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1、2018年矩阵论B考试题一，填空题(每题3分，共30分)1 .设V为数域尸上的维线性空间，且V=L(%,%,a)，若V在基%,。2，-、,下的坐标为%一1一,2,1，则。在基,%+2,a1+2+下的坐标为(1,L1/)2 .设Fx3是次数不大于2的实数域上的多项式空间，定义内积Vf(X),g(x)Fx3,(x),(x)=/(x)(x)Jx,则W=Lk,d的正交补空间WI=(L5x2-3)t253 .设R3中线性变换7；在%=1,2a?=2,3/下的矩阵为；,线性变换乙在基片=3/(，河=4,2/下的矩阵为:，则7+(在四，河下的矩阵为44441)|_-29-25J4 .设R2按某种内积方式构成
2、欧式空间，即与4,凡是心的两组基，且l=2al-a2,32=ai+2a2,(%,给=2,(ai92)lf(%,=-3,(2,72)=6则内积在基冈下的矩阵是(：；)。5 .己知R,(/?1)为一个单位列向量，令A=E-，且阳&A=/则同2=(1),MIF=(Vr)o100I-I11-1-266 .矩阵A=-103的JOrdan标准型J=(L1)。-1-143-107.已知4=02-2i,B=(kE-A)2（E为与A同阶单位阵），则与3相似的001a-3)2000(Z-2)20对角阵O=（00(I)?)o18.已知A=F4r01-MZ+1)R1，=(；kLU1_）。9.设二阶方阵A的特征值为4,
3、4,1-24B=O-41则A区区的特征值为003(,A2,4A,-42,31,32)。10.设A=,则44()2=()。1sinZJdt12f+cosf2cosrsinZ二，计算（一）（共3道题，每小题10分，共30分）L设户中内积定义为(A,B)=tt%,A=2x2,B=2x2,若令/=1；=1A3=J0,求(1)子空间W=LA,A2,A3的正交补空间；（2）利用A，4,AdR2X2中的一组正交基。答：（1）设Al=%是与A，4,4都正交的向量，则有(ApA4)=%,+x2=0(A2,A4)=X2x3+x4=,(A3M4)=Af1-X2+3=0它等价于011-100I1=8,解得a4=-23
4、那么子空间W=LAi,42,A3的正交补空间就是WL=LA4O（2）显然4,A2,4,A就是我，2中的一组基，将它们正交化得=A?B2111O2-2-黯耳-繇K；-1OB4=A4（4与A，4,4都正交，所以必与用,约,修正交），综上，用，层，鸟,纥就是K.中的一组正交基。%, 且=却 12.已知A为三阶Hermite矩阵，二次型F（X）=/Ar经酉变换X=分得标准型/(xpx2,x3)=y22+22-4y32,其中尸=矩阵P。答：ala2%是正交向量，与由正交的向量玉x2七满足%+9+马=，-解得4=1,夕2=OOJ1正交化,单位化,O故酉变换矩阵P=1飞1正O-Ll3l_Llf3l-L61一
5、6-2一6的奇异值分解。1000OO的特征值是4= 1。，4 =。，4 =。，O对应的特征向量依次是则M=AUW)T3ioio所以A的奇异值分解为UAV取匕二io3_旃_3io,io3w.ioOO三，计算（二）（共2道题，每小题15分，共30分）已知.己知X二x4.,/(X)= X1X4 + X2X3 + X3X1 ,计算:为令F（X）=务求甯0000答：包=：侬2二1110dXX2+X1XydXIllO00002.设A二i10/0O-0-Z，（1）求/（A）；(2)求SinAt,eAto/c、_p.dsinAt求Odt答：（1）/（A）=（2）当F（A）7(0fV)0f(i)00=sin4时
6、，00/(-/)_f(i)=sinit；f,(i)=tcosit；f(-i)=sin(-z7),所以:sinZrZcosit0sinAt=0sinit000sin(-)当/(A)=e,f(i)=ei,;fV)=tei,;f(-i)=e,t，所以：*dsinAtteiDei,00sinit00rcost0icositcos-sin0(3)dtdt00sin00sin(-zr)一00icosit00-icos(-it)四，证明题（共2道题，每小题5分，共10分）1.设阶矩阵A=Er0B=0,其中与为，阶单位矩阵，试证明:0E-R=R(A)R(B)。证明：由于+01/?(人)=附7成4=，dimR(
7、B)=rankB=n-rf即:dimR(A)+dimR(B)=dimRn；又对于任意的xR,X=(A+3)X=A+BxR(A)+R(B).RnUR(A)R(B),又由维数定理知Rn=R(A)R(B)。2.设A=飒1,2,3,C3,定义囤=p,是C中向量的2范数,证明同是。3中的向量范数，并说明I国分别与向量的2-范数、8-范数等价。证明：由已知显然间0,且当且仅当=O寸，Aa=0,=A1=0;又中kwF,C3IM=IIfcMI1=KI-IIM=W-H；.+网矶+ML=W+悯I；所以国是。3中的向量范数。若设=x,x2,当了，则=Ax1,x2,f=x1,2x2,3x3i=x1+2x2+3x3那么hih3h1.又由b中HLH3.mh2h可以得到MH49H，H2H92.所以国与向量的2-范数、8-范数都等价。
