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1、专题一集合与常用逻辑用语1.1集合应用篇知行合一应用集合在实际问题中的应用1.（2021江苏徐州二模,4）某班45名学生参加“312”植树节活动,每位学生都参加除草、植树两项劳动.依据劳动表现,评定为“优秀”“合格”两个等级,结果如下表:优秀合格合计除草301545植树202545若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人,则在两个项目中都“优秀”的人数最多为（A.5B.10C.15D.20答案C用集合A表示除草优秀的学生,集合B表示植树优秀的学生,全班学生用全集U表示,则CuA表示除草合格的学生,CuB表示植树合格的学生,作出Venn图,如图.设两个项目都优秀的人数为X,两个项目都合格的人数
2、为y,由图可得20x+x+30x+y=45,化简得x=y+5,因为ymax=10,所以XmaX=IO+5=15.故选C.2.（2021长沙长郡中学模拟,6）为满足新高考要求,某校实行选课走班教学模式.高一某班共40人,每人选了物理、化学、生物中的一科或两科,没有同时选三科的同学.其中选物理的有23人,选化学的有18人,选生物的有25人,则该班选其中两科的学生人数为（）A.24B.25C.26D.27答案C设同时选择物理、化学的有X人,同时选择物理、生物的有y人,同时选择生物、化学的有Z人,故由题意可知23-x-y+18-xz+25y-z+x+y+z=40,所以x+y+z=26,故该班选其中两科
3、的学生人数为26.故选C.3.(实际生活)某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14,10,8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20,则这三天都开车上班的职工人数至多是()A.5B.6C.7D.8答案B如图所示,(a+b+c+x)表示周一开车上班的人数,(b+d+e+x)表示周二开车上班的人数,(c+e+f+x)表示周三开车上班的人数,x表示三天都开车上班的人数,则有周三!+ b + c + x = 14, + d + e + x = 10,(ac + e + + x = 8,( + b + c + d + e + + x = 20,+2b + 2c + d + 2e + f
4、+ 3% = 32, + b + c + de + x = 20.b+c+e+2x=12,当b=c=e=O时,x取得最大值6,即三天都开车上班的职工人数至多是6.4.(2022届河南师大附中11月月考,13I体育运动)2021年某高中举办学生运动会,某班60名学生中有一半的学生没有参加比赛,参加比赛的学生中,参加田赛的有16人,参加径赛的有20人,则田赛和径赛都参加的人数为.答案6解析设田赛和径赛都参加的学生人数为X,因为60名学生中有一半的学生没有参加比赛,所以参加比赛的学生有30名.根据题意知,只参加田赛的人数为16x,只参加径赛的人数为20-x,则16-x+20x+x=30,解得x=6,
5、即田赛和径赛都参加的人数为6.创新篇守正出奇创新新定义法则类型1.(2021浙江宁波月考设U是一个非空集合,F是U的子集构成的集合,如果F同时满足:。wF,若A,BwF,则A(CB)F且AUBWF,那么称F是U的一个环,下列说法错误的是()A若U=1,2,3,4,5,6,则F=o,1,3,5,2,4.6.U是U的一个环B.若U=a,b,c,则存在U的一个环F.F含有8个元素C.若U=Z,则存在U的一个环F.F含有4个元素且2,3,5eFD.若U=R,则存在U的一个环F,F含有7个元素且0,3,2,4F答案D对于A,由题意可得F=0,1,3,5,2,4,6,U满足环的两个要求,故F是U的一个环,
6、故A中说法正确;对于B,若U=a,b,c,则U的子集有8个,则U的所有子集构成的集合F满足环的定义,且有8个元素,故B中说法正确;对于C,如F=0,2,3,5,2,3,5满足环的要求,且含有4个元素,2,3,5gF,故C中说法正确；对于D,.0,3,2i4F,.0,3Cu2,4=0.2)F,2,4Cu0,3=(3,4F,013u2,4=0,4F,.0,3Cu0,2)=2,3F,0,4mCu2,3=0,2)u(3,4F,再加上。尸中至少8个元素,故D中说法错误,符合题意.故选D.2 .(2021上海杨浦二模,10)非空集合A中所有元素的乘积记为T(A).已知集合乂=1,4,5,7,8,从集合M的
7、所有非空子集中任选一个子集A,则T(A)为偶数的概率是(结果用最简分数表示).2g24答案5T解析因为集合14=1,4,5,7,8,所以集合M的所有非空子集共有251=31个,若T(A)为奇数,则A中元素全部为奇数,又1,5,7的非空子集共有231=7个,所以T(A)为偶数的个数为317=24,故T(A)为偶数的概率是2431,3 .(2022届北京师大附中10月月考,10)已知有限集X,Y,定义集合X-Y=xxwX,且qYJX表示集合X中的元素个数.若X=1,2,3,4,Y=3,4,5,则I(X-Y)U(YX)=()A.3B.4C.5D.6答案A.X=1,2,3,4.Y=3,4,5,X-Y=
8、1,2,Y-X=5,.(X-Y)U(Y-X)=1,2,5,.(X-Y)U(Y-X)I=3,故选A.4 .(2022届北京十三中期中给定集合A,若对于任意a,beA,有a+bwA,且a-beA,则称集合A为闭集合.下列结论正确的个数是()集合A=4,-2,0,2,4为闭集合；集合A=nn=3k,kwZ为闭集合；若集合Ai,A2为闭集合,则AiUA2为闭集合；若集合A,A2为闭集合,且AGR,A2GR,则存在cgR,使得c(AiuA2).A.0B.1C.2D.3答案C对于,4(2)=6任A,故错误；对于,设a=3k(kZ),b=3k2(k2Z),则a+b=3k+3k2=3(k+k2)wA(k,k2
9、wZ),ab=3k-3k2=3(k-k2)eA(k,k2Z),故正确；设A=nn=3k,kZ,A2=nn=5k1keZ,J3wA,5eA2,3+5e(AUA2),故错误,正确.故选C.5 .(2021北京科大附中10月月考,15)将集合M=1,2,3,15表示为它的5个三元子集(三元集:含三个元素的集合)的并集,并且这些三元子集的元素之和都相等,则每个三元集的元素之和为;请写出满足上述条件的集合M的5个三元子集.(只写出一组)答案24;1,8,15,3,7,14,5,6,13,2,10,12,4911(答案不唯一)解析因为5个三元子集的并集为集合M=1,2,3,15,所以元素总和为里竽也=12
10、0,又因为这5个三120元子集的元素之和都相等,所以每个集合的元素之和为詈=24.满足上述条件的集合M的5个三元子集可以是1,8,15,3,7,14,5,6,13,2,10,12,4,9,11.(答案不唯一)6 .(2022届北京入学定位考试,15)记正方体ABCD-ABCD的八个顶点组成的集合为S.若集合MGS,且满足VX,XjGMHXk,XiwM,使得直线XiXrXkXi,则称M是S的“保垂直”子集.给出下列三个结论:集合A,B,C,C是S的“保垂直”子集；集合S的含有6个元素的子集一定是“保垂直”子集；若M是S的“保垂直”子集,且M中含有5个元素,则M中一定有4个点共面.其中所有正确结论
11、的序号是.答案解析对于,没有直线与AC1垂直,所以集合ABC,C不是S的“保垂直”子集,因而错误.对于,如图,当集合M中的6个点是由上底面四个点和下底面两个点或者由上底面两个点和下底面四个点构成时,必有四个点共面,根据正方体的性质,得M是S的“保垂直子集.当集合M中的6个点是由上底面三个点和下底面三个点构成时,若M=A,B,CB1C1JHJAi,A.B1Bi四点共面,符合M是S的“保垂直”子集;若M=A,B,CA,D,C,取A,B,存在ABJAIDl,取B,C,存在BeLCIDI,取C,A,存在ACLBDI,取AA,存在AAUBC,取A,D,存在AD1AB,取AC,存在ACUBAl,取BC存在ABjBCI,取CA,存在CAAD,取C,D,存在CDUBC,取C,C,存在CCuBCNA,C,存在ACAA,符合M是S的“保垂直”子集,因而正确.对于,若M=A,B,C,B,D是S的“保垂直”子集,不存在四点共面,所以错误.综上,所有正确结论的序号是.
