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1、圆锥曲线斜率和与积问题(一)圆锥曲线二次方程的两边除以/便可构造出关于上的二次方程，Ao是这个关于2的方程的两个XX根，当问题涉及或可转化为八+心8或LMMoB时，我们便可利用根与系数的关系解题。lf椭圆斜率互补与垂直的问题22已知点尸(XO,打)是椭圆三+4=l(80)上的一个定点，A,8是椭圆上的两个动点。ab(1)若尸Aj_P8,则直线AB过定点匕/0，-雪二%;IabcbJ(2)若直线PAPB与X轴围成以点尸为顶点的等腰三角形，则直线AB的斜率为定值丝%。证明将椭圆C按向量而(一%,-X)平移得椭圆C：(+：0丫+(+巫=1ab又点P(Xo,%)在椭圆二+二=1上，所以-+2%=1,代
2、入上式得=+M1xy=0。abahahab椭圆C上的定点P(x0,%)和动点A,B分别对应椭圆C上的定点O和动点A,B,设直线Aff的方程为mx+ny=,代入得j+(x与y)+=Oo当x0时，两边除以一得。abab“1+2，。+(冬+2挈)2+1+2jo”=O因为点A,B的坐标满足这个方程,所以左M次的是这个关bJrabXa于上的方程的两个根。Z72(1+ 2x0)a2(l+2y0n)X(1)若PA_LP3,由平移性质知。4JLQ夕，所以ZQNMQ&=即2XOm+2/%=_(/+)，所以一学移一学=1。由此知点(一军工一卫卫在直线a+ba+ba+b-+h)mx+ny=上，即直线AtBt过定点-
3、,从而直线相过定点a+ba+hIf2b2x02a2y0)a2-b2a2-b2、(2)依题意知直线PAP3的倾斜角互补且斜率存在，由平移性质知，直线04,03的倾斜角也互补且斜率存在，所以+Zzr=0,即与+2当”=0,由此得心zr=一%二骂。所以A8的斜率为定值为abny0ay0aL在直角坐标系XOy中，点M到H(-6,0)、F2(G,O)的距离之和是4,点M的轨迹C与X轴的负半轴交于点4,不过点A的直线/：y=依+6与轨迹C交于不同的两点P和Q.(1)求轨迹C的方程；(2)当APAQ=O时,求上与人的关系,并证明直线/过定点.2 .己知椭圆C中心在原点、焦点在X轴上,椭圆。上的点到焦点的最大
4、值为3,最小值为1.(1)求椭圆C的标准方程；若直线/：)=+m(ZHO)与椭圆交于不同的两点M、N(M、N不是左、右顶点),且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A.求证:直线/过定点,并求出定点的坐标.3 .设圆。：+y2=8,将圆。上的每一点的纵坐标都缩到原来的5倍,对应的横坐标不变,得到曲线C.已知点M(2,l),平行于OM的直线/在)，轴上的截距为相，/交曲线。于AB两个不同点.(1)求曲线。的方程；(2)求证:直线MA,MB与X轴始终围成一个等腰三角形.4 .已知椭圆C:*+1=l(ob0)经过点A(2,1),离心率为y-.过点8(3,0)的直线/与椭圆。交于不同的两点M,N.(I)求
5、椭圆C的方程;(H)求BMBN的取值范围；(In)设宜线AM和直线AN的斜率分别为k,M和Lw，求证：乙W+砥N为定值5 .如图，椭圆GJ-+p-=l(。80)的两个焦点分别为耳(0,后),弱(0,-血)，离心率为学。(I)求椭圆。的方程；(II)过椭圆C上的点凶,正)作倾斜角互补的两条直线PA、06分别交椭圆于力、A两点.(i)求证：直线四的斜率为定值；(ii)求APAB面积的最大值。秒杀举声：双曲线斜率互补与垂直的问题y秒杀举抛物线斜率互补与垂直的问题魂皆险滩勰蜷三盒瓯叫蝴旭懒就JW辘岁上的两个动点。冷薯做土锯:ilBf-ba-b）（2）若直线PAPB与X轴围成以点P为顶点的等腰三角形，则
6、直线AB的斜率为定值一二。2（2）若直线PAPB与X轴围成以点P为顶点的等腰三角形，则直线AB的斜率为定值-丝。6 .已知动圆P过点Nao）并且与圆M:（x+5）2+/=16相外切,动圆圆心P的轨迹为W,轨迹W与X轴的交点为。.（I）求轨迹W的方程；（II）设直线/过点（机,0）（m2）且与轨迹W有两个不同的交点A3,求直线/斜率Z的取值范围；（In）在（H）的条件下,若。AO8=0,证明直线/过定点,并求出这个定点的坐标.7 .己知动点P到双曲线：事-2=1的两焦点与，b的距离之和为定值，点P的轨迹C与y轴交于点M,且府初=0.（1）求动点P的轨迹C的方程；（II）过点B作X轴的垂线交轨迹C
7、于第一象限的点N,设A、B是轨迹C上不同的两点，直线BN与AN的斜率互为相反数.试判断直线AB的斜率是否为定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由.证明将抛物线C按向量河一%,一%)平移得抛物线C:(y+y0)2=2p(x+x0)又点P(XO,%)在抛物线)=2px上，所以y20=2po,代入上式得2+2以-2px=0。抛物线C上的定点尸(X0,%)和动点A,B分别对应抛物线C上的定点。和动点A,设直线A:B,的方程为mx+ny=,代入得y2+(2yy0-2pxmx+ny)=0。当XWo时，两边除以一得。2(12y0rz)4+(2y0-2pn)-2pm=0,所以&CW，心&是这个关于上
8、的方程的两个根。XXX(1)若尸A_LP3,由平移性质知OA_LW,所以分八，b*=二=一1，即2机一2%=1,所以点1+2%(2p,-2%)在直线ZnX+y=l上，即直线48过定点(2p,-2%),从而直线AB过定点(2+-X)(2)依题意知直线PAPB的倾斜角互补且斜率存在，由平移性质知，直线。A,08的倾斜角也互补且斜率存在，所以后+火网=0,即2%用一2p=0,由此得3房二一生=一旦。所以AB的斜率为定值一旦%Jo7 .己知点B(-1,O),C(1,O),P是平面上一动点,且满足IPClI8Cl=PBCB(I)求点P的轨迹C对应的方程；(H)已知点4见2)在曲线C上,过点A作曲线。的两
9、条弦4。和AE,且AD_LAE,判断:直线OE是否过定点?并证明你的结论9 .过抛物线L:y2=4x的焦点F的直线1交此抛物线于A、B两点,求IE4+”|二记坐标原点为0求IFAIIFBIOAB的重心G的轨迹方程.点P(Xo,%)为抛物线L上一定点，M、N为抛物线上两个动点，且满足PMPN=0,当点M、N在抛物线上运动时,证明直线MN过定点.10 .已知点Ha,0)(。0),直线/:x=,点E是/上的动点,过点E垂直于y轴的直线与线段EF的垂直平分线交于点P.(l)求点P的轨迹M的方程;(2)若曲线M上在X轴上方的一点A的横坐标为,过点A作两条倾斜角互补的直线,与曲线M的另一个交点分别为B、C,求证:直线BC的斜率为定值.11 .如图，过抛物线y2=2px(p0)上一定点P(x0,y0)(y00),作两条直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(X2，力)(1)求该抛物线上纵坐标为9的点到其焦点F的距离；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求江匹的值，并证明直线AB的斜率是非零常数.%
