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1、第四章第四章 线性方程组线性方程组 线性方程组是否有解？若有解，那么一线性方程组是否有解？若有解，那么一共有多少解？怎样求出其所有解？共有多少解？怎样求出其所有解？ 往年考题中，方程组出现的频率较高，往年考题中，方程组出现的频率较高，大致有三种类型，一是非齐次线性方程组的大致有三种类型，一是非齐次线性方程组的求解求解(含对参数取值的讨论含对参数取值的讨论)，二是齐次线性方，二是齐次线性方程组基础解系的求解与证明，再者是有程组基础解系的求解与证明，再者是有解，有非零解的判定及解的结构。向量的线解，有非零解的判定及解的结构。向量的线性表示实际上也是一个方程组求解问题，而性表示实际上也是一个方程组求
2、解问题，而向量的线性相关实际上是齐次方程组是否有向量的线性相关实际上是齐次方程组是否有非零解的问题。非零解的问题。一、齐次方程组有非零解、基础解系、一、齐次方程组有非零解、基础解系、通解等问题通解等问题 *1.(02，3分分)设设A是是mn矩阵，矩阵，B是是nm矩矩阵，则线性方程组阵，则线性方程组(AB)x=0(A) 当当nm时仅有零解；时仅有零解； (B) 当当nm时必有非零解；时必有非零解；(C) 当当mn时仅有零解；时仅有零解； (D) 当当mn时必有非零解。时必有非零解。2.(02，8分分)设齐次线性方程组设齐次线性方程组其中其中a0 ，b0，n2，试讨论，试讨论a,b为何值为何值时，
3、方程组仅有零解，有无穷多组解？在有时，方程组仅有零解，有无穷多组解？在有121212000nnnaxbxbxbxaxbxbxbxax无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解。表示全部解。 评注：把第评注：把第n行的行的-1倍加至第倍加至第i行，行，i由由1至至n-1；然后把每行的；然后把每行的-b倍均加至第倍均加至第n行。行。 3.(03，13分分)已知齐次线性方程组已知齐次线性方程组其中其中 。试讨论。试讨论a1, a2, an,和和b满足何满足何种种关系时关系时 1122331 122331 122331 12233()0()0()0()0nn
4、nnnnnnab xa xa xa xa xab xa xa xa xa xab xa xa xa xa xab x10niia(1)方程组仅有零解；方程组仅有零解；(2)方程组有非零解，在有非零解时，求此方程组有非零解，在有非零解时，求此方程组的一个基础解系。方程组的一个基础解系。 先把第先把第1行的行的-1倍依次加至其余各行，然倍依次加至其余各行，然后是把后是把i行的行的-ai倍加至第倍加至第1行行(i=2,n)，再将，再将第第1行移到最后一行。行移到最后一行。 评注：本题行列式评注：本题行列式 的计算方法特别的计算方法特别多，不知你还会那些？你能用特征值的方法和多，不知你还会那些？你能用
5、特征值的方法和理论求出理论求出 的值吗？的值吗？ AA *4.(04,4分分)设设n阶矩阵阶矩阵A的伴随矩阵的伴随矩阵A*0，若，若 是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组程组Ax=0的基础解系。的基础解系。 1234, (1)不存在；不存在； (2)仅含一个非零解向量；仅含一个非零解向量；(3)含有两个线性无关的解向量；含有两个线性无关的解向量； (4)含有三个线性无关的解向量。含有三个线性无关的解向量。 (96,6分分)求齐次线性方程组求齐次线性方程组的基础解系。的基础解系。 125123345000 xxxxx
6、xxxx*(98,5分分)已知线性方程组已知线性方程组()的一个基础解系为的一个基础解系为 (b11, b12,b12n)T，(b21, b22,b22n)T，(bn1, bn2,bn2n)T，11 112212221 12222221 12222000nnnnnnn nna xa xaxa xa xaxa xa xax试写出线性方程组试写出线性方程组() 的通解，并证明理由。的通解，并证明理由。111122122211222222112222000nnnnnnn nnb yb ybyb yb ybyb yb yby(01,6分分)设设1,2,s为线性方程组为线性方程组Ax=0的一的一个基础解
7、系个基础解系1=t11+t22,2=t12+t23,s=t1s+t21，其中，其中t1,t2为实常数，试问满足什为实常数，试问满足什么关系时，么关系时，1, 2,s也为也为Ax=0的一个基础的一个基础解解系。系。 (04,9分分)设有齐次线性方程组设有齐次线性方程组(n2)试问试问a为何值时，该方程组有非零解，为何值时，该方程组有非零解，并求其通解。并求其通解。 121212(1)02(2)20()0nnna xxxxa xxnxnxna x(98,5分分)已知三阶矩阵已知三阶矩阵A的第一行是的第一行是(a,b,c)，a,b,c不全为零，矩阵不全为零，矩阵 (k为常数为常数)，且且AB=0，求
8、线性方程组，求线性方程组Ax=0的通解。的通解。 12324636Bk 综述：总体上看这一部分考得不十分理综述：总体上看这一部分考得不十分理想，看来在基础解系的理解与把握上还有问题。想，看来在基础解系的理解与把握上还有问题。复习时应当理解齐次线性方程组的基础解系与复习时应当理解齐次线性方程组的基础解系与通解的概念，要掌握齐次线性方程组的基础解通解的概念，要掌握齐次线性方程组的基础解系与通解的求法，否则在特征向量的求解上还系与通解的求法，否则在特征向量的求解上还要出问题。要出问题。 n-r(A)这个数有两层含义，它既表示齐次这个数有两层含义，它既表示齐次线性方程组线性方程组Ax=0的基础解系中有
9、的基础解系中有n-r(A)个解个解向向量，又表示每个解中有量，又表示每个解中有n-r(A)个自由变量，搞个自由变量，搞清这个数会减少一些无谓的失误，目前考生在清这个数会减少一些无谓的失误，目前考生在基础解系上解答得并不理想，希望引起重视。基础解系上解答得并不理想，希望引起重视。 从从2002年，年，2003年考题来看，对矩阵初年考题来看，对矩阵初等变换的要求明显比往年要高。等变换的要求明显比往年要高。 二、非齐次线性方程组二、非齐次线性方程组 5.(96,3分分)设设 ， ， ，其中其中aiaj (ij, i, j =1,2,n)，则线性方程，则线性方程ATx=B的解是的解是 。 123222
10、212311111231111nnnnnnnaaaaAaaaaaaaa123nxxXxx1111B 6.(08，6分分)设设n元线性方程组元线性方程组Ax=b，其中，其中 2222212121212aaaaaAaaaa12nxxxx100b ()当当a取何值时，该方程组有唯一解，并取何值时，该方程组有唯一解，并求求x1；()当当a取何值时，该方程组有无穷多解，取何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。并求通解。 这样的方程组要会解这样的方程组要会解(1)设线性方程组设线性方程组 23112131231222322313233323142434xa xa xaxa xa xaxa xa xaxa
11、xa xa(1)证明：若证明：若a1, a2, a3, a4,两两不相等，则此线两两不相等，则此线性方程组无解。性方程组无解。(2)设设a1=a3=k，a2=a4=-k (k0)，且已知，且已知1， 2 2是该方程组的两个解，其中是该方程组的两个解，其中 写出此方程组的通解。写出此方程组的通解。 11111111评注：也可把评注：也可把Ax=0的基础解系简写为的基础解系简写为 。101(2)(00,2,6分分)设设 ， ， ，A=T，B= T T ，其中，其中 T T是是的转置，求解方程的转置，求解方程2B2A2x=A4x+B4x + 121 1120 008 评注：特解不是唯一，例如令评注：
12、特解不是唯一，例如令 可有特解可有特解 。本题得分率较低，人均。本题得分率较低，人均1.9分，分，主要错误是矩阵运算不正确，不能正确建立主要错误是矩阵运算不正确，不能正确建立起线性方程组，也有些考生在方程组求解时起线性方程组，也有些考生在方程组求解时犯种种错误。反映出基本概念、基本运算不犯种种错误。反映出基本概念、基本运算不过关。过关。 1( ,1,0)2T30X (3)已知已知4阶方阵阶方阵A=( 1 1 2 2 3 3 4 4)， 1 1,2 2, , 3 3, , 4 4均为均为4维列向量，其中维列向量，其中 2 2,3 3,4 4线性无关，线性无关， ，如果，如果=1 1+2 2+3
13、3+4 4，求线性，求线性 方程组方程组Ax=的通解。的通解。 1232 评注：因为方程组评注：因为方程组Ax=的向量形式为的向量形式为x x1 1 1 1+x+x2 2 2 2+x+x3 3 3 3+x+x4 4 4 4=1 1+2 2+3 3+4 4那么利用那么利用 1 1=2=22 2-3 3及及 2 2,3 3,4 4线性无关可以线性无关可以得到得到 (2x(2x1 1+x+x2 2-3)-3)2 2+(-x+(-x1 1+x+x3 3)3 3+(x+(x4 4-1)-1)4 4=0 (1)=0 (1)故知故知 (2)(2)于是于是Ax=Ax= 与上述方程组同解，解此方程组就与上述方程
14、组同解，解此方程组就可得到可得到Ax=Ax= 的通解。的通解。 12134230010 xxxxx 从随机抽样的情况分析，数学一本题的得从随机抽样的情况分析，数学一本题的得分率约为分率约为54%，其中满分为，其中满分为27%，而零分高达，而零分高达18%，反映出考生习惯于常规的线性方程组，反映出考生习惯于常规的线性方程组，对于抽象的不知从何处入手，接口切入点不清对于抽象的不知从何处入手，接口切入点不清楚；也有相当一部分考生基本运算不熟练，错楚；也有相当一部分考生基本运算不熟练，错误多，例如把误多，例如把 1 1=2=22 2-3 3代入后整理的代入后整理的(1)式不式不正确，方程组正确，方程组
15、(2)的求解无论是特解还是相应的求解无论是特解还是相应的齐次方程组的基础解系都有种种谬误，这一的齐次方程组的基础解系都有种种谬误，这一切希望大家要引以为戒。切希望大家要引以为戒。(4)(04,4,13分分)设线性方程组设线性方程组已知已知(1, -1,1,-1)T是该方程组的一个解。试求是该方程组的一个解。试求 12341234123402203(2)(4)41xxxxxxxxxxxx()方程组的全部解，并用对应的齐次方程方程组的全部解，并用对应的齐次方程组的基础解系表示全部解；组的基础解系表示全部解；()该方程组满足该方程组满足x2=x3的全部解。的全部解。 (5)(06,4,9分分)设已知
16、非齐次线性方程组设已知非齐次线性方程组有有3个线性无关的解。个线性无关的解。 1234123412341435131xxxxxxxxaxxxbx ()证明方程组系数矩阵证明方程组系数矩阵A的秩的秩r(A)=2；()求求a,b的值及方程组的通解。的值及方程组的通解。 (95,7分分)设线性方程组，设线性方程组，问问a为何值时方程组有解？并在求解时，求为何值时方程组有解？并在求解时，求出出方程组通解。方程组通解。 12342341243211233xxxxxaxaxxxx (08,6分分)设设n元线性方程组元线性方程组Ax=b，期中，期中 ， ， 2222212121212aaaaaAaaaa12nxxxx100b ()当当a取何值时，该方程组有唯一解，并求取何值时，该方程组有唯一解，并求x1；()当当a取何值时，该方程组有无穷多解，并取何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。求通解。 综述综述 解线性方程组作初等行变换时要正解线性方程组作初等行变换时要正确确(若在这里出错，往下还有意义吗？若在这里出错，往下还有意义吗？)作作有解判断时不要遗漏。有解判断时不要遗漏。 近年来这类题目新的动向，
