 型区域, 则:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy891xy2xy 121 x2 xy21 yxy xyxyO目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 计算,dDyx其中D 是抛物线xy 2所围成的闭区域. 解解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy22 xy214Oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直线则 目录 上页 下
6、页 返回 结束 例例3. 计算,ddsinDyxxx其中D 是直线 ,0,yxy所围成的闭区域.OxyDxxy 解解: 由被积函数可知,因此取D 为X - 型域 :00:xxyDDyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxxx先对 x 积分不行, 说明说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 交换下列积分顺序 ydxyxfdyIln021),()1(解解: 积分域为:,ln020: yxyDD将将视为X - 型区域 , 则 22ln0:yexDx ydxyxfdyIln021),( 22ln1),(xedyyxfdx目
7、录 上页 下页 返回 结束 2例例4. 交换下列积分顺序 22802222020d),(dd),(d)2(xxyyxfxyyxfxI解解: 积分域由两部分组成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxO222280:22xxyD21DDD将:D视为Y - 型区域 , 则282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy1D221xy 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 交换下列积分顺序 102),()3(xxdyyxfdxI解解: 积分域D为X型区域:,010:1 yxyD yxyD2021:2D将将视为Y - 型区域 , 则,210: xyxxD21
8、DDD 102),(xxdyyxfdxI 2120100),(),(yydxyxfdydxyxfdy目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 交换下列积分顺序 22221),()4(xxxdyyxfdxI解解: 积分域为:,2221:2 xxyxxDD将将视为Y - 型区域 , 则 211210:yxyyD 211210),(yydxyxfdy 22221),(xxxdyyxfdxI目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 计算,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所围成.Oyx124xyxy32D1D1x解解: 令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如图所示)显然
9、,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224目录 上页 下页 返回 结束 真题赏析真题赏析计算题计算题1. （10年，年，5分）分） 求由方程求由方程答案：答案：xzzFzyzxFexy 0 xyzez所确定的二元所确定的二元函数函数),(yxfz 的全微分的全微分.yzzFzxzyFexy dyxyexzdxxyeyzdzzz 目录 上页 下页 返回 结束 2. （06年，年，4分）分）求求的极值的极值.3)2(),(22 yxeyxfyx答案：答案：极大值为极大值为2( 4, 2)83.fe(另一驻点（另一驻点（0,0）处不是极值）处不是极值)
