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1、Chapter 1 1. 矩阵及运算;2.行列式的性质及定理1.2;3. 矩阵A可逆存在n阶矩阵B, 使得ABBAE; A非奇异(或非退化),即|A|0; A的等价标准形为E; A可表示为有限个初等矩阵的乘积; R(A)=n; 齐次线性方程组AX0仅有零解; A的行(列)向量组线性无关; A的特征值均不为零。4. 可逆矩阵的性质P3615. 特殊分块矩阵的逆矩阵 设A为m阶可逆矩阵, B为n阶可逆矩阵, C为任意mn(或nm)阶矩阵, 则2-1-1-1A0A0=;0B0B-1-1-10A0B=;B0A01-1-1-1-1ACA-A CB=;0B0B-1-1-1-1-1A0A0=;CB-B CA
2、B6. 矩阵的初等变换与矩阵的秩矩阵的初等变换与矩阵的秩Chapter 2 1. 向量的线性组合;2. 线性相关与线性无关;3.向量组的极大线性无关组与向量组的秩;4. 齐次线性方程组AX0的基础解系;非齐次线性方程组AXb的通解; 5. Rn中的标准正交基及正交矩阵。3Chapter 4 1. 特征值与特征向量;2. 相似矩阵及性质;3. 实对称矩阵的特征值及特征向量;4. 矩阵可对角化的条件。41.判断下列命题正确与否, 并说明理由(1)若n阶矩阵A,B满足|A|=|B|，则A=B ;(2)若n阶矩阵A,B满足ABBA, 则|AB|BA| ;(3)若n阶矩阵A,B满足|A+AB|=0A =
3、 -AB;(4)若n(1)阶矩阵A满足|A|=k, 则|A+A|=2k ;(5)若n阶矩阵A,B满足AB=E, 则|A|=|B| ;(6)若n阶矩阵A,B的元素均为整数, 且AB=E, 则|A|=|B|;5 (7)二阶行列式等于零行列式的两行成比例;(8)若n阶矩阵A,B的为对角阵, 则|A+B|=|A|+|B|;(9)若A为奇数阶矩阵, 则|A - AT|=0;(10) 设A,B均为n阶矩阵, 则AB不可逆的充分必要条件是A,B中至少有一个不可逆;(11)若n阶矩阵A,B满足AB=E，则AB=BA;(12)若A*为n(1)阶矩阵A的伴随矩阵,则|(2A)*|=2n-1|A*|.6 解: (1
4、2) 令B2A,则Bij=2n-1Aij , i, j=1, 2,n. 因此 B*=2n-1A* 从而|B*|=|(2A)*|=2n(n-1)|A*| =2n(n-1)|A|n-1.7(13)若A,B均为n阶可逆矩阵, 则A+B可逆;(14)若A,B均为n阶矩阵,且A+B可逆, 则A与B均可逆;(15)若A,B,A+B均为n阶可逆矩阵,则A-1+B-1为可逆矩阵 ;8 解解(15) A-1+B-1= A-1+A-1AB-1=A-1(E+AB-1)=A-1(BB-1+AB-1)=A-1(A+B)B-1因此矩阵因此矩阵A-1+B-1可逆。可逆。(16)若n阶矩阵A的元素均为整数, 则存在元素为整数
5、的n阶矩阵B, 使得AB=E的充分必要条件是|A|1;(17)若n阶非零矩阵A满足AB=0, 则B=0;(18)若A是n阶矩阵, 且|A|=1, 则(A*)*=A;9 (18)解解:由由|A|=1有有A*A=|A|E=E,由由 (A*)*(A*)=|A*|E=E 有有则则|A*|=|A|n-1=1, (A*)*=(A*)-1又由又由A*A=E有有, (A*)-1=A, 因此因此 (A*)*=(A*)-1=A. (18)若A是n阶可逆矩阵, 则(A*)*=|A|n-2A;10解解: 由由A*A=|A|E有有由由 (A*)*(A*)=|A*|E=|A|n-1E 有有|A*|=|A|n-1 0, (
6、A*)*=|A|n-1(A*)-1又由又由 A*A=|A|E有有 A*=|A|A-1 因此因此 (A*)*=|A|n-1(|A|A-1)-1=|A|n-2A.(19)若A,B均为n阶可逆矩阵,则(AB)-1=A-1B-1的充分必要条件为AB=BA;(20)设A为sn阶矩阵,r(A)=s,则sn;(21)设A为sn阶矩阵,r(A)=s,则方程组AX=有解;(22)设A为sn阶矩阵,r(A)=s,则方程组AX=有唯一解;(23)设A为sn阶矩阵, B为ns阶矩阵,r(A)=s, 若B满足BA=0, 则B=0;11 (24)设A为sn阶矩阵,若A有一个n阶子式不为零, 则线方程组AX=0只有零解;(
7、25)若向量组1, 2, ,s线性无关的充要条件是每一个向量都不能由其余s-1个向量线性表示;(26) n维向量1, 2,n线性无关的充要条件是它们可以表示任一n维向量;(27)方阵A属于同一个特征值的特征向量必线性相关;(28)设0是矩阵A的特征值,则r(0E-A)1), k为非零常数为非零常数,则下列结则下列结论中正确的是论中正确的是( )(A) (A+B)-1=A-1+B-1 (B) (AB)-1=A-1B-1 (C) |(kA+B)-1|=k-1|A-1+B-1| (D) (AB)T-1=(A-1)T(B-1)TDD9.设A,B为n阶矩阵,则下列结论中正确的是( )(A) (A+B)
8、(A-B)=A2-B2 (B) (AB)2=A2B2 (C) 由AC=BC必可推出A=B (D) A2-E=(A+E)(A-E)2610.设设A,B为为n阶矩阵阶矩阵, k为正整数为正整数, 则下列结论中不正确则下列结论中不正确的是的是( )(A) |AT+BT|=|A+B| (B) |AT+BT|=|A|+|B| (C) |(AB)k|=|A|k |B|k (D) |AB|=|BA|DB11. 设A是n阶矩阵, 则| |A*|A|=( )272222nn -nn -n+1n +n(A) A(B)A(C) A(D) A12. 设设A是是n阶矩阵阶矩阵, 则则|(2A)*|=( )22n*n-1
9、*n -n*n*(A) 2A(B)2A(C) 2A(D)2ACC13. 已知 则|A|中的一次项系数是( )28-10 x111-1-1A =,1-11-11-1-11(A) 22 (B) -22 (C) 1 (D) -113解解: 将行列式按第一行展开时将行列式按第一行展开时, |A|=-A11+xA13-A14 因此因此|A|中的一次项的系数为中的一次项的系数为A13,即即B1311-1100A= 1-1-1 = 1-20 = -41-111-2214. 如果矩阵A,B,C则均为n阶方阵, 且ABC=E, 则有( )(A) ACB=E (B) CBA=E (C) BAC=E (D) BCA
10、=E2915. 如果矩阵如果矩阵A满足满足A2A , 则则( )(A) A=0 (B)A=E (C)A=0或或AE (D)A与与A-E中至少有一个不可逆中至少有一个不可逆DD16. 设3阶方阵A=(1,2,3), 其中i, i=1,2,3为A的列向量,且|A|=2, 记B=(1, 1+32, 3), 则|B|=( ) (A) -2 (B) 0 (C) 2 (D) 63016.解：解： |A|=|( 1, 2, 3)|, |B|=|( 1, 1+3 2, 3)|D=|( 1,3 2, 3| =3|( 1, 2, 3)| =3 2=6.17.向量组1,2,3线性相关, 1,2,4线性无关, 则(
11、) (A) 1必可由2,3,4线性表出 (B) 2必不可由1,3,4线性表出 (C) 3必可由1,2,3线性表出 (D) 4必不可由1,2,3线性表出31D18. 已知向量组1,2,3,4中2,3,4线性相关, 则( )(A) 1,2,3,4线性无关 (B) 1,2,3,4线性相关 (C) 1可由2,3,4线性表出 (D) 3,4线性无关32B19. 向量组1,2,s 线性无关的充要条件是( ) (A) 1,2,s 均不为零向量, (B) 1,2,s 中任意两个向量的分量成比例, (C) 1,2,s 中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表出, (D) 1,2,s 中有一部分向量线性无关。
12、 33C20. 向量组1,2,3 线性无关, 则下列向量组中线性无关的是( ) (A) 1+2, 2+3, 3-1, (B) 1+2, 2+3, 1+22+3, (C) 1+22, 22+33, 33+1, (D) 1+2+3, 21-32+223, 31+52-53.34C21. n维向量组1,2,s(3sn)线性无关的充要条件是( ) (A)存在一组不全为零的数k1,k2,ks, 使得 k11+ k22+ kss =0, (B) 1,2,s中任意两个向量都线性无关, (C) 1,2,s中存在一个向量不能表示为其余向量的 线性组合, (D) 1,2,s中任意一向量都不能表示为其余向量的 线性
13、组合. 35D22.若A=(aij)mn,AX=0是方程组AXb的导出组, 则下列结论中正确的是( ) (A)若AX0仅有零解, 则AXb有惟一解, (B)若AX0有非零解, 则AXb有无穷多解,(C)若AXb有无穷多解, 则AX0有非零解,(D)若AXb有无穷多解, 则AX0仅有零解。36C23. 在非齐次方程组AX=b中, 未知量个数为n,方程个数为m, 且R(A)=r,则( ) (A)当r=m时方程组AX=b有解. (B)当r=n时方程组AX=b有唯一解.(C)当m=n时方程组AX=b有唯一解.(D)当rn时方程组AX=b有无穷多解.37A24. 已知1, 2是非齐次方程组AX=b的两个
14、不同的解, 1, 2是其导出组AX0的一个基础解系, c1, c2,是任意常数, 则方程组AX=b的通解必为( ) 3811212121()()()2Acc11212121( )()()2cc11212121( )()()2Ccc11212121( )()()2DccB25. 已知1,2,3,4是齐次方程组AX=0的一个基础解系, 则此方程的基础解系还可选用( ) (A) 1+2,2+3 ,3+4,4+1. (B) 1+2,2+3 , 3-4,4-1. (C) 1,2, 3,4的等价向量组1,2, 3,4. (D) 1,2, 3,4的等秩向量组1,2, 3,4. 39C26. 设A,B是n阶非
15、零矩阵, 且AB=0,则A,B的秩满足( ) (A) 必有一个等于0 (B) 两个都小于n (C)一个小于n, 一个等于n (D)两个都等于n 4027. 设设A,B均为均为n阶矩阵阶矩阵, 且且AB,则则( ) (A) E-A= E-B. (B) A与与B有相同的特征值和特征向量有相同的特征值和特征向量. (C) A与与B有相似于一个对角阵有相似于一个对角阵.(D) 对于任意常数对于任意常数t, 必有必有 tE-A tE-B. BD29. 设三阶矩阵A的特征值为-2,-1,2, 矩阵 B=A3-3A2+2E,则|B|=( ) (A) -4 (B) -16 (C) -36 (D) -72 41
16、30.设三阶矩阵设三阶矩阵A的满足的满足|3A+2E|=0, |A-E|=0, |3E-2A|=0, 则则|A*-E|=( ) (A) 5/3 (B) 2/3 (C) -2/3 (D) -5/3. DA30.解解:由由|3A+2E|=0, |A-E|=0, |3E-2A|=0有有A的特征值的特征值 = -2/3,1, 3/2, 则则|A|=-1,A*的特征值为的特征值为|A|/ ,即即3/2,-1,-2/3,从而从而A*-E的特征值的特征值为为1/2,-2,-5/3. 则则|A*-E|=5/3.31. 设矩阵 则A的特征值为( )42122A = 21-2 ,2-21 (A) 3,3,-3 (B) 1,1,7 (C) 3,1,-1 (D) 3,1,7. 32.三阶矩阵三阶矩阵A的一个特征值的一个特征值 =2, 1, 2是是A的属于的属于 =2的的特征向量特征向量,已知已知 1=(1,2,0)T, 2=(1,0,1)T,向量向量 =(-1,2,-2)T, 则则A =( )(A) (2, 2, 1)T (B) (-1, 2,-2)T (C) (-2,4,-4)T (D) (-2, -4,
