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1、离散型随机变量的均值与方差一、均值1.一般地，若离散型随机变量X的分布列为XXiXlXiXnPPIP2PiPn则称E(X)=xp+x2p2+XiPi+XnPn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.2 .若Y=aX+b,其中a,b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX+b)=aE(X)+b.3 .(1)若X服从两点分布，则E(X)=p；(2)若XB(n,p),则E(X)=np.二、方差1.设离散型随机变量X的分布列为XXiX2eXiXnPPlP2P118,可能获得第一名；而选择乙系列最高得分为90+20=IlOV118,不可能获得第一名.记“该运动员完成K动作得IOO
2、分”为事件A,“该运动员完成。动作得40分”为事件则P（A）=本P（B）=*记“该运动员获得第一名”为事件C,依题意得P(C)=P(4B)+P(A8)=玄+*+=*该运动员获得第一3名的概率为本(2)若该运动员选择乙系列，X的可能取值是50,70,90,110,则P(X=50)=x白=心，IUIUIuU1Q99199981P(X=70)=而X15=旃，p(=90)=而Xm=旃，P(X=IK)=而X而=而内的分布列为：X507090110P1Too9Too9Too81TooE(X)=50+7To9TooIOx器=104.1 .求离散型随机变量的均值关键是先求出随机变量的分布列，然后根据均值定义求
3、解.2 .若随机变量服从二项分布，即XB(n,P)可直接使用公式E(X)=叩求解，可不写出分布列.3 .注意运用均值的线性运算性质即Y=axb则E(Y)=aE(X)+b.例9：有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材厂抽样检查,他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指标，其分布列如下：X8910P0.20.60.2Y8910P0.40.20.4其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，在使用时要求选择较高抗拉强度指数的材料，越稳定越好.试从期望与方差的指标分析该用哪个厂的材料.解：E(X)=80.2+90.6100.2=9,D(X)=(8-9)20.2
4、+(9-9)20.6+(10-9)20.2=0.4;E(Y)=8x0.4+9x0.2+10x0.4=9：D(Y)=(8-9)20.4+(9-9)20.2+(10-9)20.4=0.8.由此可知，E(X)=E(Y)=9,D(X)O(Y),从而两厂材料的抗拉强度指数平均水平相同，但甲厂材料相对稳定，应选甲厂的材料.例10:已知随机变量&+n=8,若&B(10,0.6),则E(),D()分别是()A.6和2.4B.2和2.4C.2和5.6D.6和5.6解：由已知随机变量&+=8,所以有1=8。因此，求得Em)=8-ER)=8-10x0.6=2,D()=(-l)2D()=100.60.4=2.4.例I
5、h袋中有相同的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量自为此时已摸球的次数，求：(1)随机变量的概率分布列：(2)随机变量的数学期望与方差.解：随机变量4可取的值为2,3,4,P(f=2)=;%=3)=笔篇旦=pq=4)=C需=所以随机变量。的概率分布列为：4234P353To1To33155353(2)随机变量的数学期望EG)=2+3行+4访=于随机变量的方差D()=(2-z)2+(3-z)2z+(4-J1V71U44J41VZ2=1 .D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度；D(X)越大表明平均偏离程度越
6、大，说明X的取值越分散，反之D(X)越小，X的取值越集中.2 .若XB(n,p),则D(X)=np(l-p)可直接用不必求E(X)与分布列.例12,某市公租房的房源位于A、B、C三个片区.设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的.求该市的任4位申请人中：恰有2人申请A片区房源的概率；(2)申请的房源所在片区的个数的分布列与期望.解：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重笈试验.记“申请A片区房源”为事件A,则P(A)=；.从而，由独立重复试验中事件A恰发生A次的概率计算公式知，恰有2人申请A片区房源的概率为R=噌(I)哈(2片的所有可能值为1,2,3.又Pe=I)=方弓，尸(k2)=登警产=挤或%=2)=鱼分=祟%=3)=等Q=*或尸(尸3)=早节)综上知，4的分布列为：从而有E(J=1诘+2号+3=*.1P12723142749
