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1、一、知识结构一、知识结构二、空间的直线与平面二、空间的直线与平面 1：空间的角：空间的角2：空间的距离：空间的距离3：平行与垂直：平行与垂直直线与平面所成角直线与平面所成角直线与平面所成角直线与平面所成角平面与平面所成角平面与平面所成角平面与平面所成角平面与平面所成角异面直线所成的角异面直线所成的角异面直线所成的角异面直线所成的角解析：解析：1（1）异面直线所成的角异面直线所成的角ABDCA1B1D1C1如：在正方体如：在正方体AC1中，求异面直线中，求异面直线A1B和和B1C所成的角？所成的角？A1B和和B1C所所成的角为成的角为和和A1B成角为成角为60的面对角的面对角线共有线共有 条。条
2、。860再如：两异面直线再如：两异面直线a,b所成的角是所成的角是50 ，P P为为空间中一定点，则过点空间中一定点，则过点P P且与且与a,ba,b都成都成3030角的角的直线有直线有 条。条。abP PO2（2）线面角）线面角斜线与平面所成的角斜线与平面所成的角平面的一条斜线平面的一条斜线和它在这个平面内的射影和它在这个平面内的射影 所成的锐角所成的锐角BAO当直线与平面垂直时，直当直线与平面垂直时，直线与平面所成的角是线与平面所成的角是90当直线在平面内或当直线在平面内或与平面平行时，与平面平行时，直线与平面所成的角直线与平面所成的角是是0斜线与平面所成的角斜线与平面所成的角（ 0, 9
3、0）直线与平面所成的角直线与平面所成的角 0, 90异面直线所成的角异面直线所成的角（ 0, 90求直线与平面所成的角时求直线与平面所成的角时,应注意的问题应注意的问题:(1)先判断直线与平面的位置关系先判断直线与平面的位置关系(2)当直线与平面斜交时，常采用以下步骤：当直线与平面斜交时，常采用以下步骤：作出或找出斜线上的点到平面的垂线作出或找出斜线上的点到平面的垂线作出或找出斜线在平面上的射影作出或找出斜线在平面上的射影求出斜线段，射影，垂线段的长度求出斜线段，射影，垂线段的长度解此直角三角形，求出所成角的相应函数值解此直角三角形，求出所成角的相应函数值（3）二面角）二面角从一条直线出发的两
4、个半平面所形成从一条直线出发的两个半平面所形成的图形叫做二面角的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱这条直线叫做二面角的棱二面角的平面角二面角的平面角二面角的平面角二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，以二面角的棱上任意一点为端点，以二面角的棱上任意一点为端点，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角这两条射线所成的角叫做二面角的平面角这两条射线所成的角叫做二面角的平面角这两条射线所成的角叫做二面角的平面角O二面角的求法
5、二面角的求法(1)(1)垂线法垂线法利用三垂线定理作出平利用三垂线定理作出平面角，通过解直角三角形求角的大小面角，通过解直角三角形求角的大小(2)(2)垂面法垂面法通过做二面角的棱的垂通过做二面角的棱的垂面，两条交线所成的角即为平面角面，两条交线所成的角即为平面角(3)(3)射影法射影法若多边形的面积是若多边形的面积是S S，它在一个平面上的射影图形面积是它在一个平面上的射影图形面积是SS，则二面角则二面角 的大小为的大小为COS = SS S S垂线法垂线法垂面法垂面法ABCDO射影法射影法ABCAM如：如图如：如图ABC的顶点的顶点A在平面在平面M上的射影上的射影为点为点A， ABC的面积
6、是的面积是S， ABC的面的面积是积是S，设二面角设二面角A-BC-A为为 则：则：COS = S SD解析解析2：空间距离：空间距离 两点之间的距离两点之间的距离点到直线的距离、点到直线的距离、点到平面的距离点到平面的距离两条平行线间的距离、两条平行线间的距离、两条异面直线间的距离、两条异面直线间的距离、平面的平行直线与平面之间的距离平面的平行直线与平面之间的距离两个平行平面之间的距离两个平行平面之间的距离 点点点点点点线线点点面面线线线线线线面面点点面面AH从平面外一点引这个平面的垂线从平面外一点引这个平面的垂线垂足叫做垂足叫做点点在这个平面内在这个平面内的射影的射影这个点和垂足间的距离叫
7、做这个点和垂足间的距离叫做点到平面的距离点到平面的距离线面垂直线面垂直点的射影点的射影点面距离点面距离线线面面 lAA一条直线和一个平面平行时，直线上任意一点一条直线和一个平面平行时，直线上任意一点到这个平面的距离叫做直线到平面的距离到这个平面的距离叫做直线到平面的距离 lAA lAAB点点面面线线面面点到平面的距离的求法：（1）直接法 即直接由点作垂线，求垂线段的长.（2）转移法 转化成求另一点到该平面的距离.（3）体积法.解析解析3：平行与垂直：平行与垂直直线在平面内直线在平面内直线和平面相交直线和平面相交直线和平面平行直线和平面平行线面位置关系线面位置关系有无数个公共点有无数个公共点有且
8、仅有一个公有且仅有一个公共点共点没有公共点没有公共点 位置关系位置关系 图图 示示表示方法表示方法公共点个数公共点个数直线在平直线在平面内面内a无数个无数个直直线线在在平平面面外外直直线线与与平平面面相相交交斜斜交交a一个一个垂直垂直相交相交a 一个一个直线与平直线与平面平行面平行a 无无aaAAaa(1) 定义定义直线与平面没有公共点直线与平面没有公共点(2) 定理定理如果平面外一条直线和如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。这条直线和这个平面平行。线面平行的性质线面平行的性质线面平行的性质线面平行的性质(1)如果一条直线与一
9、个平面平行，如果一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面无公共点则这条直线与这个平面无公共点(2)如果一条直线与一个平面平行，如果一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面内的直线则这条直线与这个平面内的直线成异面直线或平行直线成异面直线或平行直线(3)如果一条直线与一个平面平行，经如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线与交线平行。则这条直线与交线平行。一、两个平面平行的判定方法一、两个平面平行的判定方法1、两个平面没有公共点、两个平面没有公共点2、一个平面内有两条相交、一个平面内有两条相交 直线都平行于另一个平面直线都平
10、行于另一个平面3、都垂直于同一条直线的、都垂直于同一条直线的 两个平面两个平面两个平面平行两个平面平行二、两个平面平行的性质二、两个平面平行的性质4、一直线垂直于两个平行平面中的一、一直线垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面个，则它也垂直于另一个平面2、其中一个平面内的直线平行于、其中一个平面内的直线平行于另一个平面另一个平面3、两个平行平面同时和第三个平面、两个平行平面同时和第三个平面相交，它们的交线平行相交，它们的交线平行两个平面平行两个平面平行5、夹在两个平行平面间的平行线段、夹在两个平行平面间的平行线段相等相等1、两个平面没有公共点、两个平面没有公共点线面垂直的判定方法线
11、面垂直的判定方法（1）定义）定义如果一条直线和一个平面内的如果一条直线和一个平面内的任意一条任意一条直线都垂直，则直线与平面垂直。直线都垂直，则直线与平面垂直。（2）判定定理）判定定理1如果两条如果两条平行线平行线中的一中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。平面。（3）判定定理）判定定理2如果一条直线和一个平如果一条直线和一个平面内的面内的两条相交直线两条相交直线都垂直，则直线与平面都垂直，则直线与平面垂直。垂直。线面垂直的性质线面垂直的性质（1）定义）定义如果一条直线和一个平面垂直如果一条直线和一个平面垂直则这条直线垂直于平面内的则这条直线垂
12、直于平面内的任意一条任意一条直线直线（2）性质定理）性质定理如果两条直线同垂直于一如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线个平面，则这两条直线平行平行。如果两个平面所成的二面角是如果两个平面所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直直二面角，则这两个平面垂直如果两个平面所成的二面角是如果两个平面所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直直二面角，则这两个平面垂直如果一个平面经过另一个平面的一如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直条垂线，则这两个平面互相垂直如果一个平面经过另一个平面的一如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直条垂线，则这两个平面互相垂直ABE
13、DC线面垂直线面垂直线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直面面垂直面面垂直如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面于它们的交线的直线垂直于另一个平面如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面于它们的交线的直线垂直于另一个平面ABDCE线面垂直线面垂直线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直面面垂直面面垂直三、简单几何体1：常用的体积公式：常用的体积公式2：棱锥的有关概念与性质：棱锥的有关概念与性质3：球的有关概念与性质：球的有关概念与性质常用体积公式常用体积公式常用体积公式常用体
14、积公式abcV长方体长方体= a b cs常用体积公式常用体积公式常用体积公式常用体积公式hV棱柱棱柱= hs底底V棱柱棱柱= ls直直常用体积公式常用体积公式常用体积公式常用体积公式V棱锥棱锥= hs底底31求多面体的体积时常用的方法求多面体的体积时常用的方法1、直接法、直接法2、割补法、割补法3、变换法、变换法根据条件直接用根据条件直接用柱体柱体或或锥体锥体的体积公式的体积公式如果一个多面体的体积直接用体积公式如果一个多面体的体积直接用体积公式计算用困难，可将其计算用困难，可将其分割成易求体积的分割成易求体积的几何体几何体，逐块求积，然后求和。，逐块求积，然后求和。如果一个如果一个三棱锥三
15、棱锥的体积直接用体积公式的体积直接用体积公式计算用困难，可转换为等积的另一三棱计算用困难，可转换为等积的另一三棱锥，而这一三棱锥的底面面积和高都是锥，而这一三棱锥的底面面积和高都是容易求得容易求得PCBDA棱锥基本概念棱锥基本概念棱锥的棱锥的底面底面棱锥的棱锥的侧面侧面棱锥的棱锥的侧棱侧棱棱锥的棱锥的顶点顶点棱锥的棱锥的高高H棱锥的棱锥的斜高斜高HPCBDAO棱锥基本性质棱锥基本性质如果棱锥被平行于底如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么面的平面所截，那么截面和底面截面和底面相似相似，并，并且它们面积的比等于且它们面积的比等于截得的棱锥的高与已截得的棱锥的高与已知棱锥的高的知棱锥的高的平方比平方
16、比CBDADCBADCBASS2222PHPO 正棱锥正棱锥如果一个棱锥如果一个棱锥 的的底面是正多底面是正多边形边形，并且，并且顶顶点在底面的射点在底面的射影是底面中心影是底面中心这样的棱锥叫这样的棱锥叫做正棱锥做正棱锥在下列条件下，判断正三棱锥在下列条件下，判断正三棱锥P-ABC的顶点的顶点P在底面在底面ABC内的射影位置内的射影位置在下列条件下，判断正三棱锥在下列条件下，判断正三棱锥P-ABC的顶点的顶点P在底面在底面ABC内的射影位置内的射影位置1 1、三条侧棱相等、三条侧棱相等2 2、侧棱与底面所成的角相等、侧棱与底面所成的角相等3 3、侧面与底面所成的角相等、侧面与底面所成的角相等4 4、顶点、顶点P P到到ABCABC的三边距离相等的三边距离相等5 5、三条侧棱两两垂直、三条侧棱两两垂直6 6、相对棱互相垂直、相对棱互相垂直7 7、三个侧面两两垂直、三个侧面两两垂直外心外心外心外心内心内心内心内心垂心垂心垂心垂心垂心垂心正三棱锥正三棱锥如果一个三棱如果一个三棱锥的锥的底面是正底面是正三角形三角形，并且，并且顶点在底面的顶点在底面的射影是正三角射影是正三角形的中心，形的中心
